1、第 1页（共 21页） 2020 年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科） （5 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3，则 AB （） A3，2B2，3C3，2，3D3，2，2，3 2 （5 分）若复数 z 满足（1+2i）z5i，则 z（） A2+iB2iC2+iD2i 3 （5 分）在正项等比数列an中，若 a11，a3a2+2，Sn为其前 n 项的和，则? ? ?（） A6B9C12D15 4 （
2、5 分）若夹角为 120的向量? ?与? ? 满足|? ? ? ? ? |? ? |2，则|? ?|（ ） A1B2C? ?D4 5 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A? ? BC? ? D2 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 T（） 第 2页（共 21页） A? ? B? ? C? ? D? ? 7 （5 分）已知圆 C： （x1）2+y2r2（r1）与 x 轴负半轴的交点为 M，过点 M 且斜率为 2 的直线 1 与圆 C 的另一个交点为 N， 若 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上， 则|MN| （） A? ? B ? ? C? ? D ?
3、 ? 8 （5 分）若直线 yx 与曲线 ylnx+ax 相切，则 a（） A? ? B? ? ? C? ? ? ?D? ? ? ? 9 （5 分）抛物线上任意两点 A、B 处的切线交于点 P，称PAB 为“阿基米德三角形” 当 线段 AB 经过抛物线焦点 F 时，PAB 具有以下特征： P 点必在抛物线的准线上；PAB 为直角三角形，且 PAPBPFAB 若经过抛物线 y24x 焦点的一条弦为 AB，阿基米德三角形为PAB，且点 P 的纵坐标为 4，则直线 AB 的方程为（） Ax2y10B2x+y20Cx+2y10D2xy20 10 （5 分）已知函数 f（x）x3+3x，若对任意 t1，
4、1不等式 f（2t2m）+f（t）0 恒 成立，则实数 m 的取值范围是（） Am1B? ? ? ? C? ? ? ? D? ? ? ? 11 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的高为 2，?爐 ? ? ?，过该棱锥高的中点且平行于底面 ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为 A1B1C1D1，若底面 ABCD 与截面 A1B1C1D1的顶 点在同一球面上，则该球的表面积为（） A20B? ? C4D? ? 第 3页（共 21页） 12 （5 分）如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在OCD 区域种荷花，在OBD 区域修建水上项目若AOCCOD，且使四边形 O
5、CDB 面积 最大，则 cosAOC（） A ? ? B ? ? C ? ? D ? ? 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）能说明命题“xR 且 x0，? ? ? ? ? ?”是假命题的 x 的值可以是 （写 出一个即可） 14 （5 分）已知 F 是双曲线 M：? ? ? ? ? ? ? ?，?的右焦点，点 P 在 M 上，O 为 坐标原点，若? ? ?，? ? ? ?，则 M 的离心率为 15 （5 分）河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方” ，九宫格源于河 图洛书如图是由 9 个单位正方形（
6、边长为 1 个单位的正方形）组成的九宫格，一个质 点从 A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到 B 点，共有? ?种不同的路线，则在这些路 线中，该质点经过 p 点的概率为 16（5 分） 定义域为 R 的偶函数 f （x） 满足 f （1+x） +f （1x） 0， 当 x0， 1） 时， ? ? ? ? ? ， 给出下列四个结论： |f（x）|1； 若 f（x1）+f（x2）0，则 x1+x20 函数 f（x）在（0，4）内有且仅有 3 个零点； 若 x1x2x3，且 f（x1）f（x2）f（x3） ，则 x3x1的最小值为 4 其中，正确结论的序号是 第 4页（共 21页） 三、解答题（
7、共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 为等边三角形，侧棱 AA1平面 ABC，D 为 CC1中点，AA12AB，AB1和 A1B 交于点 O （1）证明：OD平面 ABC； （2）求 AB 与平面 A1BD 所成角的正弦值 18 （12 分） 2020 年 1 月， 教育部 关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见 印发，自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划” ） 强基 计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国 家人才紧缺的人文社会
8、科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优 秀或基础学科拔尖的学生 新材料产业是重要的战略性新兴产业， 如图是我国 20112019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势图其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位： 万亿元） ，折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%） （1） 求从 2012 年至 2019 年， 每年新材料产业市场规模年增长量的平均数 （精确到 0.1） ； （2）从 2015 年至 2019 年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模 年增长率超过 20%的概率； （3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大 （结论不要求 证明）
9、 19 （12 分）ABC 的角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC 第 5页（共 21页） （1）求 A； （2）从三个条件：? ? ?ABC 的面积为 ?中任选一个作为已知条件， 求ABC 周长的取值范围 20 （12 分）已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? （1）讨论 f（x）的单调性； （2）设 g（x）f（x）lna，若 g（x）存在两个极值点 x1，x2，求 g（x1）+g（x2）的 最小值 21 （12 分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 M，N，有一根旋杆将两个滑标连成
10、一体，|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两 点之间，且|ND|3|MD|，当滑标 M 在滑槽 EF 内作往复运动，滑标 N 在滑槽 GH 内随之 运动时，将笔尖放置于 D 处可画出椭圆，记该椭圆为 C如图 2 所示，设 EF 与 GH 交 于点 O，以 EF 所在的直线为 x 轴，以 GH 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A1，A2是椭圆 C 的左、右顶点，点 P 为直线 x6 上的动点，直线 A1P，A2P 分 别交椭圆于 Q，R 两点，求四边形 A1QA2R 面积的最大值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考
11、生在第 22、23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参 数方程数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? （t 为参数） ， 以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的极坐标方程； 第 6页（共 21页） （2）设动点 M 的极坐标为（，） ，射线 OM 与直线 l 相交于点
12、 A，且满足|OA|OM| 4，求点 M 轨迹的极坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）2|x+1|+|x1| （1）解不等式 f（x）4； （2）设 f（x）的最小值为 m，实数 a，b，c 满足 a2+b2+c2m，证明：? ? ? ? ? ? 第 7页（共 21页） 2020 年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科） （5 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3，则
13、AB （） A3，2B2，3C3，2，3D3，2，2， 3 【解答】解：集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3， AB3，2，3 故选：C 2 （5 分）若复数 z 满足（1+2i）z5i，则 z（） A2+iB2iC2+iD2i 【解答】解：z 满足（1+2i）z5i， z? ? ? ? ? ? ?2+i 故选：A 3 （5 分）在正项等比数列an中，若 a11，a3a2+2，Sn为其前 n 项的和，则? ? ?（） A6B9C12D15 【解答】 解： 设正项等比数列an的公比为 q， 则 q0 a11， a3a2+2， q2q+2q 2 ? ? ? ? ? ?1+q39
14、， 故选：B 4 （5 分）若夹角为 120的向量? ?与? ? 满足|? ? ? ? ? |? ? |2，则|? ?|（ ） A1B2C? ?D4 【解答】解：|? ? ?|2，?2+2? ? ?24， 即|?|2+4|?|cos120+44，则|?|2，或|?|0（舍） ， 故选：B 5 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） 第 8页（共 21页） A? ? BC? ? D2 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是 2，底面半径为 1， 上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为 1， 则该几何体的体积为? ? ?
15、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选：C 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 T（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：模拟程序的运行，可得 第 9页（共 21页） k1，S0，T0， S1 满足条件 S15，执行循环体，T1，k2，S3 满足条件 S15，执行循环体，T? ? ?，k3，S6 满足条件 S15，执行循环体，T? ? ?，k4，S10 满足条件 S15，执行循环体，T? ? ?，k5，S15 此时，不满足条件 S15，退出循环，输出 T 的值为? ? 故选：D 7 （5 分）已知圆 C： （x1）2+y2r2（r1）
16、与 x 轴负半轴的交点为 M，过点 M 且斜率为 2 的直线 1 与圆 C 的另一个交点为 N， 若 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上， 则|MN| （） A? ? B ? ? C? ? D ? ? 【解答】解：取 y0，可得 x1r 或 x1+r， 由题意可得，M（1r，0） ， 设直线 l 的方程为 y2（x+r1） ， 联立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，得 5x 2+（8r10）x+3r28r+40 由 xM+xN1r+xN? ? ? ，得 xN? ? ? 由 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，得 1r+xN0，即 r? ? ? M（? ? ?，0） ，N（ ? ?，
17、1） ， 则|MN|? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选：B 8 （5 分）若直线 yx 与曲线 ylnx+ax 相切，则 a（） 第 10页（共 21页） A? ? B? ? ? C? ? ? ?D? ? ? ? 【解答】解：设切点为（x，y） ， 由题意 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 ? ? ? ? ? ? 故选：D 9 （5 分）抛物线上任意两点 A、B 处的切线交于点 P，称PAB 为“阿基米德三角形” 当 线段 AB 经过抛物线焦点 F 时，PAB 具有以下特征： P 点必在抛物线的准线上；PAB 为直角三角形，且 PAPBP
18、FAB 若经过抛物线 y24x 焦点的一条弦为 AB，阿基米德三角形为PAB，且点 P 的纵坐标为 4，则直线 AB 的方程为（） Ax2y10B2x+y20Cx+2y10D2xy20 【解答】解：由题意可知，抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为（1，0） ，准线方程为：x 1， 由PAB 为“阿基米德三角形” ，且线段 AB 经过抛物线 y24x 焦点，可得：P 点必在抛 物线的准线上， 点 P（1，4） ， 直线 PF 的斜率为： ? ? ?2， 又PFAB，直线 AB 的斜率为? ?， 直线 AB 的方程为：y0? ? ? ?，即 x2y10， 故选：A 10 （5 分）已知函数 f（
19、x）x3+3x，若对任意 t1，1不等式 f（2t2m）+f（t）0 恒 成立，则实数 m 的取值范围是（） Am1B? ? ? ? C? ? ? ? D? ? ? ? 【解答】解：函数 f（x）x3+3x， f（x）x33xf（x） ，函数 f（x）为 R 上的奇函数 f（x）3x2+30，函数 f（x）为 R 上的增函数 不等式 f（2t2m）+f（t）0，化为：f（2t2m）f（t）f（t） ， 第 11页（共 21页） 2t2mt，化为：m2t2+t，t1，1 令 g（t）2t2+t2? ? ? ? ? ? ? ?，t1，1 t? ? ?时，函数 g（t）取得最小值，g（? ? ?）?
20、 ? ? 则实数 m 的取值范围是 m? ? ? 故选：D 11 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的高为 2，?爐 ? ? ?，过该棱锥高的中点且平行于底面 ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为 A1B1C1D1，若底面 ABCD 与截面 A1B1C1D1的顶 点在同一球面上，则该球的表面积为（） A20B? ? C4D? ? 【解答】解：因为正四棱锥 PABCD，所以底面是正方形，结合高为 2，?爐 ? ? ?， 设底面对角线交点为 M，所以 AC4，AM2，故 PMAMCM2， 所以PAC 是等腰直角三角形 因为截面 A1B1C1D1过 PM 的中点 N，所以 N 为截面正方形 A1
21、B1C1D1的中心，且 PM 截面 A1B1C1D1 PNMNA1N1，设球心为 O，球的半径为 R，则 A1OAOR 在直角三角形 A1ON 中， 爐 ? ?爐? ?， ? ? ? 爐 ? ? ? ? 在直角三角形 APM 中，OA2AM2+OM2，即? ? ? ? ?， 解得 R25，故 S4R220 故选：A 第 12页（共 21页） 12 （5 分）如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在OCD 区域种荷花，在OBD 区域修建水上项目若AOCCOD，且使四边形 OCDB 面积 最大，则 cosAOC（） A ? ? B ? ? C ? ? D ? ? 【解
22、答】解：设AOCCOD（0 ? ?） ， OCOBOD1， 四边形 OCDB 面积 S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 S0，得 4cos2+cos20，解得 cos? ? ? ? （舍）或 cos? ? ? ，即 arccos ? ? 又 cos在（0，? ?）上单调递减， 当（0，arccos ? ? ） ，即 cos（ ? ? ，1）时，S? ? ? ? ? ? ? ?单调 第 13页（共 21页） 递减， 当（arccos ? ? ，? ?） ，即 cos（
23、0， ? ? ）时，S? ? ? ? ? ? ? ?单调递 增， 当 cosAOC? ? ? 时，四边形 OCDB 的面积最大 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）能说明命题“xR 且 x0，? ? ? ? ? ?”是假命题的 x 的值可以是1， （任 意负数均可以） （写出一个即可） 【解答】解：当?时，? ? ? ? ? ?，当且仅当? ? ?取等号， 当?时，? ? ? ? ? ?，当且仅当? ? ?取等号， 只需 x 取值为负数，即可例如 x1 时 ? ? ? ? ? ? 14 （5 分）已知 F
24、是双曲线 M：? ? ? ? ? ? ? ?，?的右焦点，点 P 在 M 上，O 为 坐标原点，若? ? ?，? ? ? ?，则 M 的离心率为 ? 【解答】解：设 P（x0，y0）由题意可得 x00，设 y00， ? ? ?（x0，y0） ，由题意|OP|2b，可得 x02+y024b2， ? ?（c，0） ， 由POF? ? ?，所以 cosPOF? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，可得 x0b， y023b2，y00，将 P 点的坐标代入双曲线的方程可得：? ? ? ?31，所以 b24a2， 所以双曲线的离心率 e? ? ? ? ? ? ?， 故答案为： ?
25、 第 14页（共 21页） 15 （5 分）河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方” ，九宫格源于河 图洛书如图是由 9 个单位正方形（边长为 1 个单位的正方形）组成的九宫格，一个质 点从 A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到 B 点，共有? ?种不同的路线，则在这些路 线中，该质点经过 p 点的概率为 ? ? 【解答】解：一个质点从 A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到 B 点， 共有 n? ? ? ?20 种不同的路线， 则在这些路线中，该质点经过 p 点包含的基本事件有 m6212 种， 该质点经过 p 点的概率为 P? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为：? ?
26、 16（5 分） 定义域为 R 的偶函数 f （x） 满足 f （1+x） +f （1x） 0， 当 x0， 1） 时， ? ? ? ? ? ， 给出下列四个结论： |f（x）|1； 若 f（x1）+f（x2）0，则 x1+x20 函数 f（x）在（0，4）内有且仅有 3 个零点； 若 x1x2x3，且 f（x1）f（x2）f（x3） ，则 x3x1的最小值为 4 其中，正确结论的序号是 【解答】解：f（1+x）+f（1x）0，函数 f（x）关于点（1，0）对称， 令 x1，则 f（1）+f（1）0，f（1）0， 又f（x）为偶函数，且当 x0，1）时，? ? ? ? ? ，可作出函数 f（x
27、）的图象如 下所示， 第 15页（共 21页） 1f（x）1，|f（x）|1，即正确； 取 x11，x22，满足 f（x1）+f（x2）0，但 x1+x210，即错误； 函数 f（x）在（0，4）内的零点为 x1，2，3，有且仅有 3 个零点，即正确； 取 x11，x20，x31，则 f（x1）f（x2）f（x3）0，但 x3x124，即 错误 正确的是 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 为等边三角形，侧棱 AA1平面 ABC，D 为 CC1中点，AA12AB，AB1和 A1B 交
28、于点 O （1）证明：OD平面 ABC； （2）求 AB 与平面 A1BD 所成角的正弦值 【解答】解： （1）取 AB 中点 E，连接 CE，OE，在四边形 BODC 中，E 为 AB 中点，O 为 AB1中点， BO 为ABB1的中位线，故 BOBB1且 ? ? ? ?爐爐?， D 为 CC1中点， ?眐 ? ? ? ? ? ? 爐爐?且 CDBB1， ? ? ?眐， 四边形 EODC 为平行四边形， 第 16页（共 21页） ODEC，且 BC 在平面 ABC 内， OD平面 ABC； （2）取 BC 中点 F，根据已知条件建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AB2，则 ? ?，爐?，?
29、，?，?，?，?，?，?，?，眐 ? ?，?，?， 爐? ? ? ? ?，?，?，爐眐 ? ? ? ?，?，?，爐? ? ? ? ?，?，?， 设平面 A1BD 的一个法向量为 ? ? ?，?，?， 则 ? ? 爐眐 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 爐? ? ? ? ? ? ? ? ， 可取 ? ? ?，?，?， 设 AB 与平面 A1BD 所成角为，则 ? ? ?爐? ? ? ? ?爐? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即 AB 与平 面 A1BD 所成角的正弦值为? ? ? 18 （12 分） 2020 年 1 月， 教育部 关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意
30、见 印发，自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划” ） 强基 计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国 家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优 秀或基础学科拔尖的学生 新材料产业是重要的战略性新兴产业， 如图是我国 20112019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势图其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位： 万亿元） ，折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%） 第 17页（共 21页） （1） 求从 2012 年至 2019 年， 每年新材料产业市场规模年增长量的平均数 （精确到 0.
31、1） ； （2）从 2015 年至 2019 年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模 年增长率超过 20%的概率； （3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大 （结论不要求 证明） 【解答】解： （1）从 2012 年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为： 0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6， （单位：万亿元） ， 年增加的平均数为： ? ? ?0.5 万亿元 （2）设 A 表示事件“从 2015 年至 2019 年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产 业市场规模增长率超过 20%” ， 依题意 P（A）1? ? ?
32、? ? ? ? ? （3）从 2017 年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大 19 （12 分）ABC 的角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC （1）求 A； （2）从三个条件：? ? ?ABC 的面积为 ?中任选一个作为已知条件， 求ABC 周长的取值范围 【解答】解： （1）sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC， 由正弦定理可得：b2+c2a2bc， 由余弦定理可得：cosA? ? ? ? ? ?， A（0，） ， A? ? ? （2）若选择? ?， 因为 A? ? ?，a? ?，由正弦定理 ? ?爐 ?
33、 ? ? ? ? ? ?， 则 ABC 的 周 长 l a+b+c 2sinB+2sinC ? ? 2sinB+2sin （ ? ? ? B ） ? ?3sinB?cosB? ?2 ?sin（B? ? ?）? ?， 因为 B（0，? ? ） ，所以? ? B? ? ? ? ? ，? ? sin（B? ? ?）1，即ABC 周长的取值范围 第 18页（共 21页） 是（2 ?，3 ?） ， ? ?，因为 A? ? ?，b? ?，由正弦定理可得 a? ? ?爐，c? ? ?爐 ? ? ? ?爐? ?爐 ? ?爐 ?爐 ? ? ? ， 可得ABC 的周长 la+b+c? ? ?爐 ? ?爐 ?爐 ?
34、 ? ? ? ? ?爐 ? ?爐 ? 爐 ? ? ? ? ? ? ? ?爐 ? ? ? ? ? ， 因为 B （0， ? ? ） ， 所以 0 爐 ? ? ?， 所以 0? 爐 ? ?， 即ABC 周长的取值范围是 （2 ?， +） ， 若选择ABC 的面积为 ?， 因为 A? ? ?，SABC? ? ?bcsinA? ? ? bc?，可得 bc4，由余弦定理可得 a2b2+c2bc （b+c）23bc（b+c）212，即ABC 的周长 la+b+c? ? ? ?b+c， 因为 b+c2 ? ?4，当且仅当 bc2 时等号成立，所以 l? ? ?46，即ABC 的周长的取值范围是6，+） 20
35、 （12 分）已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? （1）讨论 f（x）的单调性； （2）设 g（x）f（x）lna，若 g（x）存在两个极值点 x1，x2，求 g（x1）+g（x2）的 最小值 【解答】解： （1）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 a0，由 f（x）0 得 x1 或 ? ? ? ?， 若 0a2，则? ? ?，由 f（x）0 得 ? ? ?；由 f（x）0 得 0x1 或 ? ? ?， 若 0a2，则 f（x）在（0，1）递增，在?， ? ?递减，在 ? ?， ? ?递增； 若 a2，则? ? ? ?，? ? ? ? ? ?，f（x）
36、在定义域（0，+）递增； 若 a2，则? ? ?，由 f（x）0 得? ? ?；由 f（x）0 得 ? ? ?或 x1， 若 a2，则 f（x）在?， ? ?递增，在 ? ?，?递减，在（1，+）递增； （2）由 g（x）f（x）lna 得 g（x）f（x） ， 由 （1） 知， g （x） 有两个极值点时， a0 且 a2， 不妨设? ?，? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 第 19页（共 21页） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 设 ? ? ? ? ? ? ? ?，则 h（x）lnxln2+1，
37、由 h（x）0 得 ? ? ?，h（x）在?， ? ? ?上单调递减， 由 h（x）0 得 ? ? ?，h（x）在 ? ? ，? ?上单调递增， x0 时，? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 a0 且 a2 时，g（x1）+g（x2）的最小值为? ? ? ? ? 21 （12 分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两 点之间，且|ND|3|MD|，当滑标 M 在滑槽 EF 内作往复运动，滑标 N 在滑槽 GH 内随之 运动时，将笔尖放置于 D 处可画出椭圆，记该
38、椭圆为 C如图 2 所示，设 EF 与 GH 交 于点 O，以 EF 所在的直线为 x 轴，以 GH 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A1，A2是椭圆 C 的左、右顶点，点 P 为直线 x6 上的动点，直线 A1P，A2P 分 别交椭圆于 Q，R 两点，求四边形 A1QA2R 面积的最大值 【解答】解： （1）由|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两点之间，且|ND|3|MD|， 可得|MD|1，|ND|3 所以椭圆的长半轴 a 为 3，短半轴 b 为 1， 所以椭圆的方程为：? ? ? ?y21； （2）由对称性设 P（6，t） ，其
39、中 t0，则直线 A1P 的方程为：y? ? ?（x+3） ，直线 A2P 第 20页（共 21页） 的方程为：y? ? ?（x3） ，设 Q（x1，y1） ，R（x2，y2） ， 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消 x 可得（9+t2）y26ty0，由于 y ?0，所以 y1? ? ?， 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消 x 可得（1+t2）y2+2ty0，由于 y ?0，所以 y2? ? ?， 所以四边形 A1QA2R 的面积为 S? ? ?|A1A2|y1y2|? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
40、 ， 由于 t0，设 m? ? ? ? ? ?， 又 ym? ? ?在2 ?，+） ，所以 ym? ? ? ? ? ? ? ， 故 S? ? ? ? ?3 ?， 当且仅当 m2 ?，即 t?时，四边形 A1QA2R 的面积的最大值为 3 ? （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参 数方程数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy
41、 中，直线 l 的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? （t 为参数） ， 以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的极坐标方程； （2）设动点 M 的极坐标为（，） ，射线 OM 与直线 l 相交于点 A，且满足|OA|OM| 4，求点 M 轨迹的极坐标方程 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? （t 为参数） ，转换为直角坐标方程 为 x+y20转换为极坐标方程为cos+sin+20 （2）设动点 M 的极坐标为（，） ，射线 OM 与直线 l
42、相交于点 A，且满足|OA|OM| 4， 所以 A（? ? ，?） ， 第 21页（共 21页） 所以? ? ? ? ? ? ?，转换为2sin+2cos（0） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）2|x+1|+|x1| （1）解不等式 f（x）4； （2）设 f（x）的最小值为 m，实数 a，b，c 满足 a2+b2+c2m，证明：? ? ? ? ? ? 【解答】解： （1）f（x）? ? ? ?，? ? ? ? ? ?，? ? ? ?，? ? ? ， 不等式 f（x）4 等价于 ? ? ? ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ? ?， 解得? ? ? ?x1 或1x1 或 x1， 不等式的解集为? ? ?，1； （2）由（1）可知，f（x）在（，1递减，在（1，+）递增， f（x）的最小值为 f（1）2， m2， 即 a2+b2+c22， 根据柯西不等式得（a+b+c）2（12+12+12） （a2+b2+c2）6， 故? ? ? ? ? ?
