1、 任意角的三角函数任意角的三角函数三角函数的定义三角函数的定义初中锐角三角函数初中锐角三角函数(正弦正弦,余弦余弦,正切正切)是怎样定义的？是怎样定义的？图图 形形定定 义义对 边邻 边Atanab 邻 边斜 边Acosbr b bA AB Br ra aC C对 边斜 边Asinar )(22bar 今天我们来研究今天我们来研究三角函数的定义三角函数的定义.三三角角函函数数0 360的的角角任任意意角角角角度度制制弧弧度度制制1.1.理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同 的角的同一三角函数值相等的角的同一三角函数值相等.（重点）（重点）2.2.掌握
2、三角函数的定义域掌握三角函数的定义域.（难点）（难点）3.3.掌握三角函数在各象限的符号掌握三角函数在各象限的符号.（重点）（重点）角的概念已经推广，那么对任意角角的概念已经推广，那么对任意角 是否也能是否也能 像像锐角一样定义其三种三角函数呢？锐角一样定义其三种三角函数呢？将三角形放到直角坐标系中将三角形放到直角坐标系中A AB Bb b r ra aC C(b,a)(b,a)x xy yo o探究点探究点1 1：任意角的三角函数的定义：任意角的三角函数的定义)(22bar sin A arB B的的横横坐坐标标=B B到到原原点点的的距距离离cos A brB B的的纵纵坐坐标标=B B到
3、到原原点点的的距距离离tan A abB B的的纵纵坐坐标标=B B的的横横坐坐标标A AB Bb b a aC C当当B B沿射线沿射线OBOB移动时移动时,角角A A不变不变,其三个三角函数值其三个三角函数值改变与否改变与否?结论结论:三角函数值三角函数值与与点点B B在在终边上的位置无关终边上的位置无关,与角与角大小有关大小有关.(b,a)(b,a)x xy yo oB B(x,y)(x,y)m m22,mxycosA,bxrmin,Asayrman.Ataybxr r 叫做角叫做角的的正弦，正弦，记作记作sin，即即sin=；yryr1.1.任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义 叫
4、做角叫做角的的余弦，余弦，记作记作cos ,即即cos=；xrxr 叫做角叫做角的的正切，正切，记作记作tan，即即 tan=.yxyx它们只依赖于它们只依赖于的大小，的大小，与点与点P P在在终边上的位置终边上的位置无关无关.y yx xo oP (x,y)P (x,y)正弦：正弦：余弦：余弦：正切：正切：sin;yr cos;xr tan.yx 22|OPrxy 以以上上3 3种种函函数数,它它们们都都是是以以为为自自变变量量的的函函数数，分分别别叫叫做做角角正正弦弦函函数数、余余弦弦函函数数正正的的和和.统统切切函函数数三三称称为为角角函函数数.1r1r角角的的：secsec=;=;co
5、scosx x1r1r角角的的：csccsc=正正割割余余割割余余切切=;=;sinsiny y1x1x角角的的：cotcot=.=.tantany yk k+(k kZ Z)2 2t ta an n,s se ec c由由上上述述定定义义可可知知，当当的的终终边边在在y y轴轴上上，即即时时，没没有有意意义义；当当的的终终边边在在x x轴轴上上，即即时时，k k(k kZ Z)c co ot t,c cs sc c没没有有意意义义.上述三个三上述三个三角函数值的角函数值的倒数！倒数！x=0y=0有时我们还用到下面三个函数有时我们还用到下面三个函数2.2.三个三角函数的定义域三个三角函数的定义
6、域三角函数三角函数定义域定义域sin tan R|,2kkZ cos Rsinyr cosxr tanyx o oa ay yx xP(x,y)P(x,y)y yx xo oP(x,y)P(x,y)a ay yx xo oP(x,y)P(x,y)a ay yx xo oa aP(x,y)P(x,y)正弦：正弦：余弦：余弦：正切：正切：sinyr cosxr tanyx 因为因为r0,0,故正弦由故正弦由y y的的符号符号来决定，余弦由来决定，余弦由x x的符号的符号来决定，正切由来决定，正切由x,yx,y的符号的符号共同来决定共同来决定.怎样来判断三角函数在各象限的符号？怎样来判断三角函数在各
7、象限的符号？探究点探究点2 2：三角函数的符号：三角函数的符号3.3.三角函数在各个象限内的符号：三角函数在各个象限内的符号：xyosinxyocosxyotan+一全正、二正弦一全正、二正弦三正切、四余弦三正切、四余弦例例1.1.已知角已知角的终边经过点的终边经过点P P（2 2，3 3），求），求的六个三角函数值的六个三角函数值.解：解：因为因为x=2x=2，y=y=3 3，所以，所以 .13r sinsin=33 13,1313 yrcoscos=22 13,1313xrtantan=,=,32yx cotcot=23 xy，secsec=,=,132rxcsccsc=.=.133ry【
8、例题精讲例题精讲】求任意角的三角函数的步骤：提升总结：提升总结：;（1）取终边上一点P x,y;22（2）求r,r=x+y （3）求sin，cos，tan，利用sin，cos，tan 与csc，sec，cot 的关系可求cot，sec，csc 的值.20,02.sin1,cos0,tan.222yyryyyxyrrx【解解析析】意意，取取角角上上任任故故一一sin,cos,tan.2222个数求求角角 的的三三三三角角函函值值变式练习变式练习终边终边点点则则无无 义义例例2.2.求求下下列列各各角角的的六六个个三三角角函函数数值值：3 3（1 1）0 0；(2)(2)；(3).(3).2 2(
9、1)因(1)因0，0，x=r,y=0,所x=r,y=0,所以以sin 0=0,sin 0=0,cos 0=1,cos 0=1,tan 0=0，tan 0=0，csc 0不csc 0不存存在在，sec 0=1,sec 0=1,cot 0在cot 0在解解：不不存存.为当时为当时(2)因(2)因，x=-r,y=0,所x=-r,y=0,所以以sinsin=0,cos=0,cos=-1,tan=-1,tan=0,=0,cotcot不不存存在在，sec sec=-1,csc=-1,csc不不存存在在.为当时(3)因(3)因，x=0,y=-r,所x=0,y=-r,所以以333333sin=-1,cos=0
10、,tan不sin=-1,cos=0,tan不存存在在，222222333333cot=0,sec不cot=0,sec不存存在在，csc=-1.csc=-1.222222例例.确定下列各三角函数值的符号确定下列各三角函数值的符号:（1 1）cos 260;cos 260;（2 2）;（3 3）tan(tan(6722067220)；（4 4）.sin()310tan3解解:(1)260(1)260 在第三象限，所以在第三象限，所以cos260cos260 0.0.(2)(2)在第四象限，所以在第四象限，所以sin(sin()0.)0.20)0.(4)(4)在第三象限，所以在第三象限，所以tan
11、0.tan 0.103103从旋转的角度从旋转的角度看角所在的看角所在的象限。象限。例例4.4.设设sinsin000，确定，确定是第几象限的角是第几象限的角.解：解：因为因为sinsin000，所以，所以是第一或第三象限的角，因此满足是第一或第三象限的角，因此满足sin0sin0tan0的的是第三象限的角是第三象限的角.y ysinsin=0y 0=0y 0r rx0 x0=0 x x另另解解：1.sincos0,.若若则则角角 的的终终边边在在（）第第二二象象限限 第第四四象象限限 第第二二、四四象象限限 第第三三、四四象象限限ABCDC C2.,60033.-.3.-333若若点点是是角
12、角终终边边上上异异于于原原点点的的一一点点，则则的的值值是是（）A x yyxABCDC C3.3.角角的终边过点的终边过点P P(b b，4)4)，且，且coscos=，则则b b的值是（的值是（）A.3 A.3 B.B.3 3 C.C.3 3 D.5D.535解：解：r=r=，216b,cos,cos=23516 xbrb由由coscos0 0，得，得b b0 0，解得，解得b=3.b=3.A A4.4.在直角坐标系中，终边过点在直角坐标系中，终边过点(1(1，)的所有角的所有角的集合是的集合是_._.3|=2k|=2k+，kZkZ35.5.已知角已知角的终边上一点的终边上一点P(-P(-
13、，y)(y)(其中其中y y0)0)，且，且sin=sin=，求，求coscos和和tan.tan.324y当当y=y=时，时，cos=,tan=.cos=,tan=.当当y=y=时，时，cos=,tan=.cos=,tan=.解：解：sin=sin=22,43yyyry解得解得y y2 2=5=5，y=.y=.55641535641531.1.任意角的三角函数的定义；任意角的三角函数的定义；2.2.各三角函数的定义域；各三角函数的定义域；3.3.三角函数在各象限的符号；三角函数在各象限的符号；4.4.会根据三角函数定义求任意角的三角函数会根据三角函数定义求任意角的三角函数.霸祖孤身取二江，子孙多以百城降。豪华尽霸祖孤身取二江，子孙多以百城降。豪华尽出成功后，逸乐安知与祸双？出成功后，逸乐安知与祸双？王安石王安石
