1、一、选择题1我国古代数学名著孙子算经载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列，把数与的公共项从小到大得到数列，则下列说法正确的是（ ）ABCD2已知数列的通项公式，则前项和的最小值为( )A784B368C389D3923记为数列的前项和若点，在直线上，则（ ）ABCD4张丘建算经是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布尺，天其织布尺，则该女子织布每
2、天增加的尺数（不作近似计算）为（ ）ABCD5数列满足，并且，则（ ）ABCD6设是数列的前项和，且，则的通项公式为（ ）ABCD7已知数列的前项的和为，且，则（ ）A为等比数列B为摆动数列CD8对于数列，定义为的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前n项和为，则（ ）A2019B2020C2021D20229已知椭圆=1(ab0)与双曲线=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是 ()ABCD10已知等比数列的前n项和为，若，则，（ ）A10B15C20D2511设为等比数列，给出四个数列：，.其中一
3、定为等比数列的是（ ）ABCD12已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=3f(x+2)，且，设f(x)在2n-2,2n)上的最大值为，且数列an的前n项和为Sn，若Snk对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（ ）ABCD二、填空题13在数列中，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：；数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是_.14已知等差数列的首项是，公差是2，则数列的前n项和的最小值是_.15数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，的有个，则该数列第2020项是_16已知数列的首项，其前项和
4、为，且满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是_.17定义表示实数中的较大的数已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为_18已知数列与前n项和分别为，且，对任意的，恒成立，则k的最小值是_19设无穷数列an的前n项和为Sn，下列有三个条件：；Snan+1+1，a10；Sn2an+（p是与n无关的参数）从中选出两个条件，能使数列an为唯一确定的等比数列的条件是_20著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，的特点是从三个数起，每一个数等于它前面两个数的和，则是数列中的第_项三、解答题21在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列是各项均为正数的等差数列，且、成等
5、比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记_，求数列的前项和.22在，这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.已知正项数列的前项和为， （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.23已知等差数列中，为数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和24从条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答（注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分）已知数列的前n项和为，_（1）求数列的通项公式；（2）若，成等比数列，求正整数k的值25已知正项等比数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）令，记
6、数列的前项和为，求的最大值.26已知为等差数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】根据题意数列、都是等差数列，从而得到数列是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.【详解】根据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列， ，数列是首项为2，公差为5的等差数列，数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，对于A， ， ，错误；对于B， ，错误；对于C， ，正确；对于D， ，错误.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列、都是等差数列得到数列的通项公
7、式，考查了理解能力和计算能力.2D解析：D【解析】令，求得，即数列从第项开始为正数，前项为负数，故数列的前项的和最小，故选D.【方法点睛】求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：将前项和表示成关于的二次函数，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；可根据且确定最大时的值.3C解析：C【分析】由题可得，根据，可求得为等比数列，进而可求得本题答案.【详解】因为点在直线上，所以.当时，得；当时，-得，所以数列为等比数列，且公比，首项，则.故选：C【点睛】本题主要考查根据的关系式求通项公式的方法.4A解析：A【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知，求公差由等差数列的知
8、识可得，解之得，应选答案A5C解析：C【解析】依题意有，由此计算得，.6C解析：C【分析】由结合即可求出和，通过构造法即可求出通项公式.【详解】当时，解得；当时，故选:C【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了构造法求数列的通项公式，属于中档题.7D解析：D【分析】利用已知条件求出数列的通项公式，再求出的前项的和为，即可判断四个选项的正误.【详解】因为，当时，解得：，当时，-得：，即，所以，所以是以为首项，为首项的等比数列，所以，所以，所以不是等比数列，为递增数列，故不正确，故选项不正确，选项正确.故选：【点睛】本题主要考查了利用数列的
9、递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.8D解析：D【分析】根据，且，得到，然后利用数列通项与前n项和的关系求得，再利用等差数列求和公式求解.【详解】，且，当时，有，两式相减可得：.（）.当时，适合上式.则数列是以3为首项，以2为公差的等差数列.故选：D.【点睛】本题主要考查数列通项与前n项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.9D解析：D【解析】由题意可知2n2=2m2+c2又m2+n2=c2，m=c是a，m的等比中项，选D10A解析：A【分析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得，结合的值进而可
10、得结果.【详解】，则，故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题.11D解析：D【分析】设，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】设，,所以数列是等比数列；，所以数列是等比数列；，不是一个常数，所以数列不是等比数列；，不是一个常数，所以数列不是等比数列.故选D【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12B解析：B【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得的的最大值，由递推式可得数列为首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得的最小值【详解】解：当时，且
11、，可得时，的最大值为，时，的最大值为，即当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，所以，由Snk对任意的正整数n均成立，可得，所以实数k的取值范围为，故选：B【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题二、填空题13【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】曲线在点处的切线方程为则则是首项为1公比为的等比数列从而解析：【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而
12、证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.【详解】，曲线在点处的切线方程为，则.，则是首项为1，公比为的等比数列，从而，.故所有正确结论的编号是.故答案为：【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题.14【分析】本题先求等差数列前n项和再由此求出数列的前n项和的最小值【详解】解：等差数列的首项是公差是2时数列的前n项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n项和的最小值的求法考查等差数解析：.【分析】本题先求等差数列前n项和，再由此求出数列的前n项和的最小值.【详解】解：等差数列的首项是，公差是
13、2，时，数列的前n项和的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15【分析】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列然后计算原第2020项在这个数列的第几项再根据题意可得【详解】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列因为则2020项前共包含解析：【分析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，然后计算原第2020项在这个数列的第几项，再根据题意可得.【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，因为，则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后
14、一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为.故答案为：.【点睛】本题考查数列创新问题，解题关键是把绝对值相同的数字归为一组，通过组数来讨论原数列中的项，这借助于等差数列就可完成，本题考查了转化思想，属于中档题.16【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解：即即故由知；若对任意恒成立只需使即解得故故答案为：【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析：【分析】由化简可得，从而可得，由知，则从而解得【详解】解：，即，即，故，由知，；若对任意，恒成立，只需使，即，解得，故故答案为：【点睛】本
15、题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用177254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254【分析】参数进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据求得的值可得答案.【详解】由题意，当时，因此是周期数列，周期为，所以，不合题意，当时，同理是周期数列，周期为，所以，.故答案为：【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列
16、的前几项（本题由依次求出），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数进行分类讨论解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题18【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是解析：【分析】首先利用与的关系式，求数列的通项公式，再利用裂项相消法求，再利用的最值求的最小值.【详解】当时，解得或，当，两式相减后可得，整理后得：，所以
17、，数列是公差为1的等差数列，即， ，数列单调递增，当时， 对任意的，恒成立，即,的最小值是.故答案为：【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.19【分析】选在中令在中令联立方程由方程无解推出矛盾；选在中由通项与前项和之间的关系求出公比在中令在中用表示出联立方程求出确定数列；选由通项与前项和之间的关系即可
18、作出判断【详解解析：【分析】选，在中令，在中令联立方程，由方程无解推出矛盾；选，在中由通项与前项和之间的关系求出公比，在中令，在中用表示出联立方程，求出确定数列；选，由通项与前项和之间的关系即可作出判断.【详解】在中，令，得；在中，当时， ，两式相减，得，即 ；在中，两式相减，得 ，即 ，若选，则即 ， ，方程无解，故不能选作为条件；若选，则由知，数列的公比为2，由 得 ，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列；若选作为条件，则无法确定首项，数列不唯一，故不能选作为条件.综上所述，能使数列为唯一确定的等比数列的条件是.故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列
19、的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.20【分析】由题意可得进而可得然后再利用累加法即可求出结果【详解】由题意可知所以即所以所以又所以所以是数列中的第项故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用考查学生的计算能力属于中档题解析：【分析】由题意可得，进而可得，然后再利用累加法，即可求出结果【详解】由题意可知，所以，即所以， ， ， 所以，又 所以 所以是数列中的第项.故答案为： 【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题21（1）；（2）答案见解析.【分
20、析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得的通项公式；（2）选，求得，利用错位相减法可求得；选，求得，分和两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得；选，可得，利用裂项相消法可求得.【详解】（1）因为、成等比数列，所以，设等差数列的公差为，则，则有，又，所以，联立解得，所以；（2）选，则，上式下式得，化简得；选，则，当时，；当时，.综上；选，则.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（
21、4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.22（1）条件性选择见解析，；（2）.【分析】（1）若选，先求出，由可得，两式相减可得，从而得出答案; 若选，由可得，两式相减可得，由累乘法可得答案.(2)由（1）可得，则，于是，由错位相减法可求和得出答案.【详解】（1）选时，当时，因为，所以，由，可得，得，整理得，所以因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；选时，因为所以当时，得：，即中，令，得，适合上式所以当时，又，所以对任意，（2）因为即所以，于是，得所以【点睛】关键点睛：本题考查求数列的通项公式和应用错位相减法求数列的前项和，解答本题的关键是按照步骤求解，考查计
22、算能力，由，得出，两式相减再化简得出答案，属于中档题.23（1）；（2）.【分析】（1）由已知列方程求出首项和公差，可得答案；（2）求出及的通项公式，由裂项相消求和可得答案.【详解】（1），由得，；（2）由（1）知，；，.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和，考查了学生的基础知识、基本运算.24（1）答案见详解；（2）答案见详解.【分析】选时，先写，作差得到是等差数列，即求得，再按要求列方程解得正整数k的值即可；选时，代入，化简得到是等差数列，求得，再计算即可，再按要求列方程解得正整数k的值即可；选时，先写，作差得到数列是等差数列，即
23、求得，再按要求列方程解得正整数k的值即可.【详解】解：若选，则，两式作差得，即，所以是等差数列，首项是，公差是0，故，所以；由通项公式知，故，又，结合题意知，即，解得或，因为k是正整数，所以.若选，故，故，即，故是等差数列，首项是，公差是1，故，故.时，且也适合该式，故数列的通项公式；，结合题意知，即，解得或，因为k是正整数，所以.若选，则，两式作差得，化简得，由知，得，即，数列是等差数列，首项是1，公差为1，故；由通项公式知，故，又，结合题意知，即，解得或，因为k是正整数，所以.【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，若已知式是关于和关系式时，也通常利用两式作差得到消去，或
24、者代入消去，进行化简计算.25（1）；（2）最大值为.【分析】（1）已知条件用和公比表示后解得，得通项公式；（2）由（1）求得，由求得最大时的值，再计算出最大的【详解】解：（1）设数列的公比为，由，有，又由，有，得，有，解得或(舍去)，由，可求得，有，故数列的通项公式为；（2），若，可得，可得当且时；当且时，故最大，又由，可得，故的最大值为.【点睛】思路点睛：本题考查求等比数列通项公式，求等差数列前项和最大值，求等差数列前项和的最大值方法：数列是等差数列，前项和为，（1）求出前项和的表达式，利用二次函数的性质求得最大值；（2）解不等式，不等式的解集中最大的整数就是使得最大的值，由此可计算出最大
25、的（注意0时，）26（1）；（2）.【分析】（1）根据，利用等差数列的通项公式以及前项和公式求解.（2）由（1）得到，利用数列求和的错位相减法求解.【详解】（1）因为， 所以，解得，所以.（2）由（1）得 ，则，两式相减得：，所以.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解
