1、第一章函数专练8对数函数一、选择题1设a0.32.1，b2.10.3，clog0.32.1，dlog2.10.3，则a，b，c，d的大小关系为（）AabcdBdcbaCbacdDbadc2已知实数x，y满足log2x+eylog2y+ex，则下列结论一定正确的是（）AxyBln|xy|0Cln|xy+1|0Dln|yx+1|03已知函数f（x）log3（x+2），若abc0，则的大小关系（）ABCD4设0a1，则（）ABCD5若，则（）ABCD6已知b0，log5ba，lgbc，5d10，则下列等式一定成立的是（）AdacBacdCcadDda+c7若函数f（x）ln（ax22x+3）的值域为
2、R，则实数a的取值范围是（）A0，B（，+）C（，D（0，8已知函数yf（x）（xR）满足f（x+2）2f（x），且x1，1时，f（x）|x|+1，则当x10，10时，yf（x）与g（x）log4|x|的图象的交点个数为（）A13B12C11D109已知函数f（x）ln（|x|+1）+，则使得f（x）f（2x1）的x的取值范围是（）ABC（1，+）D10若函数f（x）loga（2ax）（a0a1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（）A，1）B（0，C（1，）D）11已知函数f（x）lnxax2（a0），若存在实数m，n1，3，且mn1时有f（m）f（n）成立，则实数a的取值范围是（
3、）A（0，BC（D（）12设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在a，bD，使f（x）在a，b上的值域是，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A（0，）B（，）C（0，D（，二、 填空题13若函数f（x）（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是14如图所示，正方形ABCD的四个顶点在函数y1logax，y22logax，y3logax+3（a1）的图象上，则a15若方程log2（ax22x+2）2在区间有解，则实数a16设函数f（x）|logax|（0a1）的定义域为m，n（mn），值域为0，1，若n
4、m的最小值为，则实数a三、 解答题17已知aR，函数f（x）log2（+a）（1）当a5时，解关于x的不等式f（x）0；（2）设a0，若对任意t，1，函数f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围18已知函数f（x）logax（a1），若ba，且f（b）+，abba（1）求a与b的值；（2）当x0，1时，函数g（x）m2x22mx+1的图象与h（x）f（x+1）+m的图象仅有一个交点，求正实数m的取值范围19设为奇函数，a为常数（1）确定a的值（2）求证：f（x）是（1，+）上的增函数（3）若对于区间3，4上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m取值范围20已知
5、函数（a0且a1）（）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（）当0a1时，判断函数f（x）在（1，+）上的单调性，并利用单调性的定义证明；（）是否存在实数a，使得当f（x）的定义域为m，n时，值域为1+logan，1+logam？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由第一章函数专练8对数函数答案1解：00.32.10.301，2.10.32.101，bacd故选：C2解：实数x，y满足log2x+eylog2y+ex，则 log2xexlog2yey，再根据f（x）log2xex为（0，+）上的增函数，xy，yx+11，ln|yx+1|0，故选：D3解：函数f（x）log3（x+2
6、），则 可分别看作（a，f（a），（b，f（b），（c，f（c） 与原点连线的斜率，如图：当abc0时，有，故选：A4解：0a1，0a2a1，在A中，故A错误；在B 中，故B正确；在C中，故C错误；在D中，故D错误故选：B5解：由函数，可知，x（0，e），f（x）0，x（e，+），f（x）0，又，所以故选：A6解：由5d10，可得，cdlgblog5ba故选：B7解：若函数f（x）ln（ax22x+3）的值域为R，即有tax22x+3取得一切的正数，当a0时，t32x取得一切的正数，成立；当a0不成立；当a0，0即412a0，解得0a，综上可得0a故选：A8解：由题意，函数f（x）满足：定义域
7、为R，且f（x+2）2f（x），当x1，1时，f（x）|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数ylog4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间10，10内共有11个交点；故选：C9解：函数f（x）ln（|x|+1）+为定义域R上的偶函数，且在x0时，函数单调递增，f（x）f（2x1）等价为f（|x|）f（|2x1|），即|x|2x1|，两边平方得x2（2x1）2，即3x24x+10，解得x1；使得f（x）f（2x1）的x的取值范围是（，1）故选：A10解：令ylogat，t2ax，a0t2ax在（1，3）上单调递减f（x）loga（2ax）（a0，a1）在区间（1
8、，3）内单调递增函数ylogat是减函数，且t（x）0在（1，3）上成立0a故选：B11解：依题意得n1，2，m2，3，而f（x），由a0，mn1时有f（m）f（n）成立，则f（x）须在（1，）上单调递增，在（，3）上单调递减，f（1）a，f（2）ln24a，f（3）ln39a，当f（3）f（1）时，只需f（2）f（3），此时ln24aln39a，解得a；当f（3）f（1）时，只需f（2）f（1），此时ln24aa，解得aa的取值范围为：a故选：B12解：函数f（x）f（x）log2（2x+t）为“倍缩函数”，且满足存在a，bD，使f（x）在a，b上的值域是，f（x）在a，b上是增函数；，即，
9、a，b是方程2x+t0的两个根，设m，则m0，此时方程为m2m+t0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；，解得：0t，满足条件t的范围是（0，），故选：A13解：由于函数f（x）（a0且a1）的值域是4，+），故当x2时，满足f（x）6x4若a1，f（x）3+logax在它的定义域上单调递增，当x2时，由f（x）3+logax4，logax1，loga21，1a2若0a1，f（x）3+logax在它的定义域上单调递减，f（x）3+logax3+loga23，不满足f（x）的值域是4，+）综上可得，1a2，故答案为：（1，214解：设B（x1，2logax1），C（x1，logax1+3），
10、A（x2，logax2），D（x2，2logax2），则logax22logax1，又2logax2logax1+3，即x1a，ABCD为正方形，|AB|BC|；可得a2a2，解得a2故答案为：215解：方程log2（ax22x+2）2在 内有解，则ax22x20在 内有解，即在 内有值使 成立，设 ，当 时，a的取值范围是 故答案为：16解：若1mn，则f（x）logax，f（x）的值域为0，1，f（m）0，f（n）1，解得m1，n，又nm的最小值为，1以及0a1，当“”成立时，解得a，符合题意；若0mn1，则f（x）logax，f（x）的值域为0，1，f（m）1，f（n）0，解得ma，n1
11、，又nm的最小值为，1a，解得a，符合题意；若0m1n时，根据对数函数的性质得不满足题意故答案为：或四、 解答题17解：（1）a5时，f（x）log2（5），令f（x）0，即51，0x，故不等式的解集是（0，）；（2）函数f（x）在区间t，t+1上单调递减，由题意得f（t）f（t+1）1，即log2（+a）log2（ +a）1，即+a2（ +a），即a，设1tr，则0r，当r0时，0，当0r时，yr+在（0，）上递减，r+4，实数a的取值范围是a18解：（1）函数f（x）logax（a1），若ba，且f（b）+，abba，可得logab+logba，即为（logab）2logab+10，解得l
12、ogab2或，由于ba1，可得logab2，即ba2，又a2a，即a22a，解得a2，b4；（2）根据题意，由于m为正数，yg（x）（mx1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+）为增函数，函数ylog2（x+1）+m为增函数，分2种情况讨论：当0m1时，有1，在区间0，1上，y（mx1）2 为减函数，且其值域为（m1）2，1，函数ylog2（x+1）+m为增函数，其值域为m，1+m，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；当m1时，有1，y（mx1）2 在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数ylog2（x+1）+m为增函数，其值域为m，1+m，若两个函数的图象有1个交点，则
13、有（m1）21+m，解可得m0或m3，又由m为正数，则m3；综合可得m的取值范围是（0，1（3，+）19解：（1）f（x）是奇函数，定义域关于原点对称，由0，得（x1）（1ax）0令（x1）（1ax）0，得x11，x2，1，解得a1（2）由（1）f（x），令u（x）1+，设任意x1x2，且x1，x2（1，+），则u（x1）u（x2），1x1x2，x110，x210，x2x10，u（x1）u（x2）0，即u（x1）u（x2）u（x）1+（x1）是减函数，又yu为减函数，f（x）在（1，+）上为增函数（3）由题意知（）xm，x（3，4）时恒成立，令g（x）（）x，x（3，4），由（2）知在3，4上
14、为增函数，又（）x在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，g（x）的最小值为g（3），m，故实数m的范围是（，）20解：（1）由10，可得x1或x1，f（x）的定义域为（，1）（1，+）；f（x）loga（1）loga（），且f（x）loga（）loga（）loga（）f（x）；f（x）在定义域上为奇函数（2）当0a1时，f（x）在（1，+）单调递减，任取x1，x2且1x1x2，f（x1）f（x2）loga（）；由（x11）（x2+1）（x1+1）（x21）2（x1x2）0，01，又0a1，loga（）0则f（x1）f（x2），f（x）在（1，+）单调递减；（3）假设存在这样的实数a，使得当f（x）的定义域为m，n时，值域为1+logan，1+logam；由0mn，又logan+1logam+1，即loganlogam，0a1由（2）知：f（x）在（1，+）单调递减，f（x）在（m，n）单调递减，即m，n是方程logalogax+1的两个实根，即ax在（1，+）上有两个互异实根；于是问题转化为关于x的方程ax2+（a1）x+10在（1，+）上有两个不同的实数根，令g（x）ax2+（a1）x+1，则有，解得0a32；故存在实数a（0，32），使得当f（x）的定义域为m，n时，值域为1+logan，1+logam
