1、高高中中数学选修数学选修 2-1 知识点知识点 第一章：命题与逻辑结构第一章：命题与逻辑结构 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、 “若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个 命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q” ，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否 定，则这两个命题称为互否命题.中
2、一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q” ，则它的否命题为“若p，则q”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否 定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否 命题。 若原命题为“若p，则q” ，则它的否命题为“若q，则p” 。 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： 1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 7、若
3、pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件） 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq 当p、q都是真命题时，pq是真命题； 当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq 是假命题 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假 命题时，pq是假命题 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p 若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题 9、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示
4、 含有全称量词的命题称为全称命题 全称命题“对中任意一个x，有 p x成立” ，记作“x ， p x” 短语“存在一个” 、 “至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示 含有存在量词的命题称为特称命题 特称命题“存在中的一个x，使 p x成立” ，记作“x ， p x” 10、全称命题p：x ， p x，它的否定p：x ， p x。全称命题的否定 是特称命题。 特称命题p：x ， p x，它的否定p：x ， p x。特称命题的否定是全 称命题。 第二章：圆锥曲线第二章：圆锥曲线 11、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 建立适当的适当的直角坐标系；设动点,M x y
5、及其他的点；找出满足限制条件的等式； 将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂） 。 12、 平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之和和等于常数（大于 12 F F） 的点的轨迹称为椭圆。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。 12 222MFMFaac 13、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围 axa 且byb bxb 且aya 顶点 1 ,0a、 2 ,0a 1 0, b、 2 0,b 1 0, a、 2 0,a 1 ,0b 、 2 ,0b 轴长
6、短轴的长2b 长轴的长2a 焦点 1 ,0Fc、 2 ,0F c 1 0,Fc、 2 0,Fc 焦距 222 12 2FFc cab，a 最大 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 离心率 2 2 101 cb ee aa 准线方程 2 a x c 2 a y c 14、设是椭圆上任一点，点到 1 F对应对应准线的距离为 1 d，点到 2 F对应对应准线的距离 为 2 d，则 12 12 FF e dd 。 15、平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之差的绝对值差的绝对值等于常数（小于 12 F F）的点的轨迹 称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。
7、 12 222MFMFaac 16、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10,0 xy ab ab 22 22 10,0 yx ab ab 范围 xa 或xa，yR ya 或ya，xR 顶点 1 ,0a、 2 ,0a 1 0, a、 2 0,a 轴长 虚轴的长2b 实轴的长2a 焦点 1 ,0Fc、 2 ,0F c 1 0,Fc、 2 0,Fc 焦距 222 12 2FFc cab，c 最大 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 离心率 2 2 11 cb ee aa 准线方程 2 a x c 2 a y c 渐近线方程 b yx a
8、 a yx b 17、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 18、设是双曲线上任一点，点到 1 F对应对应准线的距离为 1 d，点到 2 F对应对应准线的距 离为 2 d，则 12 12 FF e dd 。 18、 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线 定点F称为 抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线 19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的 “通径” ，即2p 20、焦半径公式： 若点 00 ,xy 在抛物线 2 20ypx p 上，焦点为F，则 0 2 p Fx ； 若点 00 ,xy 在抛物线 2 20ypx p 上，焦点为F
9、，则 0 2 p Fx ； 若点 00 ,xy 在抛物线 2 20xpy p 上，焦点为F，则 0 2 p Fy ； 若点 00 ,xy 在抛物线 2 20xpy p 上，焦点为F，则 0 2 p Fy 21、抛物线的几何性质： 标准方程 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 0p 2 2xpy 0p 图形 顶点 0,0 对称轴 x轴 y 轴 焦点 ,0 2 p F ,0 2 p F 0, 2 p F 0, 2 p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率 1e 范围 0x 0x 0y 0y 第三章：空间向量第三章：空间向量 1、空间向量的概念： 1
10、在空间，具有大小和方向的量称为空间向量 2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示 向量的方向 3向量的大小称为向量的模（或长度） ，记作 4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量 5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a 6方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的加法和减法： 1求两个向量和的运算称为向量的加法， 它遵循平行 四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已 知向量a、b为邻边作平行四边形C ， 则以起 点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方 法，称为向量加法的平行四边形法则 2求两个向量差的运
11、算称为向量的减法，它遵循三角 形法则 即： 在空间任取一点， 作a ，b， 则ab 3、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与 a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0a的 长度是a的长度的倍 4、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律 分配律： abab；结合律：aa 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行 向量，并规定零向量与任何向量都共线 6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a， 0b b ，/ab的充要条件是存在 实数，使ab 7、平行于同一个平面的向量称为共
12、面向量 8、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使 xy C ； 或对空间任一定点， 有xy C ； 或若四点， ，C共面，则1xyz C xyz 9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为 向量a，b的夹角，记作, a b两个向量夹角的取值范围是：,0,a b 10、对于两个非零向量a和b，若, 2 a b ，则向量a，b互相垂直，记作ab 11、已知两个非零向量a和b，则cos,a ba b称为a，b的数量积，记作a b即 cos,a ba ba b零向量与任何向量的数量积为0 12、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,ba
13、b的乘积 13 若a，b为非零向量，e为单位向量，则有 1cos,e aa eaa e； 20aba b； 3 a b ab a b a b ab 与 同向 与 反向 ， 2 a aa，aa a； 4cos, a b a b a b ； 5a ba b 14 量数乘积的运算律： 1a bb a； 2 aba bab； 3abca cb c 15、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数 组, ,x y z，使得pxaybzc 16、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是 , , ,p pxaybzc x y zR这个集合可看作是由向量a，b，c生
14、成的， , ,a b c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以 构成空间的一个基底 17、设 1 e， 2 e， 3 e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底） ， 以 1 e， 2 e， 3 e的公共起点为原点，分别以 1 e， 2 e， 3 e的方向为x轴，y轴，z轴的正 方向建立空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的 起 点 与 原 点重 合 ， 得 到 向 量p 存 在 有 序 实 数 组, ,x y z， 使 得 123 px ey ez e把x，y，z称作向量p在单位正交基底 1 e， 2 e， 3
15、 e下的坐标，记 作, ,px y z此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标, ,x y z 18、设 111 ,ax y z， 222 ,bxy z，则 1 121212 ,abxxyy zz 2 121212 ,abxxyy zz 3 111 ,axyz 4 12121 2 a bx xy yz z 5若a、b为非零向量，则 1 2121 2 00aba bx xy yz z 6若0b ，则 121212 /,ababxxyy zz 7 222 111 aa axyz 8 12121 2 222222 111222 cos, x xy yz za b a b a bxyzxy
16、z 9 111 ,x y z， 222 ,xy z， 则 222 212121 dxxyyzz 19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表 示向量称为点的位置向量 20、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定点是直线 l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta ，这样 点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点 21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点 ，它们的方向向量分别为a，b为平面上任意一点，存在有序实数对, x y，使 得xayb ，这样点与向
17、量a，b就确定了平面的位置 22、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量 23、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则/abab abR，0ababa b 24、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则/aa 0ana n，/aaanan 25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则/ab ab，0aba b 26、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有 coscos a b a b 27、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角 为，则有sincos l n l n 28、设 1 n， 2 n是二面角l 的两个面，的法向量，则向量 1 n， 2 n的夹角（或其 补角）就是二面角的平面角的大小若二面角l 的平面角为，则 12 12 cos n n n n 29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算 30、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离 为cos, n dn n 31、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到 平面的距离为cos, n dn n
