1、20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它它 与整式乘法是相反方向的变形与整式乘法是相反方向的变形在分式运算在分式运算、解方解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要是一种重要 的基本技能的基本技能 因式分解的方法较多因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的除了初中课本涉及到的 提取公因式法和公式法提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公平方差公式和完全平方公 式式)外外，还有还有公式法公式法(立方和立方和、
2、立方差公式立方差公式)、十字相十字相 乘法乘法、分组分解法分组分解法、配方法配方法、拆拆(添添)项法项法等等等等 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 一、公式法一、公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式) 3322 3322 ()() ()() abab aabb abab aabb 两个数的立方和两个数的立方和(差差)，等于这等于这两个数的和两个数的和(差差)乘乘 以它们的平方和与它们积的差以它们的平方和与它们积的差(和和) 【例例1】因式分解：因式分解： 33 (1) 8 (2) 0.12527xb 3332 1 82242:( ) ()().xxxxx解解 33
3、322 2 2 0 125270 530 530 50 5 33 0 530 25 1 59 ( )()( .) () ( .)( ). bbbbb bbb 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 一、公式法一、公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式) 【例例2】因式分解：因式分解： ( ) (2) 3476 1381a bbaab (1) 343322 :3813 (27)3 (3 )(39).a bbb abb ab aabb解解 ( ) 76663333 2222 2222 2()()() ()()()() ()()()(). aaba aba abab a ab
4、aabbab aabb a ab ab aabbaabb 7666224224 2222222 2222 ()()() ()() ()()()(). aaba aba abaa bb a ababa b a ab ab aabbaabb 或或 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二、分组分解法二、分组分解法 从前面可以看出从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的能够直接运用公式法分解的 多项式多项式，主要是二项式和三项式主要是二项式和三项式而对于四项以上而对于四项以上 的多项式的多项式，如如 既没有公式可用既没有公式可用，也也 没有公因式可以提取没有公因式可以提取因此因此，
5、可以先将多项式分组可以先将多项式分组 处理处理这种这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分利用分组来因式分解的方法叫做分组分 解法解法分组分解法的关键在于如何分组分组分解法的关键在于如何分组 mambnanb 【例例3】因式分解：因式分解： 2105axaybybx 说明：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续用分组分解法，一定要想想分组后能否继续 完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也 可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不 妨一试妨一试 210525552:()()()().axaybybx
6、a xyb xyxyab解解 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二、分组分解法二、分组分解法 【例例4】因式分解：因式分解： 2105axaybybx 【例例5】因式分解：因式分解： 2105axaybybx 22222222 2222 :()() ()() ()()()(). ab cdab cdabcabda cdb cd abca cdb cdabd ac bcadbd bcadbcadacbd 解解 222222 22 2428224 22222 :() ()() ()(). xxyyzxxyyz xyzxyzxyz 解解 20202020年年7 7月月1010日
7、星期五日星期五 三、十字相乘法三、十字相乘法 1 1 2 ()xpq xpq型的因式分解型的因式分解 22 () ()()()() xpq xpqxpxqxpq x xpq xpxp xq 2 () ()() xpq xpq xp xq 【例例6】因式分解：因式分解： 22 176 (2)1336( )xxxx 2 (1)761616:()()()().xxxxxx 解解 2 (2)133649()().xxxx 【例例7】因式分解：因式分解： 22222 (1)6 (2)812()()xxyyxxxx 2222 (1)6632:()().xxyyxyxxyxy解解 22222 (2)8126
8、2 3221 ()()()() ()()()(). xxxxxxxx xxxx 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 三、十字相乘法三、十字相乘法 2一般二次三项式一般二次三项式 2 axbxc型的因式分解型的因式分解 大家知道，大家知道， 2 112212122 112 ()()()a xca xca a xa ca c xc c 反过来，就得到：反过来，就得到： 2 12122 1121122 ()()()a a xa ca c xc ca xca xc 我们发现，二次项系数我们发现，二次项系数a分解成分解成 12 a a，常数项，常数项c分解成分解成 1 2 c c，把
9、，把 1212 ,a a c c写成写成 11 22 ac ac ，这里按，这里按 斜线交叉相乘，再相加，就得到斜线交叉相乘，再相加，就得到 122 1 a ca c，那么，那么 2 axbxc就可以分解成就可以分解成 1122 ()()a xca xc 这种这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法 【例例8】因式分解：因式分解： 222 11252 (2)568( )xxxxyy 2 1125232 41:( )()().xxxx解解 32 4 1 22 2 568254( )()()
10、.xxyyxyxy 1 2 54 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 三、十字相乘法三、十字相乘法 【例例9】因式分解：因式分解： 222 12728 (2)2155( )()()xxxxxxaxa 分析：分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有有 时可能会多次使用十字相乘法时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的并且对于项数较多的 多项式多项式，应合理使用分组分解法应合理使用分组分解法，找公因式找公因式，如五项如五项 可以三可以三、二组合二组合. 22 :(1)(21)(28).xxxx解解原原式式 2 (2)(215)(5
11、 ) (3)(5)(5) (5)(3). xxaxa xxa x xxa 原原式式 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 四、配方法四、配方法 【例例10】因式分解：因式分解： 222 1616 (2)44( )xxxxyy 222 :(1)616(3)5(8)(2).xxxxx解解 22222 (2)44(44)8xxyyxxyyy 22 (2 )8(22 2 )(22 2 ).xyyxyyxyy 说明：说明：这种这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差然后
12、用平方差 公式分解公式分解 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 五、拆五、拆(添添)项法项法 【例例11】因式分解：因式分解： 32 34xx 3232 :34(1)(33)xxxx解解 2 (1)(1)3(1)(1)xxxxx 2 (1)(1)3(1)xxxx 22 (1)(44)(1)(2) .xxxxx 说明：说明：一般地一般地，因式分解因式分解，可按下列步骤进行：可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式如果多项式各项有公因式，那么那么先提取公因式先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式如果各项没有公因式，那么可以那么可以运用公式法或分组运用公式法或分组 分解法或其它方法分解法或其它方法(如十字相乘法如十字相乘法)来分解来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分都不能再分 解为止解为止
