1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学卷年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 （上海卷） 一、填空题（本题共 12 小题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分） 1. 已知集合1,2,4A ，2,3,4B ，求AB _ 【分值】4 分 【答案】 2,4 2. 1 lim 31 n n n _ 【分值】4 分 【答案】 1 3 3. 已知复数 z 满足1 2zi （i为虚数单位） ，则z _ 【分值】4 分 【答案】 5 4. 已知行列式 1 26 300 ac db ，则行列式 ac db _ 【分值】4 分 【答案】2 5. 已知 3 fxx，则 1
2、fx _ 【分值】4 分 【答案】 1 3 xxR 6.已知 a、b、1、2 的中位数为 3，平均数为 4，则 ab= 【分值】4 分 【答案】36 7.已知 2 0 230 xy y xy ，则2zyx的最大值为 【分值】5 分 【答案】-1 8.已知 n a是公差不为零的等差数列，且 1109 aaa，则 129 10 aaa a 【分值】5 分 【答案】 27 8 9.从 6 人中挑选 4 人去值班，每人值班 1 天，第一天需要 1 人，第二天需要 1 人，第三天需 要 2 人，则有种排法。 【分值】5 分 【答案】180 10.椭圆 22 1 43 xy ，过右焦点 F 作直线l交椭圆
3、于 P、Q 两点，P 在第二象限已知 , , QQQQ Q xyQxy都在椭圆上，且y0 QQ y ， FQPQ，则直线l的方程为 【分值】5 分 【答案】10 xy 11、设aR，若存在定义域R的函数 f x既满足“对于任意 0 xR， 0 f x的值为 2 0 x或 0 x”又满足“关于x的方程 f xa无实数解”，则的取值范围为 【分值】5 分 【答案】,00,11, 【解析】题目转换为是否为实数a,使得存在函数 f x 满足“对于任意 0 xR， 0 f x的值为 2 0 x或 0 x”， 又满足“关于的方程 f xa无实数解”构造函数； 2 , , x xa f x xxa ，则方程
4、 f xa 只有 0,1 两个实数解。 12、 已知是平面内两两互不平等的向量， 满足， 且(其中1,21,2,.ijk，)，则 K 的最大值为 【分值】5 分 【答案】6 【解析】根据向量减法的运算规律， 可转化为以向量终点 为圆心，作半径 1 1r 和 2 2r 的圆，两圆 交点即为满足题意的， 由图知，k的最大 值为 6. 二、选择题（本题共有 4 小题，每题 5 分，共计 20 分） 13、下列不等式恒成立的是（） A、 22 2abab B、 22 -2abab C、2abab D、2abab 【分值】5 分 【答案】B 【解析】无 14、已知直线l的解析式为3410 xy ，则下列
5、各式是l的参数方程的是（） A、 43 34 xt yt B、 43 34 xt yt C、 1 4 1 3 xt yt D、 14 1 3 xt yt 【分值】5 分 【答案】D 【解析】无 15、 在棱长为 10 的正方体. 1111 ABCDABC D中，P为左侧面 11 ADD A上一点， 已知点P到 11 AD的距离为 3， 点P到 1 AA的距离为 2， 则过点P且与 1 AC平行的直线交正方体于P、Q 两点，则Q点所在的平面是（ ） A. 11 AAB B B. 11 BBCC C. 11 CC D D D. ABCD 【分值】5 分 【答案】D 【解析】 延长BC至M点，使得=
6、2CM 延长 1 CC至N点，使得3CN , 以CMN、为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为H， 连接 1 APPHHC、，则易得四边形 1 APHC为平行四边形， 因为点P在平面 11 ADD A内，点H在平面 11 BCC B内， 且点P在平面ABCD的上方，点H在平面ABCD下方， 所以线段PH必定会在和平面ABCD相交， 即点Q在平面ABCD内 16.、若存在aR且a0,对任意的xR，均有 f xaf xf a恒成立，则称函 数 f x具有性质P，已知： 1: qf x单调递减，且 0f x 恒成立； 2 qf x：单调递 增，存在 0 0 x 使得 0 0f x，则是 f x具有性质
7、P的充分条件是（） A、只有 1 q B、只有 2 q C、 12 qq和 D、 12 qq和都不是 【分值】5 分 【答案】C 【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P的条件是，存在aR且a0， 则对于 1 0qa， 时，易得函数 f x具有性质P； 对于 2 q，只需取 0 ax，则 0 xaxxx， 0 0f af x， 所以 0 =f xaf xxf xf xf a，所以此时函数 f x具有性质P. 三、解答题（本题共 5 小题，共计 76 分） 综合题分割 17、已知边长为 1 的正方形 ABCD，沿 BC 旋转一周得到圆柱体。 （1）求圆柱体的表面积； （2）正方形 ABCD 绕 B
8、C 逆时针旋转 2 到 11 A BCD，求 1 AD与平面 ABCD 所成的角。 【分值】 【答案】 （1）4； （2） 3 arcsin 3 综合题分割 18、已知f(x)=sin(0)x. （1）若 f(x)的周期是 4，求，并求此时 1 f( ) 2 x 的解集； （2）已知=1， 2 g( )( )3 () () 2 xfxfx fx ，x0, 4 ，求 g(x)的值域. 【分值】 【答案】 （1） 1 = 2 ， 5 xx|x=4x4, 33 kkkZ 或; （2） 1 -,0 2 综合题分割 19、已知：= x q ，x(0,80，且 80 1 100-135( ) ,(0,40
9、) =(0) 3 (40)85,40,80 x x k k xx ， （1）若 v95，求 x 的取值范围； （2）已知 x=80 时，v=50，求 x 为多少时，q 可以取得最大值，并求出该最大值。 【分值】 【答案】 （1） 80 x(0,) 3 ； （2） 480 x 7 时， max 28800 q= 7 综合题分割 20、 双曲线 22 1 22 :1 4 xy C b ， 圆 222 2: 4(0 )C xyb b 在第一象限交点为A，(,) AA A xy， 曲线 22 2 222 1, 4 4, A A xy xx b xybxx 。 （1）若6 A x ，求 b； （2）若b
10、5， 2 C与 x 轴交点记为 12 FF、,P是 曲线上一点，且在第一象限，并满足 1 8PF ， 求 12 FPF； （3）过点 2 (0,2) 2 b S且斜率为 2 b 的直线l交曲 线于 M、N 两点，用 b 的代数式表示，并求出的取值范围。 【分值】 【答案】 （1）2； （2） 11 16 ； （3）(62 5,)； 【解析】 （1）若6 A x ，因为点 A 为曲线 1 C与曲线 2 C的交点， 22 2 222 1 4 4 A A xy b xyb ，解得 2 2 y b ， 2b （2）方法一：由题意易得 12 FF、为曲线的两焦点， 由双曲线定义知： 21 2PFPFa，
11、 1 8,24PFa， 2 4PF 又5b ， 12 6FF 在 12 PFF中由余弦定理可得： 222 1212 12 12 11 cos 216 PFPFFF FPF PFPF 方法二：5b ，可得 22 22 1 45 (3)64 xy xy ，解得(4, 15)P， （3）设直线 2 4 : 22 bb l yx 可得原点 O 到直线l的距离 2 2 2 22 4 4 2 4 4 1 4 b b db bb 所以直线l是圆的切线，切点为 M, 所以 2 OM k b ，并设 2 : OM lyx b ，与圆 222 4xyb联立可得 222 2 4 4xxb b ， 所以得,2xb y
12、，即( ,2)M b， 注意到直线l与双曲线得斜率为负得渐近线平行， 所以只有当2 A y 时，直线l才能与曲线有两个交点， 由 22 2 222 1 4 4 A xy b xyb ，得 4 2 2 A b y ab ， 所以有 4 2 4 4 b b ，解得 2 22 5b ，或 2 22 5b （舍） 又因为由上的投影可知： 所以 21.有限数列 n a，若满足 12131 | | . | m aaaaaa，m是项数，则称 n a满足性 质p. （1） 判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p，请说明理由. （2） 若 1 1a ，公比为q的等比数列，项数为 10，具有性质
13、p，求q的取值范围. （3） 若 n a是1,2,.,m的一个排列 1 (4),(1,2.1), kknn mbakmab 都具有性 质p，求所有满足条件的 n a. 【分值】 【答案】 （1）对于第一个数列有|23| 1,|5 3| 2,|1 3| 2， 满足题意，该数列满足性质p 对于第二个数列有|34| 1,|24| 2,|54| 1不满足题意，该数列不满足性质 p. （2）由题意可得， 1 11,2,3,.,9 nn qqn 两边平方得： 2 -2-1 212+1 nnnn qqqq 整理得： 11 (1)120 nn qqqq 当1q时，得 1( 1)20 n qq ，此时关于n恒成
14、立， 所以等价于2n 时(1)20q q ，所以(2)(1)0qq ， 所以q-2或者ql，所以取q1. 当01q 时，得 1( 1)2 n qq 0, 此时关于n恒成立， 所以等价于2n 时(1)20q q ，所以(2)(1)0qq ， 所以21q ,所以取01q 。 当10q 时，得 11( 1)20 nn qqq 。 当n为奇数的时候，得 1( 1)20 n qq , 很明显成立， 当n为偶数的时候，得 1( 1)20 n qq ，很明显不成立， 故当10q 时，矛盾，舍去。 当1q时，得 11( 1)20 nn qqq 。 当n为奇数的时候，得 1( 1)20 n qq , 很明显成立
15、， 当n为偶数的时候，要使 1( 1)20 n qq 恒成立， 所以等价于2n 时(1)20q q ，所以021qq， 所以q-2或者q1，所以取q-2。 综上可得，, 20,q 。 （3）设 1= ap3,4,32pmm,， 因为 1 ap， 2 a可以取1p或者1p， 3 a可以取2p或者+2p 。 如果 2 a或者 3 a取了3p或者3p，将使 n a不满足性质p 所以， n a的前五项有以下组合： 1 ap， 2 1ap， 3 1ap， 4 2ap， 5 2ap， 1 ap， 2 1ap， 3 1ap， 4 2ap， 5 2ap， 1 ap， 2 +1ap， 3 1ap ， 4 2ap
16、， 5 2ap， 1 ap， 2 +1ap， 3 1ap， 4 2ap， 5 2ap， 对于， 1 1bp， 21 2bb， 31 1bb，与 n b满足性质p矛盾，舍去。 对于， 1 1bp， 21 2bb， 31 3bb， 41 2bb与 n b满足性质p矛盾， 舍去。 对于， 1 +1bp， 21 2bb， 31 3bb， 41 1bb与 n b满足性质p矛盾， 舍去。 对于， 1 +1bp， 21 2bb， 31 1bb，与 n b满足性质p矛盾，舍去。 所以3,4,32pmm,，均不能同时使 n a， n b都具有性质p。 当=1p时，有数列 n a：1,2 3,1,mm，,满足题意。 当=p m时，时有数列 n a：,1,3 21m m , ,满足题意。 当=2p时，有数列 n a：21,3,1,mm， ,满足题意。 当=p m时，有数列 n a：1,2,3,3 21mm mm, ,满足题意。 故满足题意的数列只有上面四种。
