1、 1 2017-2018 学年第一学期高二年级 12 月月考 数学试卷（理） 时间 :120 分钟 满分 :150 分 一、选择题 (每小题 5 分 ,共 12 小题 60 分 ) 1、已知直线 与直线 平行，则直线在 轴上的截距是 ( ) A. 1 B. C. D. 2、已知 表示直线， 表示平面，则下列推理正确的是 ( ) A. ， B. ， 且 C. ， ， ， D. ， ， 3、设 ，若直线 与线段 没有公共点，则 的取值范围是（ ） A. C. B. D. 4、如图， 分别是边长为 2 的正方形 的边 与 的中点，将 ， ，分别沿 折起，使得 三点重合于点 ，则下列结论错误的是( )
2、 A. B. 到平面 的距离为 C. 四面体 的四个面中有三个面是直角三角形 D. 四面体 外接球的表面积为 5、已知抛物线 ，直线与抛物线 交于 ， 两点（不同于原点），以 为直径的圆过坐标原点 ，则关于直线的判断正 确的是（ ） A.过定点 B.过定点 C.过定点 D.过抛物线焦点 6、已知点 分别是正方体 的棱 的中点 ,点分别在线段 , 上 . 以 为顶点的三棱锥的俯视图不可 能是 ( ) A. C. B. D. 7、当曲线 与直线 有两个相异的交点时，实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2 8、设双曲线 的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( )
3、A. B. C. D. 9、在棱长为 1 的正方体 中，平面 与平面 间的距离是（ ） A. B. C. D. 10、已知实数 满足 ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 11、如图， 是正方体 的棱 的中点，给出下列命题： 过 点有且只有一条直线与直线 、 都相交； ? 过 点有且只有一条直线与直线 、 都垂直； ? 过 点 有且只有一个平面与直线 、 都相交； ? 过 点有且只有一个平面与直线 、 都平行 ? 其中真命题是 ( ) A. B. C. D. 12、已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ） A. C. 4 B. 3
4、 D. 二、填空题 (每小题 5 分 ,共 4 小题 20 分 ) 13、如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影 部分，第六个正方形在编号为 1 5 的适当位置，则所有可 能的位置 编号为 _ 14、在空间直角坐标系 中，点 关于 平面的对称点坐标为_. 15、已知抛物线 的焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点 ，则该双曲线的渐近线方程为： _. 16、已知点 为坐标原点，点 在 轴上，正 的面积为 ，其斜二测画法的直观图为 ，则点 到边 的距离为 _ 三、解答题 (第 17 题 10 分 ,第 18 题 12 分 ,第 19 题 12 分 ,第 20 题 12 分 ,第 21
5、题 12 分 ,第22 题 12 分 ,共 6 小题 70 分 ) 3 17、已知圆 ， 直线 (1)求证：直线恒过定点 (2)判断直线被圆 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时 的值以及最短长度 18、如图所示，已知 为圆 的直径，点 为线段 上一点，且 ，点 为圆 上一点，且 点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求点 到平面 的距离 . 19、已知抛物线 （ ）的准线方程是 ， （ 1）求抛物线的方程； （ 2）设直线 （ ）与抛物线相交于 ， 两点， 为坐标原点，证明： . 20、如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ，点 在棱 上 （ 1
6、）求证：平面 平面 ； （ 2）当 且 为 的中点时，求 与平面 所成的角的大小 . 21、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面 ，且 ，点 是 的中点 . （ 1）求证： ； （ 2）求 证： 平面 ； （ 3）求二面角 的大小 . 22、已知椭圆 的离心率为 ，且抛物线 的焦点恰好是椭圆 C 的一个焦点 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 作直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，点 N 满足 （ O 为原点），求四边形 OANB 面积的最大值，并求此时直线的方程 . 4 开滦二中 2017-2018 学年第一学期高二年级 12 月月考 数学试卷（理）答案解析 第 1 题
7、答案 B 因为直线 与直线平行，所以，解得 .故直线在 轴上的截距是 ，选 . 第 2 题答案 D 选项 A 中， ， ，则 可能平行也可能相交，故 A 不正确； 选项 B 中， ， ，则可能 且 ，也可能 在平面 或 内，故 B 不正确；选项 C 中， ， ， ，根据面面平行的判定定理，再加上条件 与 相交，才能得出 ，故C 不正确； 选项 D 为面面平行性质定理的符号语言，故选 D. 第 3 题答案 C 如图，若直线 与线段 没有公共点，则直线逆时针旋转 (斜率增大 )到 都是满足条件的直线， 又 , ，故选 C. 第 4 题答案 B A 项， 折叠前 ， ， 折叠后， ， 又 ， 平面
8、，从而，故 A 正确 B 项，设折叠前连接 时， .则折叠后仍有 ， ， 又 ， 平面 ，从而平面 平面 且交线为 ， 作 于点 ，则 平面 ， 为点 到平面 的距离 在 中， ， ， ， ，故 B 不正确 C 项，由 A,B 选项知四面体 中有， 四个面中有三个面是直角三角形，故 C 正确 D 项， 两两垂直， 四面体的外接球直径为5 ，即 ， ，故 D 正确 第 5 题答案 B 设直线 ， 代入抛物线方程 ，可得， ， ， 以 为直径的圆过坐标原点 ， 有 ， 直线过定点 第 6 题答案 C 如图 (1),俯视图即为 ,当 分别为, 中点时 ,俯视图为 .如图(2),俯视图即为 D.不管
9、在什么位置 ,俯视图都不可能是一个三角形 ,故选 . 第 7 题答案 C 注意到 ，知曲线 是圆在直线 的上方部分的半圆；而直线知恒 过定点 .如图，由于 ，当直线与圆相切时：，解得 ，故知实数 的取值范围是 . 第 8 题答案 D 双曲线 的一条渐近线为 ,由方程6 组 ,消去 ,得 有唯一解 ,所以 ,所以, 第 9 题答案 B 连接 ，与面 与平面 分别交于 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ， . 同理可证 ，又 ， 面 . 同理可证 面 为平面与平面 的距离 . 为正三角形，边长为 ，三棱锥为正三棱锥， 为 的中心， ，同理求出，又 ， 第 10 题答案 A 将 化为，从几何意义讲，表示
10、在圆 上的点到直线的距离的 倍，要使其值最小，只需最小即可，由直线和圆的位置关系可知，7 所以 的最小值为 第 11 题答案 C 直线 与 是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示： 取 的中点 ，则 ，且 ，设 与 交于 ，则点 共面，直线 必与 直线相交于某点 所以，过 点有且只有一条直线 与直线 、都相交；故 正确 过 点有且只有一条直线与直线 、 都垂直，此垂线就是棱 ，故 正确 过 点有无数个平面与直线 、 都相交，故 不正确 过 点有且只有一个平面与直线 、 都平行，此平面就是过 点与正方体的上下底都平行的平面，故 正确 综上， 正确， 不正确，故选 C
11、 第 12 题答案 A 如图所示，正方体被面 ABCD 所截，截面 ABCD 是上底为 ，下底为 ，两腰长为 的等腰梯形，其面积为 第 13 题答案 1、 4、 5 解析 : 可用纸板做模型演示一下 第 14 题答案 解析 :因为空间直角坐标系 中，点关于 平面的对称点坐标只要竖坐标变相反数，其余不变，因此为 . 第 15 题答案 解析 : 以题意可得 解得： 8 所以双曲线的渐近线方程为 故答案为： 第 16 题答案 第 16 题解析 正 的面积为 ，边长为 ， ， 为中点， .所以点 到边 的距离：. 第 17 题答案 (1)证明略； (2)直线被圆 截得的弦最短时 的值是 ，最短长度是
12、第 17 题解析 解： (1)直线的方程经整理得由于 的任意性，于是有 ，解此方程组，得即直线恒过定点 (2)因为直线恒经过圆 C 内一点 ，所以 (用几何画板软件，探究容易发现 )当直线经过圆心 时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线垂直于 时被截得的弦长最短由 ， ，可知直线的斜率为 ，所以当直线被圆 截得弦最短时，直线的斜率为 ，于是有 ，解得此时直线 l 的方程为 ，即 又所以，最短弦长为 直线被圆 截得的弦最短时9 的值是 ，最 短长度是 第 18 题答案 （ 1）见解析（ 2) 第 18 题解析 （ 1）连接 ，由 知，点 为 的中点 . 又 为圆 的直径， . 由 知， ， 为等
13、边三角形，故 . 点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， 平面 ，又 平面 ， ， ， ， ， 平面 . （ 2）设 ，由（ 1）可知 ，. 又 ， 为等腰三角形，则， 设点 到平面 的距离为 ， 由 ，得 ，解得 第 19 题答案 （ 1） （ 2）略 第 19 题解析 （ 1） 抛物线 （ ）的准线方程是， ，解得 ， 抛物线方程为 . （ 2）证明：设 ， ， 将 代入 ， 消去 整理得 ， ，由 ， 两式相乘得， 注意到 ， 异号， ， 直线 与直线 的斜率之积为10 ， 即 . 第 20 题答案 （ 1）详见解析；（ 2） 第 20 题解析 （ 1） 四边形 是正方形， ， 底面 ， ， 平面 ， 平面 平面 . （ 2）设 ，连接 ， 由（ 1）知 平面 于 ， 为 与平面 所的角， ， 分别为 、 的中点， ， ， 在 中， ， 即 与平面 所成的角的大小为 . 第 21 题答案 （ 1）略； （ 2）略；（ 3） . 第 21 题解析 （ 1） 平面 ， 是 在平面上的射影， 又 ， 平面 ， . （ 2）连接 ，与 相交与 ，连接 ， 是平行四边形， 是 的中点，又 是的中点， ， 又 平面 ， 平面，
