新人教A版高中数学必修一《3.4 函数的应用（一）》教案及课件.zip

3.4 函数的应用（一）(人教 A 版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标一、教学目标1.能够帮助学生了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等函数模型)的广泛应用2.帮助学生理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具3.引导学生掌握利用常见的函数模型解决一些简单实际问题的过程与方法.二、教学重难点二、教学重难点1.引导学生从具体实例中学会建立函数模型.2.使学生能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题三、教学过程三、教学过程1.创设情境，引发思考创设情境，引发思考【实际情境】【实际情境】随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份201820192020销量/万辆81830结合以上三年的销量及人们生活的需要，2021 年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售 43 万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2021 年实际销售 44 万辆，圆满完成销售目标问题：(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？(2)如果我们分别将 2018,2019,2020,2021 年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型 f(x)ax2bxc(a0)，一次函数模型 g(x)axb(a0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量 y 与第 x年的关系？(3)依照目前的形势分析，你能预测一下 2022 年，该公司预销售多少辆汽车吗？【预设的答案】(1)建立函数模型(2)年份 x1234销量 y/万辆8183044 通过散点图发现二次函数能更好地反映该公司中的年销量.通过计算可知，二次函数的解析式为=2+7(3)2022 年，该公司预销售 60 万辆汽车【设计意图】通过一个实际应用问题，让学生体会函数模型在实际生活中的重要作用，它是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.深入思考，研究不同函数模型的应用深入思考，研究不同函数模型的应用【数学情境 2】问题问题 1：某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间的关系为 y6x30 000.而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒？【预设的答案】因利润 z12x(6x30 000)，所以 z6x30 000，由 z0 解得 x5 000，故至少日生产文具盒 5 000套【设计意图】这是一个一次函数模型的应用，让学生学会利用一次函数模型解决最值问题。问题问题 2：A，B 两城相距 100 km，在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于 10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数 0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10 亿度/月(1)把 A，B 两城月供电总费用 y(万元)表示成 x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用最小【预设的答案】解(1)由题意设 A 城的月供电费用为 y1，则 y120 x2.设 B 城的月供电费用为 y2，则 y210(100 x)2，A、B 两城月供电总费用 y20 x210(100 x)2.0.25，y5x252(100 x)2(10 x90)(2)由 y5x252(100 x)2152x2500 x25 000152(x1003)2 50 0003，则当 x1003时，y 最小故当核电站建在距 A 城1003 km 时，才能使供电总费用最小【设计意图】创设数学情境，二次函数模型的实例，让学生感受在数学学习中，如何利用二次函数模型表示变量之间的关系，并且在根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值。问题问题 3：某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125万元和 0.5 万元(1)分别写出两类产品的收益与投资额 x 的函数关系式；(2)该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【预设的答案】解(1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额 x 的函数关系式分别为 f(x)k1x(x0)，g(x)k2x(x0)，结合已知得 f(1)18k1，g(1)12k2，所以 f(x)18x(x0)，g(x)12x(x0)(2)设投资稳健型产品 x 万元，则投资风险型产品(20 x)万元，依题意得获得收益为 yf(x)g(20 x)x81220 x(0 x20)，令 t 20 x(0t2 5)，则 x20t2，所以 y20t28t218(t2)23，所以当 t2 时，即 x16 时，y 取得最大值，ymax3.故当投资稳健型产品 16 万元，风险型产品 4 万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是 3 万元【设计意图】这是一个幂函数模型，让学生体验幂函数模型在生活中的应用。问题问题 4：已知 A、B 两地相距 150 千米，某人开汽车以 60 千米/时的速度从 A 地到 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/时的速度返回 A 地(1)把汽车离开 A 地的距离 x(千米)表示为时间 t(小时)的函数；(2)求汽车行驶 5 小时与 A 地的距离【预设的答案】解(1)汽车以 60 千米/时的速度从 A 地到 B 地需 2.5 小时，这时 x60t；当 2.51 000 得，x7003，故每天至少需要卖出 234 张门票（第一课时）（第一课时）3.4 3.4 函数的应用（一）函数的应用（一）2情境问题3情境问题年份年份x1234销量量y/万万辆818 30 44 复习回顾：5一次函数模型的应用D6一次函数模型的应用7二次函数模型的应用8二次函数模型的应用9二次函数模型的应用10二次函数模型的应用例 3 幂函数模型的应用幂函数模型的应用幂函数模型的应用幂函数模型的应用15分段函数模型的应用16分段函数模型的应用17分段函数模型的应用18分段函数模型的应用模型归纳 你能说说应用函数知识解决实际问题的一般步骤吗？函数模型的应用错因分析本题忽略了变量参数的实际意义xN.函数模型的应用方法点拨解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义函数模型的应用数学建模函数模型的选择某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程厂里也暂时不准备增加设备和工人假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：yaxb，yax2bxc，yabxc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？数学素养提升数学素养提升数学素养提升数学素养提升所以有关系式y0.80.5x1.4.结论为：当把x4代入得y0.80.541.41.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势因此选用指数函数y0.80.5x1.4模拟比较接近客观实际数学素养提升函数模型的应用本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数 一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际回顾小结课后巩固练习