1、 1 北京 101中学 2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科） 本试卷满分 120分，考试时间 100分钟 一、选择题共 8小题，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 三条直线 l1， l2， l3的位置如图所示，它们的斜率分别为 k1， k2， k3，则 k1， k2， k3的大小关系是（ ） A. k1k2k3 B. k1 k3 k2 C. k3 k2 k1 D. k2 k3 k1 2. 如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， M为 A1C1与 B1D1的交点。若 AB =a， AD =b， 1AA =c，则下列向量中与 B
2、M 相等的向量是（ ） A. cba ? 2121 B. cba ?2121 C. cba ? 2121 D. cba ?2121 3. 过点（ -l， 3）且与直线 x-2y+3=0平行的直线方程是（ ） A. x-2y-5=0 B. x-2y+7=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=0 4. 已知球 O与正方体各棱均相切，若正方体棱长为 2 ，则球 O的表面积为（ ） A. 34? B. 2? C. 4? D. 6? 5. 在下列命题中： 若向量 a， b共线，则向量 a， b所在的直线平行； 若向量 a， b所在的直线为异面直线，则向量 a， b一定不共面； 若三个向量 a，
3、 b， c两两共面，则向量 a， b， c共面； 已知空间的三个向量 a， b， c，则对于空间的任意一个向量 p，总存在实数 x， y， z，使得 p=xa+yb+zc。 2 正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图所示，已知空间四边形 OABC， OB=OC，且 AOB= AOC=3?，则 cos（ OA， BC ）的值为 （ ） A. 33 B. 0 C. 21 D. 22 7. 如图，点 O为正方体 ABCD-ABCD的中心，点 E为面 BBCC的中心，点 F为 BC的中点，则空间四边形 DOEF 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ） A. B. C
4、. D. 8. 如图，一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动， M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点。那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M， N 在大圆内所绘出的图形大致是 （ ） 3 A. B. C. D. 二、填空题共 6小题，共 30分。 9. 若直线 ax+4y-l=0与 2x-5y+6=0互相垂直，则 a的值为 _。 10. 过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截的弦长为 _。 11. 正四面体棱长为 2 ，则它的体积是 _。 12. 若直线（ 2m2+m-3） x+（ m2-m） y=4m-l与直线 2x-3y=5平行，则
5、 m的值是 _。 13. 如图，在一个 60的二面角的棱 上有两个点 A， B， AC， BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于 AB 的线段，且 AB=4， AC=6， BD=8，则 CD 的长为 _。 14. 在如图所示的棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，作与平面 ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是 _；截得的平面图形中，面积最大的值是 _。 三、解答题共 4小题，共 50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. （ 12分）已知圆 C经过 P（ 4， -2）， Q（ -1， 3）两点，且圆心在 x轴上。 （ 1）求直线 PQ的方程；
6、（ 2）圆 C的方程； （ 3）若直线 l PQ，且 l与圆 C交于点 A， B，且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线 l的方程。 16. （ 12 分）如图，在三棱锥 P-ABC中， PA AB， PA BC， AB BC， PA=AB=BC=2， D为线段 AC的中点， E为线段 PC 上一点。 4 （ 1）求证： PA BD； （ 2）求证：平面 BDE平面 PAC； （ 3）当 PA平面 BDE时，求三棱锥 E-BCD的体积。 17. （ 12 分）已知圆 M： x2+（ y-2） 2=1， Q 是 x 轴上的动点， QA， QB 分别切圆 M 于 A， B两点。 （ 1）若
7、 Q（ 1， 0），求切线 QA， QB的方程； （ 2）求四边形 QAMB面积的最小值； （ 3）若 |AB|= 324 ，求直线 MQ的方程。 18. （ 14分）如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长是 2，侧棱长是 3 ， D是 AC的中点。 （ 1）求证： B1C平面 A1BD； （ 2）求二面角 A1-BD-A的大小； （ 3）在线段 AA1上是否存在一点 E，使得平面 B1C1E平面 A1BD，若存在，求出 AE的长；若不存在，说明理由。 5 参考答案 1. D 2. A 3. B 4. C 5. A 6. B 7. D 8. A 9. 10. 10. 2 3 11. 3
8、112. 89?13. 2 17 14. 2 3 ； 3 3 15. （ 1）直线 PQ的方程为 x+y-2=0。 （ 2）圆 C的方程为（ x-1） 2+y2=13。 （ 3）设直线 l的方程为 y=-x+m， A（ x1， m-x1）， B（ x2， m-x2）， 由题意可知 OA OB，即 OA OB=0， 所以 x1x2+（ m-x1）（ m-x2） =0， 化简得 2x1x2-m（ x1+x2） +m2=0。（ *） 由? ? ? 13)1( ,22 yxmxy 得 2x2-2（ m+1） x+m2-12=0， 所以 x1+x2=m+1， x1x2= 2122?m 。 代入（ *）式
9、，得 m2-12-m（ m+1） +m2=0， 所以 m=4或 m=-3，经检验都满足判别式 ? 0， 所以直线 l的方程为 x+y-4=0或 x+y+3=0。 16. （ 1）因为 PA AB， PA BC，所以 PA平面 ABC。 又因为 BD? 平面 ABC，所以 PA BD。 （ 2）因为 AB=BC， D为 AC中点，所以 BD AC。 由（ 1）知， PA BD，所以 BD平面 PAC。 所以平面 BDE平面 PAC。 （ 3）因为 PA平面 BDE，平面 PAC? 平面 BDE=DE， 所以 PA DE。 因为 D为 AC 的中点，所以 DE=21 PA=l， BD=DC= 2
10、。 由（ 1）知， PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC。 所以三棱锥 E-BCD 的体积 V=61 BD DC DE=31 。 17. （ 1）设过点 Q的圆 M的切线方程为 x=my+1， 则圆心 M到切线的距离为 1， 所以 11|12| 2 ?mm，所以 m= 34? 或 0， 所以 QA， QB 的方程分别为 3x+4y-3=0和 x=1。 6 （ 2）因为 MA AQ，所以 S 四边形 MAQB=|MA| |QA|=|QA|= 3| 22 ? MAMQ 。 所以四边形 QAMB 面积的最小值为 3 。 （ 3）设 AB与 MQ 交于 P，则 MP AB， MB BQ， 所 以
11、|MP|=31)322(1 2 ?。 在 Rt MBQ中， |MB|2=|MP|MQ|， 即 1=31|MQ|，所以 |MQ|=3，所以 x2+（ y-2） 2=9。 设 Q（ x， 0），则 x2+22=9，所以 x= 5 ，所以 Q（ 5 ， 0）， 所以 MQ 的方程为 2x+ 5 y+2 5 =0 或 2x- 5 y-2 5 =0。 18. （ 1）连结 AB1交 A1B于 M，连结 DM， 因为三棱柱 ABC-A1B1C1是正三棱柱， 所以四边形 AA1B1B 是矩形， 所以 M为 AB1的中点。 因为 D是 AC 的中点， 所以 MD 是三角形 AB1C的中位线， 所以 MD B1
12、C。 因为 MD? 平面 A1BD， B1C? 平面 A1BD， 所以 B1C平面 A1BD。 （ 2）作 CO AB于 O，所以 CO平面 ABB1A1， 7 所以在正三棱柱 ABC-A1B1C1中如图建立空间直角坐标系 O-xyz。 因为 AB=2， AA1= 3 ， D是 AC的中点。 所以 A（ 1， 0， 0）， B（ -l， 0， 0）， C（ 0， 0， 3 ）， A1（ 1， 3 ， 0）， 所以 D（ 21 ， 0， 23 ）， BD =（ 23 ， 0， 23 ）， 1BA =（ 2， 3 ， 0）。 设 n=（ x， y， z）是平面 A1BD 的法向量， 所以?，001
13、BAnBDn 即?,032,02323yxzx 令 x=- 3 ，则 y=2， z=3， 所以 n=（ - 3 ， 2， 3） 是平面 A1BD 的一个法向量。 由题意可知 1AA =（ 0， 3 ， 0）是平面 ABD的一个法向量， 所以 cos=3432=21 。 由题知二面角 A1-BD-A为锐角，所以它的大小为3?。 （ 3）设 E（ 1， x， 0），则 EC1 =（ 1， x- 3 ， - 3 ）， 11 BC =（ -1， 0， - 3 ）， 设平面 B1C1E 的法向量 m=（ x1， y1， z1）， 所以?，00111BCmECm 即?,03,03)3(11111 zx zyxx 令 z1=- 3 ，则 x1=3， y1=x?36， m=（ 3，x?36， - 3 ）， 又 m n=0，即 -3 3 +x?312-3 3 =0，解得 x= 33 ， 所以存在点 E，使得平面 B1C1E平面 A1BD且 AE= 33 。
