1、 1 山东省三校 2016-2017 学年高二数学下学期期中联考试题（含解析） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，满分 50分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数 所对应的的点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 D 【解析】 ， 故它所表示复平面的的是 ，故选 D. 2. 函数 f(x) (x 3)ex的单调递增区间是 ( ) A. ( ， 2) B. (0,3) C. (1,4) D. (2， ) 【答案】 D 考点：函数导数与单调性 3. 用数学归纳法证明 ? 2时没交点。 错 对。 考点：导函数
2、与单调性。 三、解答题：本大题共 6小题，满分 75分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16. 已 知 是复数， 与 均为实数 . （ 1）求复数 ； （ 2）复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围 . 【答案】 (1) ； （ 2） . 【解析】 试题分析 ：（ 1） 设出复数的代数形式，整理出 和 ， 根据两个都是实数虚部都等于零，解方程组得到复数的代数形式；（ 2）根据上一问做出的复数的结果，代入复数， 利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于零和虚部大于零，解不等式组，得到结果 . 试题解析： (1)设 ，
3、 为实数， 为实数， 7 ，则 （ 2） 在第一象限， 解得 17. （ 1）求证： （ 2）求由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积 . 【答案】 (1)见解析； （ 2） . 【解析】 试题分析： （ 1） 根据不等式的性质利用综合法进行证明 ；（ 2）利用定积分的几何意义求封闭图形的面积 . 试题解析： (1)证明： ， （ 2）解：联立方程 得到两曲线的交点 ，因此曲线 ，直线及 轴所围成的图形的面积为 18. 若 (1)求证： ； (2)令 写出 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 ，并用数学归纳法证明 【答案】 (1)见解析 ； (2)见解析 . 【解析】 试题分析： （ 1）
4、 采用反证法证明，先假设相等，代入已知的等式中即可求出 的值8 为常数 或 ， 进而得到此数列是 或 常数列 ， 与已知 矛盾，所以假设错误，故不相等；（ 2）由已知条件分别令 ， 能求出 的值，并猜想 ， 然后用数学归纳法进行证明 . 试题解析： (1)证明：假设 ，即 ， 解得 或 从而 或 ， 这与题设 或 相矛盾， 所以 不成立故 成立 (2)由题意得 ， 由此猜想： . 证明： 1.当 ， ，猜想成立 2.假设当 时，猜想成立，即 成立 当 时， 当 时，猜想也成立。 由 1和 2知，对一切正整数 n，都有 成立。 19. 已知 x 3是函数 f(x) aln(1 x) x2 10x
5、的一个极值点 (1) 求 a； (2) 求函数 f(x)的单调区间； (3) 若直线 y b与函数 y f(x)的图象有 3个交点，求 b的取值范围 . 【答案】 (1)16； (2) 的单调增区间是 , ,单凋 减区间是 ； (3) . 【解析】试题分析：（ ）因为 ， 是函数 的一个极值点，所以 ， 因此 . -3分 9 （ ）由（ ）知， ， 当 时， 当 时， 所以 的单调增区间是 ， -6分 的单调减区间是 . -8分 （ ）由（ ）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加， 且当 或 时， 所以 的极大值为 ，极小值为 . -10分 因此 所以在 的三个单调区间 , 因
6、为直线 有 的图象各有一个交点，当且仅当 因此， 的取值范围为 . -12 分 考点：本小 题主要考查函数、导函数等基础知识，运用导函数研究函数性质（单调性、最值），以及利用函数的单调性考查已知两函数交点各数时参数的取值范围，考查学生代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力 . 点评：导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质方面 .近年，各地高考都从不同的方面对导数内容进行考查，既有考查导数的小题，又有考查导数综合应用的大题 . 20. 时下，网上教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量
7、（单位：千 套）与销售价格 （单位：元 /套）满足的关系式为 ，其中 ， 为常数 .已知销售价格为 4元 /套时，每日可售出套题 21 千套 . （ 1）求 的值； （ 2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题 2元（只考虑售出的套数），试确10 定销售价格 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大 .（保留 1位小数点） 【答案】 (1) ； (2) 当销售价格为 3.3元 /套时，网校每日销售套题所获得的利润最大 . 【解析】试题分析：（ 1）直接代入点（ 4， 21）即可求出 ；（ 2）先建立利润函数模型，然后由导数确定函数的单调性，求出函数的最 值及条件 . 试题解析：（ 1
8、）因为 时， ， 代入关系式 ，得 ， 2 分 解得 . 4分 （ 2）由（ 1）可知，套题每日的销售量 ， 6分 所以每日销售套题所获得的利润 从而. 8分 令 ，得 ,且在 上 , ，函数 单调递增；在 上， ，函数 单调递减， 10分 所以 是函数 在 内的极大值点，也是最大值点， 11分 所以当 时，函数 取得最大值 . 12 分 故当销售价格为 3.3元 /套时，网校每日销售套题所获得的利润最大 . 考点： 1.利用导数处理函数的最值； 2.函数模型的应用 21. 已知函数 f（ x） =xlnx， g（ x） = x2+ax 2 （ 1）若曲线 f（ x） =xlnx在 x=1处的切线与函数 g（ x） = x2+ax 2也相切，求实数 a的值； （ 2）求函数 f（ x）在 上的最小值； （ 3）证明：对任意的 x （ 0， + ），都有 成立 【答案】 （ 1） 3或 -1；（ 2）见解析；（ 2）见解析 . 【解析】 试题分析 ：（ 1）求出函数的导数，计算 的值，求出切线方程 ， 再利用判
