1、18.2.3 正方形正方形 一、教学目的一、教学目的 1掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算 2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、 矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力 二、重点、难点二、重点、难点 1教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系 2教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 三、例题的意图分析三、例题的意图分析 本节课安排了三个例题,例 1 是教材 P111 的例 4,例 2 与例 3 都是补充的题目其中 例 1 与例 2 是正方形性质的应用,
2、在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质例 3 是 正方形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边,从而可以判定这个四 边形是正方形随后可以再做一组判断题,进行练习巩固(参看随堂练习 1) ,为了活跃学 生的思维,也可以将判断题改为下列问题让学生思考: 对角线相等的菱形是正方形吗?为什么? 对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么? 对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件? 能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么? 说“四个角相等的四边形是正方形”对吗? 四、课堂引入四、课堂引入 1做一做做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形
3、 学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形 的关系问题 : 什么样的四边形是正方形? 正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形正方形 指出:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意: (1)有一组邻边相等的平行四边形 (菱形) (2)有一个角是直角的平行四边形 (矩形) 2 【问题】正方形有什么性质? 由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角 的菱形 所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质 五、例习题分析五、例习题分析 例例 1(教材 P111 的例 4) 求证:正方形的两条对角线把正方形分
4、成四个全等的等腰直 角三角形 已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、 BD相交于点O(如图) 求证:ABO、BCO、CDO、DAO 是全等的等腰直角三角形 证明证明: 四边形 ABCD 是正方形, AC=BD, ACBD, AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分) ABO、BCO、CDO、DAO 都是等腰直角三角形, 并且 ABO BCOCDODAO 例例 2 (补充)已知 : 如图,正方形 ABCD 中,对角线的交点为 O,E 是 OB 上的一点,DGAE 于 G,DG 交 OA 于 F 求证:OE=OF 分析:要证明 OE=OF,只需证明AEODFO,由于正方
5、 形的对角线垂直平分且相等,可以得到AOE=DOF=90, AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO, 根据 ASA 可以得到这两个三角形全等,故结论可得 证明: 四边形 ABCD 是正方形, AOE=DOF=90,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等) 又 DGAE, EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF 例例 3 (补充)已知:如图,四边形 ABCD 是正方形,分别过点 A、C 两点作 l1l2,作 BMl1于 M,DNl1于 N,直线 MB、DN 分别交 l2于 Q、P 点 求证:四边形 PQMN 是正方形 分析:由已知可
6、以证出四边形 PQMN 是矩形,再证ABM DAN,证出 AM=DN, 用同样的方法证 AN=DP即可证出 MN=NP从而得出结论 证明:证明: PNl1,QMl1, PNQM,PNM=90 PQNM, 四边形 PQMN 是矩形 四边形 ABCD 是正方形 BAD=ADC=90,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角) 1+2=90 又 3+2=90, 1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP 即 MN=PN 四边形 PQMN 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) 六、随堂练习六、随堂练习 1正方形的四条边_ _,四个角_ _,两条对角线_
7、 _ 2下列说法是否正确,并说明理由 对角线相等的菱形是正方形;( ) 对角线互相垂直的矩形是正方形;( ) 对角线垂直且相等的四边形是正方形;( ) 四条边都相等的四边形是正方形;( ) 四个角相等的四边形是正方形( ) 1 已知:如图,四边形 ABCD 为正方形,E、F 分别 为 CD、CB 延长线上的点,且 DEBF 求证:AFEAEF 4如图,E 为正方形 ABCD 内一点,且EBC 是等边三角形, 求EAD 与ECD 的度数 七、课后练习七、课后练习 1 已知 : 如图, 点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点, 点 F 是 CB 的延 长线上一点, 且 DE=BF 求证:EAAF 2已知 : 如图,ABC 中,C=90,CD 平分ACB,DEBC 于 E,DFAC 于 F 求证 : 四边形 CFDE 是正方形 3已知 : 如图,正方形 ABCD 中,E 为 BC 上一点,AF 平分DAE 交 CD 于 F,求证: AE=BE+DF A B CDE F