1、题组层级快练题组层级快练(四十九四十九) 1(2018 课标全国)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面 BB1C1C 所 成的角为 30，则该长方体的体积为( ) A8 B6 2 C8 2 D8 3 答案 C 解析 连接 BC1，因为 AB平面 BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以ABC1 为直角三角形又 AB2，所以 BC12 3.又 B1C12，所以 BB1（2 3）2222 2， 故该长方体的体积 V222 28 2. 2(2015 山东，理)在梯形 ABCD 中，ABC 2 ，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转
2、一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2 3 B.4 3 C.5 3 D2 答案 C 解析 如图，过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 H.则由旋转体的定义可知，该梯形 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个 圆锥其中圆柱的底面半径 RAB1，高 h1BC2，其体积 V1R2h1 1222；圆锥的底面半径 rDH1，高 h21，其体积 V21 3r 2h 2 1 31 21 3 .故所求几何体的体积为 VV1V22 3 5 3 .故选 C. 3(2020 淮北市模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A82 2 B112 2 C
3、142 2 D15 答案 B 解析 由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为 2 的直四棱柱，所以其表面积 为 S表面积S侧面积2S下底面积(112 2)221 2(12)1112 2，故选 B. 4(2018 课标全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截 该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A12 2 B12 C8 2 D10 答案 B 解析 如图，四边形 ABB1A1是面积为 8 的正方形，AB2 2，r 2， SS侧S底2 22 2( 2)2212. 5(2020 江西南昌摸底调研)如图，网格纸上小正方形的边长为
4、1，粗实线及粗虚线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( ) A.2 3 B.4 3 C2 D.8 3 答案 A 解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为 2 的正方体中，如 图中三棱锥 ABCD 所示，故该几何体的体积 V1 3 1 2122 2 3. 6(2020 石家庄市质检)某几何体的三视图如图所示，(图中小正方形网格的边 长为 1)，则该几何体的体积是( ) A8 B6 C4 D2 答案 B 解析 由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱(如图所示)，其中底面直角梯形 的上、 下底边长分别为 1， 2， 高为 2， 直四棱柱的高为 2， 所以该几何体的体积
5、为（12）2 2 26.故选 B. 7(2020 合肥市二检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视 图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为( ) A1712 B1212 C2012 D1612 答案 C 解析 由三视图知， 该几何体是一个由大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的， 两个半圆柱的底 面半径分别为 1 和 3，高均为 3，所以该几何体的表面积为1 2233 1 2213 2 1 23 21 21 2 2232012.故选 C. 8(2020 四川成都联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A12 B18 C24 D36 答案
6、 C 解析 本题考查由三视图还原直观图，并求体积由三视图可知，该几何体 为如图所示的多面体 ABCDEF， 它是由直三棱柱 ABCDGF 截去三棱锥 E DGF 后所剩的几何体，所以其体积 V1 2345 1 3 1 234(52) 24.故选 C. 9(2020 河北唐山五校联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是一个几何体 的三视图，则该几何体的体积为( ) A3 B.11 3 C7 D.23 3 答案 B 解析 由三视图可得， 该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体， 长方体的长、 宽、高分别为 2，1，2，体积为 4，切去的三棱锥的体积为1 3，故该几何体的体积
7、V4 1 3 11 3 .故选 B. 10(2020 山东师大附中模拟)如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母 线长为 4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥爬行一周后 回到点 P 处，若该小虫爬行的最短路程为 4 3，则这个圆锥的体积为 ( ) A. 15 3 B.32 35 27 C.128 2 81 D.8 3 3 答案 C 解析 作出该圆锥的侧面展开图， 如图中阴影部分所示， 该小虫爬行的 最短路为 PP，OPOP4，PP4 3，由余弦定理可得 cos POPOP 2OP2PP2 2OPOP 1 2， POP2 3 . 设底面圆的半径为 r，圆锥的高为 h，则有 2r2 3
8、4，r4 3，h l 2r28 2 3 ， 圆锥的体积 V1 3r 2h128 2 81 . 11(2020 郑州质量预测)将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能 切割出的圆柱的最大体积为( ) A. 27 B.8 27 C. 3 D.2 9 答案 B 解析 如图所示， 设圆柱的半径为r， 高为x， 体积为V， 由题意可得r 1 2x 2 ， 所以 x22r，所以圆柱的体积 Vr2(22r)2(r2r3)(0r1)设 V(r)2(r2r3)(0r1)，则 V(r)2(2r3r2)，由 2(2r3r2)0，得 r2 3，当 0r0，V 是增函数；当 2 3r1 时，V0
9、，V 是减函 数， 故当 r2 3时， V 取极大值也是最大值 所以圆柱的最大体积 Vmax2 2 3 2 2 3 3 8 27 ， 故选 B. 12.(2019 江苏)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的体积是 120，E 为 CC1的中点，则三棱锥 E BCD 的体积是_ 答案 10 解析 因为长方体 ABCDA1B1C1D1的体积是 120，所以 CC1S四边形ABCD120，又 E 是 CC1的中点， 所以三棱锥 EBCD 的体积 VEBCD1 3EC SBCD 1 3 1 2CC1 1 2S 四边形ABCD 1 12 12010. 13.(2020 衡水中学调研卷)若一个半径为
10、2 的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所 示，则该几何体的表面积为_ 答案 16 解析 由三视图，可知该几何体是一个球体挖去1 4之后剩余的部分，故该几何体的表面积为 球体表面积的3 4与两个半圆面的面积之和，即 S 3 4(42 2)2 1 22 2 16. 14(2020 江苏扬州第一次调研)现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的 8 倍，将其熔化锻 造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分 别为 S1，S2，则S1 S2的值为_ 答案 2 5 解析 设正四棱柱的高为 a，则底面边长为 8a，正四棱锥的高为 b，则(8a)2a1 3(8a) 2b
11、，所以 b3a.所以正四棱锥的斜高为 5a，则S1 S2 48a2 41 28a5a 2 5. 15(2019 天津)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面 的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点， 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心， 则该圆柱的体 积为_ 答案 4 解析 由题可得，四棱锥底面对角线的长为 2，则圆柱底面的半径为1 2，易知四棱锥的高为 512，故圆柱的高为 1，所以圆柱的体积为 1 2 2 1 4 . 16.(2016 江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形 状是正四棱锥 PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱 ABCD A1B
12、1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍 (1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？ 答案 (1)312 m3 (2)2 3 m 解析 (1)由 PO12，知 O1O4PO18. 因为 A1B1AB6， 所以正四棱锥 PA1B1C1D1的体积 V锥1 3A1B1 2PO 11 36 2224(m3)； 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288 (m3) 所以仓库的容积 VV锥V柱24288312(m3) (2)设 A1B1a(m)，PO1h(m)， 则 0h6，O1O4h.如图，连接 O1B1. 因为在 RtPO1B1中，O1B12PO12PB12， 所以 2a 2 2 h236， 即 a22(36h2) 于是仓库的容积 VV柱V锥4a2h1 3a 2h13 3 a2h26 3 (36hh3)，0h6， 从而 V26 3 (363h2)26(12h2) 令 V0，得 h2 3或 h2 3(舍) 当 0h0，V 是增函数； 当 2 3h6 时，V0，V 是减函数 故当 h2 3时，V 取得极大值，也是最大值 因此，当 PO12 3 m 时，仓库的容积最大
