1、6.1平面向量的概念平面向量的概念课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.通过对力、速度、位移等的分析通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向了解平面向量的实际背景量的实际背景.2.理解平面向量的几何表示和基本要素理解平面向量的几何表示和基本要素.3.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.4.培养数学抽象素养培养数学抽象素养,加强直观想象素养加强直观想象素养.自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习 自主自主预习预习新知导学新知导学一、向量的概念一、向量的概念【问题思考】【问题思考】1.在物
2、理中在物理中,位移与距离是同一个概念吗位移与距离是同一个概念吗?现实世界中有各种现实世界中有各种各样的量各样的量,如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等温度等,怎样正确区分这些量呢怎样正确区分这些量呢?提示提示:位移与距离不是同一个概念位移与距离不是同一个概念;这些量中有些只有大小这些量中有些只有大小,没没有方向有方向,但有些既有大小又有方向但有些既有大小又有方向,因此应该从大小和方向两因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分个方面对这些量进行区分.2.填空填空:(1)向量向量:在数学中在数学中,我们把既有我们把既有大小大小又有又有方向方
3、向的量叫做向量的量叫做向量.(2)数量数量:把只有把只有大小大小没有没有方向方向的量称为数量的量称为数量.二、有向线段二、有向线段【问题思考】【问题思考】1.在物理中在物理中,我们经常用我们经常用“带有方向的线段带有方向的线段”来表示位移来表示位移,那么那么线段与带有方向的线段相同吗线段与带有方向的线段相同吗?提示提示:线段与带有方向的线段是不同的线段与带有方向的线段是不同的,线段只有长度线段只有长度,带有方带有方向的线段不但有长度向的线段不但有长度,还有方向、起点等还有方向、起点等.(2)有向线段的三个要素有向线段的三个要素:起点起点、方向方向、长度长度.知道了有向线段知道了有向线段的起点、
4、方向、长度的起点、方向、长度,它的它的终点终点就唯一确定了就唯一确定了.3.做一做做一做:下列说法正确的是下列说法正确的是()A.身高是一个向量身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定有向线段由方向和长度两个要素确定答案答案:D 三、向量的几何表示三、向量的几何表示【问题思考】【问题思考】1.对于一个实数对于一个实数,可以用数轴上的点表示可以用数轴上的点表示;对于一个二次函数对于一个二次函数,可以用一条抛物线表示可以用一条抛物线表示数学中有许多量都可以用几何方数学中有许多量都可以用几何方式表示式表示
5、,你认为如何用几何方式表示向量最合适你认为如何用几何方式表示向量最合适?提示提示:由于向量既有大小又有方向由于向量既有大小又有方向,因此可用有向线段来表示因此可用有向线段来表示.3.有向线段与向量的区别与联系有向线段与向量的区别与联系:(1)区别区别:向量只有大小和方向两个要素向量只有大小和方向两个要素,而有向线段有起点、而有向线段有起点、大小和方向三个要素大小和方向三个要素.(2)联系联系:向量可用有向线段表示向量可用有向线段表示,但向量不是有向线段但向量不是有向线段.每一条每一条有向线段对应着一个向量有向线段对应着一个向量,但每一个向量对应着无数条有向但每一个向量对应着无数条有向线段线段.
6、4.做一做做一做:已知向量已知向量a如图所示如图所示,下列说法不正确的是下列说法不正确的是()A.向量向量a可以用可以用 表示表示B.向量向量a的方向是由的方向是由M指向指向NC.向量向量a的起点是的起点是MD.向量向量a的终点是的终点是M答案答案:D 四、两个特殊向量四、两个特殊向量【问题思考】【问题思考】1.零向量的方向是什么零向量的方向是什么?两个单位向量的方向相同吗两个单位向量的方向相同吗?提示提示:零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的.两个单位向量的方向不一定相两个单位向量的方向不一定相同同.2.填写下表填写下表:3.做一做做一做:下列说法正确的是下列说法正确的是()A.向量的模
7、是一个正实数向量的模是一个正实数B.零向量没有方向零向量没有方向C.单位向量的模等于单位向量的模等于1个单位长度个单位长度D.零向量就是实数零向量就是实数0解析解析:向量的模是一个非负实数向量的模是一个非负实数,零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的,零向零向量不是实数量不是实数0,故故A,B,D均错均错,只有只有C正确正确.答案答案:C五、五、向量的关系向量的关系【问题思考】【问题思考】1.向量由其模和方向所确定向量由其模和方向所确定.对于两个向量对于两个向量a,b,就其模相等与就其模相等与不相等不相等,方向相同与不相同而言方向相同与不相同而言,可能的情形有哪几种可能的情形有哪几种?提示提
8、示:有四种情形有四种情形:模相等模相等,方向相同方向相同;模相等模相等,方向不相同方向不相同;模不模不相等相等,方向相同方向相同;模不相等模不相等,方向不相同方向不相同.2.如果两个向量所在的直线互相平行如果两个向量所在的直线互相平行,那么这两个向量的方向那么这两个向量的方向有什么关系有什么关系?提示提示:方向相同或相反方向相同或相反.3.填表填表:4.做一做做一做:下列说法正确的是下列说法正确的是()B.与实数类似与实数类似,对于两个向量对于两个向量a,b,有有a=b,ab,ab三种关系三种关系C.当两个向量平行时当两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定表示向量的有向线段所在的直线
9、一定平行平行D.若两个向量是共线向量若两个向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行则向量所在的直线可以平行,也可也可以重合以重合答案答案:D【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画正确的在后面的括号内画“”,错误错误的画的画“”.(1)平行向量方向一定相同平行向量方向一定相同.()(2)不相等向量一定不平行不相等向量一定不平行.()(3)与零向量相等的向量是零向量与零向量相等的向量是零向量.()(4)若两个非零向量平行若两个非零向量平行,则这两个向量的方向相同或相反则这两个向量的方向相同或相反.()(5)若两个向量共线若两个向量共线,则其方向必定
10、相同或相反则其方向必定相同或相反.()合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑探究一探究一探究探究二二探究探究三三探究探究一一 向量向量的有关概念的有关概念【例【例1】下列说法正确的有下列说法正确的有.(填序号填序号)若若|a|=|b|,则则a=b或或a=-b;任何两个单位向量都是相等向量任何两个单位向量都是相等向量.分析分析:明确向量的有关概念明确向量的有关概念,根据定义进行判定根据定义进行判定.解析解析:错误错误.|a|=|b|仅说明仅说明a与与b的模相等的模相等,但不能说明它们方但不能说明它们方向的关系向的关系.错误错误.单位向量不仅有长度单位向量不仅有长度,而且有方向而且有方向;单位向量的方向
11、不单位向量的方向不一定相同一定相同,而相等向量要求长度相等而相等向量要求长度相等,方向相同方向相同.答案答案:1.单位向量、零向量是用向量的长度来定义的单位向量、零向量是用向量的长度来定义的,共线向量是用共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的,相等向相等向量是用向量的长度和方向共同定义的量是用向量的长度和方向共同定义的.2.对于概念性题目对于概念性题目,关键把握好概念的内涵与外延关键把握好概念的内涵与外延,正确理解正确理解共线向量、相等向量的概念共线向量、相等向量的概念,清楚它们的区别与联系清楚它们的区别与联系.【变式训练【变式训练
12、1】下列说法正确的是下列说法正确的是()A.数量可以比较大小数量可以比较大小,向量也可以比较大小向量也可以比较大小B.向量的模可以比较大小向量的模可以比较大小C.模为模为1的向量都是相等向量的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不确定由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平因此零向量不能与任意向量平行行解析解析:向量不能比较大小向量不能比较大小,故故A不正确不正确;向量的模是一个数量向量的模是一个数量,可可以比较大小以比较大小,故故B正确正确;相等向量不但模相等相等向量不但模相等,方向也相同方向也相同,故故C不正确不正确;规定零向量与任意向量平行规定零向量与任意向量平行,故故D不正确
13、不正确.答案答案:B探究探究二二 平面平面向量的表示向量的表示【例【例2】如图所示如图所示,在坐标纸上在坐标纸上(每个小方格的边长均为每个小方格的边长均为1),用用直尺和圆规画出下列向量直尺和圆规画出下列向量:分析分析:先确定起点先确定起点,再根据大小和方向确定出终点再根据大小和方向确定出终点,即可画出向即可画出向量量.1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方再确定向量的方向向,最后根据向量的大小确定向量的终点最后根据向量的大小确定向量的终点.2.注意事项注意事项:在书写有向线段时在书写有向线段时,要注意起点和终点的不同要注意起点和终点的不同
14、;在在书写字母表示时书写字母表示时,不要忘了字母上的箭头不要忘了字母上的箭头.探究探究三三 相等相等向量与共线向量向量与共线向量答案答案:8 解解:共有共有8个个.相等向量与共线向量的探求方法相等向量与共线向量的探求方法:(1)寻找相等向量寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量的向量,再确定哪些是同向共线再确定哪些是同向共线.(2)寻找共线向量寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段线的线段,再构造同向与反向的向量再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已注意不要漏掉以表示已知向量的有
15、向线段的终点为起点知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量起点为终点的向量.提醒提醒:与向量平行相关的问题中与向量平行相关的问题中,不要忽视零向量不要忽视零向量.易易 错错 辨辨 析析对向量的有关概念理解不清致误对向量的有关概念理解不清致误【典例】【典例】已知下列说法已知下列说法:若若|a|=0,则则a为零向量为零向量;若若ab,则则|a|=|b|;共线的单位向共线的单位向量是相等向量量是相等向量;两个有共同起点两个有共同起点,而且相等的向量而且相等的向量,其终点必其终点必相同相同.其中正确的有其中正确的有()A.1个个B.2个个C.3个个 D.4个个错解错解:C以上解答过程中都有哪些错
16、误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改正正?你如何防范你如何防范?提示提示:由于对零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概由于对零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念理解不清念理解不清,混淆它们之间的区别与联系导致错选混淆它们之间的区别与联系导致错选.正解正解:正确正确;错误错误;共线的单位向量模相等共线的单位向量模相等,但方向不一但方向不一定相同定相同,故故不正确不正确;正确正确.答案答案:B明确向量及其相关概念的联系与区别明确向量及其相关概念的联系与区别:(1)区分向量与数量区分向量与数量.向量既强调大小向量既强调大小,又强调方向又强调方向,而
17、数量只与而数量只与大小有关大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素有向线段有三要素:起点、方起点、方向、长度向、长度,只要起点不同只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有另外两个要素相同也不是同一条有向线段向线段,但决定向量的要素只有两个但决定向量的要素只有两个:大小和方向大小和方向,与表示向量与表示向量的有向线段的起点无关的有向线段的起点无关.(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的,零向量的零向量的方向是任意的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量平行向量也叫共线向量,当两共线向量的方向相同且模相
18、当两共线向量的方向相同且模相等时等时,两向量为相等向量两向量为相等向量.【变式训练】【变式训练】下列说法正确的是下列说法正确的是()A.若向量若向量a,b共线共线,则向量则向量a,b的方向相同的方向相同B.若若ab,bc,则则acC.有相同起点的两个非零向量不平行有相同起点的两个非零向量不平行D.若若a=b,b=c,则则a=c解析解析:对于对于A,当向量当向量a,b共线时共线时,向量向量a,b的方向不一定相同的方向不一定相同,故故A错误错误;对于对于B,若若ab,bc,则则ac在在b=0时不一定成立时不一定成立,故故B错错误误;对于对于C,向量的平行只与方向有关向量的平行只与方向有关,而与起点
19、是否相同无关而与起点是否相同无关,故故C错误错误;对于对于D,当当a=b,b=c时时,a=c,D正确正确.答案答案:D随随 堂堂 练练 习习1.下列各量是向量的是下列各量是向量的是()A.时间时间B.速度速度 C.面积面积 D.长度长度解析解析:速度既有大小又有方向速度既有大小又有方向,是向量是向量,其余均是数量其余均是数量.答案答案:B答案答案:C 3.在同一平面内在同一平面内,如果把平行于某一非零向量的一切向量的起如果把平行于某一非零向量的一切向量的起点放在同一点点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是那么这些向量的终点所构成的图形是()A.一条线段一条线段B.一条直线一条直线C.圆上一群孤立的点圆上一群孤立的点D.一个半径为一个半径为1的圆的圆解析解析:因为向量的起点确定因为向量的起点确定,且向量平行于同一非零向量且向量平行于同一非零向量,所以所以随向量模的变化随向量模的变化,向量的终点构成一条直线向量的终点构成一条直线.答案答案:B4.设在平面上给定了一个四边形设在平面上给定了一个四边形ABCD,点点K,L,M,N分别是分别是AB,BC,CD,DA的中点的中点,在以已知各点为起点和终点的向量中在以已知各点为起点和终点的向量中,与与向量向量 相等相等的向量是的向量是.5.如图如图,设设O是是 ABCD对角线的交点对角线的交点,则则:
