1、 高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U xAxC A, U xC AxA. 2.德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B=. 3.包含关系 ABAABB= UU ABC BC A U AC B= U C ABR= 4集合 12 , n a aa的子集个数共有2n 个；真子集有2n1 个； 非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n2 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a=+; (2)顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a=+; (3)零点式 12 ( )
2、()()(0)f xa xxxxa=. 6.闭区间上的二次函数的最值最值 二次函数)0()( 2 +=acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在 a b x 2 =处 及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当 a0 时，若qp a b x, 2 =，则 minmaxmax ( )(),( )( ),( ) 2 b f xff xf pf q a =； 若qp a b x, 2 =， maxmax ( )( ),( )f xf pf q=， minmin ( )( ),( )f xf pf q=. (2)当 a+=cbxaxxf恒成立的充要条件是 0 0 0 a b c 或 2 0 40 a
3、 bac baxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在 上是增函数； 1212 ()()()0 xxf xf xbaxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在 x f，则)(xf为增函数；如 果0)(. (4)幂函数( )f xx=, ()( ) ( ),(1)f xyf x f yf=. 16有理指数幂的运算性质 (1) (0, ,) rsr s aaaar sQ + =. (2) ()(0, ,) rsrs aaar sQ=. (3)()(0,0,) rrr aba b abrQ=. 注： 若 a0，p 是一个无理数，则 a p表示一个确定的实数上述有理指数
4、幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 17.指数式与对数式的互化式 log b a NbaN=(0,1,0)aaN. 18.对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a ,且1a ,0m ,且1m , 0N ). 推论 loglog m n a a n bb m =(0a ,且1a ,0m n ,且1m ,1n , 0N ). 19对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则 (1)log ()loglog aaa MNMN=+; (2) logloglog aaa M MN N =; (3)loglog() n aa MnM nR=. 20.等差等差数列
5、的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN=+=+； 其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s + = 1 (1) 2 n n nad =+ 2 1 1 () 22 d nad n=+. 21. .等比等比数列的通项公式 1* 1 1 () nn n a aa qqnN q =； 其前 n 项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q = = 22常见三角不等式 （1）若(0,) 2 x ，则sintanxxx. (2) 若(0,) 2 x ，则1sincos2xx （4）柯西不等式： 22222 ()()() , , , ,
6、.abcdacbda b c dR+ （5）bababa+. 44.最值定理（积定和最小积定和最小） 已知yx,都是正数，则有 （1）若积xy是定值p，则当yx =时和yx +有最小值p2； （2）若和yx +是定值s，则当yx =时积xy有最大值 2 4 1 s. 推广 已知Ryx,，则有xyyxyx2)()( 22 +=+ （1）若积 xy是定值,则当|yx 最大时,|yx +最大； 当|yx 最小时,|yx +最小. （2）若和|yx +是定值,则当|yx 最大时, | xy最小； 当|yx 最小时, | xy最大. 45.指数不等式与对数不等式 (1)当1a 时, ( )( ) ( )
7、( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . (2)当01a 或0或0所表示的平面区域是： （1）若0B ，当B与AxByC+同号时，表示直线l的上方的区域；当B与 AxByC+异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. （2）若0B =，当A与AxByC+同号时，表示直线l的右方的区域；当A与 AxByC+异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 53. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222 ()()xaybr+=. （2）圆的一般方程 22
8、0 xyDxEyF+=( 22 4DEF+0). （3）圆的圆的参数方程参数方程 cos sin xar ybr =+ =+ . （4） 圆的直径式方程 1212 ()()()()0 xxxxyyyy+=(圆的直径的端点是 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy). 54.直线与圆的位置关系 直线0=+CByAx与圆 222 )()(rbyax=+的位置关系有三种: 0相离rd; 0=相切rd; 0的参数方程是 cos sin xa yb = = . 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=焦半径公式 )( 2 1 c a xePF+=，)( 2 2 x c a ePF=.
9、 椭圆的的内外部 （1）点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=的内部 22 00 22 1 xy ab +的外部 22 00 22 1 xy ab + . 56.双曲线双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的焦半径公式 2 1 | ()| a PFe x c =+， 2 2 | ()| a PFex c =. 双曲线的内外部 (1)点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的内部 22 00 22 1 xy ab . (2)点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =
10、的外部 22 00 22 1 xy ab ，焦 点在 x 轴上，0焦半径 0 2 p CFx=+. 过焦点弦长pxx p x p xCD+=+= 2121 22 . 58.直线与圆锥曲线相交的弦长公式弦长公式 2222 211212 (1)()| 1tan| 1tABkxxxxyyco=+=+=+ （弦端点 A),(),( 2211 yxByx，由方程 = += 0)y, x(F bkxy 消去 y 得到0 2 =+cbxax， 0 ,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 59证明直线与直线的平行直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线
11、平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 证明直线与平面的平行直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 证明平面与平面平行平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 证明直线与直线的垂直直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 证明直线与直线与平面垂直平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转
12、化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 证明平面与平面的垂直平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 60.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和， 等于以这三个向量为棱的平 行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 61.共共线线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab存在实数使 a=b PAB、 、三点共线三点共线|APABAPtAB= (1)OPt OAt
13、OB=+ . |AB CDAB 、CD 共线且ABCD、不共线ABtCD= 且ABCD、不共线. 62.共面共面向量定理 向量 p p 与两个不共线的向量 a a、b b 共面的 存在实数对 , x y,使 paxby=+ 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对, x y ,使 MPxMAyMB=+ ， 或 对 空 间 任 一 定 点O ， 有 序 实 数 对, x y， 使 OPOMxMAyMB=+ . 63.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足OPxOAyOBzOC=+ （xyzk+=） ，则当1k =时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C 四点共面；
14、当1k 时，若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若O平面 ABC，则 P、A、 B、C 四点不共面 C AB、 、 、D四点共面四点共面AD 与AB 、AC 共面ADxAByAC=+ (1)ODxy OAxOByOC=+ （O平面 ABC）. 64.空间向量基本定理 如果三个向量 a a、b b、c c 不共面，那么对空间任一向量 p p，存在一个唯一的有 序实数组 x，y，z，使 p pxa ayb bzc c 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的 三个有序实数 x，y，z，使OPxOAyOBzOC=+ . 65.向量的直角坐标运算 设a a
15、 123 (,)a a a，b b 123 ( ,)b b b 则 (1)a ab b 112233 (,)ab ab ab+； (2)a ab b 112233 (,)ab ab ab； (3)a a 123 (,)aaa (R)； (4)a ab b 1 1223 3 aba ba b+； 设 A 111 ( ,)x y z，B 222 (,)xyz，则 ABOBOA= = 212121 (,)xx yy zz. 66空间的线线平行或垂直 设 111 ( ,)ax y z= r ， 222 (,)bxyz= r ，则 a a|b b(0)ab b= rr rr 12 12 12 xx yy
16、 zz = = = ； ab rr 0a b= r r 12121 2 0 x xy yz z+=. 67.夹角公式 设a a 123 (,)a a a，b b 123 ( ,)b b b，则 cosa a，b b= 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb + + . 推论 2222222 1 1223 3123123 ()()()aba ba baaabbb+，此即三维柯西不等式. 68异面直线异面直线所成角 cos|cos,|a b= r r = 12121 2 222222 111222 | | | x xy yz za b abxyzxyz + =
17、 + r r rr （其中（090 x f，右侧0)( x f，则)( 0 xf是极大值； （2）如果在 0 x附近的左侧0)( x f，则)( 0 xf是极小值. 90.复数复数的相等,abicdiac bd+=+=.（, , ,a b c dR） 复数zabi=+的模（或绝对值）| z=|abi+= 22 ab+. 91.复数的四则运算法则 (1)()()()()abicdiacbd i+=+; ; (2)()()()()abicdiacbd i+=+; ; (3)()()()()abi cdiacbdbcad i+=+; ; (4) 2222 ()()(0) acbdbcad abicdii cdi cdcd + +=+ + . 92.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 2 0axbxc+=， 若 2 40bac =,则 2 1,2 4 2 bbac x a =; 若 2 40bac =,则 12 2 b xx a = ; 若 2 40bac =，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C内有且仅有 两个共轭复数根 2 2 (4) (40) 2 bbac i xbac a =.
