1、 1 天津市 2017 届高三数学下学期第五次月考试题 理 第 卷 一、 选择题：本大题共 8 个小题 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若全集 UR? ，集合 ? ?|1 2 4xAx? ? ?， ? ?| 2 0B x x? ? ?，则 ()UAB? （ ） A ? ?|1 2xx? B ? ?|0 1xx? C ? ?|0 1xx? D ? ?|1 2xx? 2.若 x ， y 满足条件 2 0,4 0,2,xyxyy? ? ? ? ?则 2z x y?的最小值为（ ） A 1? B 1 C 2 D 2? 3.已知命题 p ： 26xk? ? ， kZ? ；命
2、题 q ： 1sin 2x? ，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A 14 B 15 C 16 D 17 5.在等差数列 ?na 中， 3 6 9 54a a a? ? ? ，设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，则 11S? （ ） A 18 B 99 C 198 D 297 2 6.已知双曲线 221xyab?（ 0a? ， 0b? ）的左右焦点分别为 1( ,0)Fc? ， 2(,0)Fc ，以线段 12FF 为直径的圆与双曲线在第二象限的交 点为 P ，若直线 2PF
3、与圆 E ：222()2 16cbxy? ? ?相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A yx? B 2yx? C 3yx? D 2yx? 7.设函数 321( ) 33f x x x x? ? ?，若方程 2| ( ) | | ( ) | 1 0f x t f x? ? ?有 12 个不同的根，则实数 t 的取值范围为（ ） A 10( , 2)3? B ( , 2)? C 34 215 t? ? ? D ( 1,2)? 8.已知圆 O 为 Rt ABC? 的内切圆， 3AC? ， 4BC? ， 90C? ? ? ，过圆心 O 的直线 l 交圆 O 于 P ， Q 两点，则 BPCQ? 的取值
4、范围是（ ） A (7,1)? B ? ?0,1 C ? ?7,0? D ? ?7,1? 第 卷 二、填空题（共 6 个小题，将答案填在答题纸上） 9.用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级 抽 10 人，已知该校高二年级共有学生 300 人，则该校学生总数为 10.某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积等于 3cm 11.在 7( 3)x? 的展开式中， 5x 的系数是 （结果用数值表示） 3 12.在 ABC? 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 2 cos 2c B a b?，
5、若 ABC?的面积为 32Sc? ，则 ab 的最小值为 13.若不等式 222 ( )x y cx y x? ? ?对任意满足 0xy?的实数 x ， y 恒成立，则实数 c 的最大值为 14.设抛物线 222x pty pt? ? ?（ 0p? ）的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B ，设 7( ,0)2Cp， AF 与 BC 相交于点 E ，若 | | 2| |CF AF? ，且 ACE? 的面积为32，则 p 的值为 三、解答题 （本大题共 6 小题 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15.已知函数 ( ) 4 c o s s in
6、 ( ) ( 0 )6f x x x ? ? ? ? ?的最小正周期是 ? （）求函数 ()fx在区间 (0, )x ? 的单调递增区间； （）求 ()fx在 3,88?上的最大值和最小值 16.某校高三年级某班的数学课外活动小组有 6 名男生， 4 名女生，从中选出 4 人参加数学竞赛考试，用 X 表示其中男生的人数 （）请列出 X 的分布列并求数学期望； （）根据所列的分布列求选出的 4 人中至少有 3 名男生的概率 17.如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD? 平面 ABCD ， 1BC? ，2AB? ， 2PC PD?， E 为 PA 中点 （）求证
7、： /PC 平面 BED ； （）求二面角 A PC D?的余弦值； 4 （）在棱 PC 上是否存在点 M ，使得 BM AC? ？若存在，求 PMPC 的值；若不存在，说明理由 18.对于数列 ?na ， ?nb ， nS 为数列 ?na 的前 n 项和，且 1 ( 1)n n nS n S a n? ? ? ? ? ?，111ab?， 1 32nnbb? ?， *nN? （）求数列 ?na ， ?nb 的通项公式； （）令 2( )( 1)nn nanc nb? ?，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT 19.已知 1( 3,0)F ? ， 2( 3,0)F 为椭圆 C ： 22 1( 0
8、)xy abab? ? ? ?的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且 12PFF? 面积的最大值为 3 （）求椭圆 C 的方程； （）若直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点， OAB? 的面积为 1， OG sOA tOB?（ s ，tR? ），当点 G 在椭圆 C 上运动时，试问 22st? 是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出 22st? 的取值范围 20.已知函数 ln( )() xafx x? （ ）若 1a? ，证明：函数 ()fx是 (0, )? 上的减函数； （）若曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线与直线 0xy?平行，求 a 的值
9、； （）若 0x? ，证明： ln( 1) 1xxxxe? ? ?（其中 2.71828e? 是自然对数的底数） 5 天津一中 2017 届高三年级五月考数学试卷（理科）答案 一、选择题 1-5:CDBCC 6-8:DCD 二、填空题 9.900 10.6 1.5? 11.189 12.12 13.2 2 4? 14. 6 三、解答题 15.解：（）函数 ( ) 4 c o s s in ( )6f x x x ? 314 c o s ( s in c o s )22x x x? ? ? 22 3 s in c o s 2 c o s 1 1x x x? ? ? ? ? ?3 sin 2 c
10、o s 2 1xx? ? ?2 sin(2 ) 16x ? ? ? 且 ()fx的最 小正周期是 22? ? ，所以 1? ， 从而 ( ) 2 sin (2 ) 16f x x ? ? ? 令 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ? ?，解得 63k x k? ? ? ? ?（ kZ? ）， 所以函数 ()fx在 (0, )x ? 上的单调递增区间为 (0, 3? 和 5( , )6? （）当 3,88x ?时， 32,44x ?， 所以 72,6 12 12x ? ? ?， 622 s in ( 2 ) , 262x ? ? ?， 所以当 2 6 12x ? ，即 8x
11、? 时， ()fx取得最小值， 当 2 62x ?，即 3x ? 时， ()fx取得最大值 6212? ? ； 所以 ()fx在 3,88?上的最大值和最小值分别为， 6212? ? . 16.解：（）依题意得，随机变量 X 服从超几何分布， 6 随机变量 X 表示其中男生的人数， X 可能取得值为 0,1,2,3,4， 464410()kkCCP X kC? ，0,1,2,3,4.k ? X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1210 435 37 821 114 （）由分布列可知至少选 3 名男生， 即 8 1 1 9( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) 2 1 1 4 4 2P X
12、 P X P X? ? ? ? ? ? ? ? 17.（）证明：设 AC 与 BD 的交点为 F ，连接 EF . 因为 ABCD 为矩形，所以 F 为 AC 的中点， 在 PAC? 中，由已知 E 为 PA 中点， 所以 /EF PC ， 又 EF? 平面 BED ， PC? 平面 BED ， 所以 /PC 平面 BED . （）解：取 CD 中点 O ，连接 PO . 因为 PCD? 是等腰三角形， O 为 CD 的中点， 所以 PO CD? ， 又因为平面 PCD? 平面 ABCD ， 因为 PO? 平面 PCD ， PO CD? ， 所以 PO? 平面 ABCD 取 AB 中点 G ，
13、连接 OG ， 由题设知四边形 ABCD 为矩形， 所以 OF CD? ， 所以 PO OG? 如图建立空间直角坐标系 O xyz? ，则 (1, 1,0)A ? ， (0,1,0)C ， (0,0,1)P ， (0, 1,0)D ? ，(1,1,0)B ， (0,0,0)O ， (1,0,0)G . ( 1,2,0)AC ? ， (0,1, 1)PC?. 设平面 PAC 的法向量为 ( , , )n x y z? ，则 0,0,n ACn PC? ?即 2 0,0.xyyz? ?7 令 1z? ，则 1y? ， 2x? ，所以 (2,1,1)n? . 平面 PCD 的法向量为 (1,0,0)
14、OG? ， 设 n ， OG 的夹角为 ? ，所以 6cos 3? . 由图可知二面角 A PC D?为锐角， 所以二面角 A PC B?的余弦值为 63 . （）设 M 是棱 PC 上一点，则存在 ? ?0,1? 使得 PM PC? 因此点 (0, ,1 )M ? ， ( 1, 1,1 )BM ? ? ? ?， ( 1,2,0)AC ? 由 0BM AC?，即 12? 因为 ? ?1 0,12? ，所以在棱 PC 上存在点 M ，使得 BM AC? ， 此时 12PMPC ? 18.解：（）由 1 ( 1)n n nS n S a n? ? ? ? ? ?， 1 21n n nS S a n
15、? ? ? ? ?， 1 21nna a n? ? ? ?， 211 1 1aa? ? ? ?， 32221aa? ? ? ?， 43231aa? ? ? ?， 8 1 2( 1) 1nna a n? ? ? ?， 以上各式相加可得： 1 2 1 2 3 ( 1 ) ( 1 )na a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2(1 1 ) ( 1 )2 ( 1 ) 12n nna n n? ? ? ? ? ? ? ?， 2nan? ， 1 32nnbb? ?，即 1 1 3( 1)nnbb? ? ? ?， 1 12b? ， 数列 ? ?1nb? 是以 2 为首项， 3 为公比的等比数
16、列， 11 2 3nnb ? ? ? ， 即 12 3 1nnb ? ? ? （）由（）可知 2112 ( ) 2 ( 1 ) 1( 1 ) ( 2 3 1 1 ) 3nn nnnanc n b n ? ? ? ? ? ? ?， 12 0 1 2 12 3 4 13 3 3 3nn nnT c c c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 231 2 3 4 13 3 3 3 3n nnT ? ? ? ? ?， 2 3 12 1 1 1 1 123 3 3 3 3 3n nnnT ? ? ? ? ? ? ? ?1113321 313nnn? ? ? ?5 2 52 2 3nn? ， 115
17、2 54 4 3n nnT ?， 数列 ?nc 的前 n 项和115 2 54 4 3n nnT ? 19.解：（）由题意得 3c? ， 当 P 为短轴端点时， 12PFF? 面积取得最大值 1 232 bc? ? ? ， 解得 1b? ， 222a b c? ? ?， 即有椭圆的方程为 2 2 14x y? （）设直线 l 的方程为 y kx m?，代入椭圆方程 2244xy?， 9 可得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x km x m? ? ? ? ?， 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 即有12 2814kmxx k? ? ? ?， 212 2441
18、4mxx k? ?， 2 2 211| | | | s i n | | | | ( )22O A BS O A O B A O B O A O B O A O B? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 21 ( ) ( ) ( )2 x y x y x x y y? ? ? ? ?1 2 2 11 |2 x y x y? 1 2 2 11 | ( ) ( ) |2 x kx m x kx m? ? ? ?121 | ( ) |2 m x x?2 2 22 2 21 6 4 1 6 1 6| | 12 (1 4 ) 1 4k m mm kk ? ? ? ?， 化简可得 221 4 2km? 设 ( , )Gxy ，由 OG sOA tOB?，可得 12x sx tx?， 12y sy ty? 又因为点 G 在椭圆 C 上，所以有 221 2 1 2( ) 4 ( ) 4sx tx sy ty? ? ? ?， 整理可得： 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( 4 ) ( 4 ) 2 ( 4 ) 4s x y t x y s t x x y y? ? ? ? ? ?， 即为 22 1 2 1 24 ( ) 2 ( 4 ) 4s t st x x y y? ? ? ? 由12 22xx m?
