1、新疆乌鲁木齐地区 2018届高三数学下学期第二次诊断性测验试题（文） 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 0 ,1, 2 , 3 , 1 3A B x x? ? ? ? ?，则 AB=（ ） A 1,2 B 0,1,2 C 0,1,2,3 D ? 2. 若复数 1z ， 2z 互为共轭复数，且 1 12zi? ，则 12zz =（ ） A 3455i? B 3455i? C 3455i? D 3455i? 3.已知命题 p ： xR? ， lg 0x? ； q ： 0xR
2、?， 00sin cosxx? ，则下列命题中为真命题的是（ ） A q? B pq? C pq? D qp? 4.已知函数22 ,0()log , 0xfx xxx? ?，若 ( ) 2fa? ，则实数 a =（ ） A -1 B 4 C. 14 或 1 D -1或 4 5.若 ,mn是两条不同的直线， ,?是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A若 ,m? ? ?，则 m ? B若 m ? ， nm? ，则 n ? C. 若 m? ， n ? ， mn? ，则 ? D若 m ? ， m? ， n? ，则 m n 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 4 B 14
3、3 C. 163 D 6 7.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 .”其大意为“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程” .该问题的计算结果为（ ） A 24里 B 48里 C.96里 D 192里 8. 习近平总书记在“十九大”报 告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化。我国古代数学名著九章算术中收录了“更相减损术”这一经典算法，对应的程序框图如图所示，若输入的 ,xy的值分别为
4、 40， 24，则输出的 x 的值为（ ） A 16 B 8 C.4 D 2 9.若锐角 ? 满足 2sin cos 2?，则函数 2( ) cos ( )f x x ?的单调递减区间为（ ） A 52 , 2 ( )1 2 1 2k k k Z? ? ?B 5 , ( )1 2 1 2k k k Z? ? ?C. 72 , 2 ( )1 2 1 2k k k Z? ? ?D 7, ( )1 2 1 2k k k Z? ? ?10.过等轴双曲线的焦点 F 作它的一条渐近线的平行线分别交另一条渐近线以及双曲线于,MN两点 ，则（ ） A FN NM? B FN NM? C. FN NM? D ,
5、FN NM 的大小关系不确定 11.函数 ( 1) ( 1)xxayax?的图象的大致形状是（ ） A B C. D 12. AB 是过抛物线 2 2y px? 焦点 F 的弦，其垂直平分线交 x 轴于点 G ，设 AB FG? ，则 ? 的值是（ ） A 32 B 2 C.4 D与 p 的值有关 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量 2( 2,1), ( , 1)a b x x? ? ? ?，且 ab? ，则 x = 14. 若变量 ,xy满足约束条件 4yxxyyk?，且 2z x y?的最小值为 -3，则 k = 15. 在
6、 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，若 2 2 2a b c bc? ? ? ，则 sinaBb 的值为 16. 已知函数 31() xf x e ? ， 1( ) ln3g x x? ，若 ( ) ( )f m g n? ，则 nm? 的最小值为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知 na 是等差数列，且 348aa?， 244aa? ；数列 nb 满足：121nnnb aa? （）求数列 na 的通项公式； （）设数列 nb 的前 n 项和为 nS ，若 11 20nSn ? ，求 n 的最大值 18.
7、 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，底面 ABC 是等 边三角形， D 为 BC 的中点 （）求证 1AC 平面 1ADB ； （）若 1 2AB AA?，求三棱锥 11A ADB? 的体积 19. 公交车的数量太多容易造成资源浪费，太少又难以满足乘客的需求，为了合理布置车辆，公交公司在 2路车的乘客中随机调查了 50 名乘客，经整理，他们候车时间（单位： min ）的茎叶图如下： （）将候车时间分为 ? ? ? ? ? ?0, 4 , 4,8 , , 28,32八组，作出相应的频率分布直方图； （）若公交公司将 2 路车发车时间调整为每隔 15min 发一趟车，那么上述样本点
8、将发生变化（例如候车时间为 9min 的不变，候车时间为 17min 的变为 2min ），试估计一名 2路车乘客候车时间不超过 10min 的概率 20. 设椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?，直线 : ( 0)l y kx m m? ? ?与椭圆交于 ,AB两点，当 l 经过椭圆的一个焦点和一个顶点时， 3km? （）求椭圆的方程； （）若直线 ,OA ABOB 的斜率成等差数列（ O 是坐标原点），求 OAB? 面积的最大值 21. 已知函数 ( ) lnxaf x e x?（其中 2.71828e? ，是自然对数的底数） （）当 0a? 时，求函数 0a? 的图象在 (
9、1, (1)f 处的切线方程； （）求证：当 11a e? 时， ( ) 1f x e? 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1 cossinxtyt ? ?（ t 为参数， 0 ?）， 以O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立 极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4cos? （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）设 (1,0)A ，直线 l 交曲线 C 于 ,MN两点， P 是直线 l 上的点，且 2 1 1AP AM AN?，当 A
10、P 最大时，求点 P 的坐标 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 3f x x x a? ? ? ? （）当 2a? 时，解不等式 1() 2fx? ； （）若存在实数 x ，使得不等式 ()f x a? 成立，求实数 a 的取值范围 试卷答案 一、选择题 1-5:BCCDD 6-10:DCBBA 11、 12： AB 二、填空题 13.1 14.-1 15. 32 16. 2 ln33? 三、解答题 17. （）设 na 的首项为 1a ，公差为 d ，依题意，有 12 5 824add ? ?，解得 1 12ad? ?，所以23nan?； （）121 1 1 1 1( 2 1
11、 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nnnb a a n n n n? ? ? ? ? ? ?， 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nS n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由 21 2 1 7 1 01 2 0nS nnn ? ? ? ? ? ，设 2( ) 2 17 1f x x x? ? ?， 由 (8 ) 7 0 , (9 ) 1 0 0ff? ? ? ? ?及二次函数单调性可知， n 的最大值为 8 18. （）连结 1AB交 1AB 于 E ，连结 ED ， ,DE 都是中点， DE? 1AC ， 1AC? 平面 1ADB
12、 ； （） 1AC 平面 1ADB ， 1 1 1 11 3 323 2 3A A D B C A D B B A D CV V V? ? ? ? ? ? ? ? ? 19.（）经统计落入分组区间 ? ? ? ? ? ?0, 4 , 4,8 , , 28,32内的频数依次为 4、 4、 10、 12、 8、 6、4、 2各组分组区间相应的频率 /组距的值依次为 0.02、 0.02、 0.05、 0.06、 0.04、 0.03、 0.02、0.01，依此画出频率分布直方图； （）调整为间隔 15 分钟发一趟车之后，候车时间原本不超过 10分钟的数据就有 14 个，发生了变化的候车时间中不超过
13、 10 分钟的数据又增加了 20个，共计 34个 .所以候车时间不超过 10分钟的频率为 34 0.6850? ，由此估计一名乘客候车时间不超过 10 分钟的概率为 0.68 20. （）依题意 3bm? ， 3b kc? ， 1, 2ca? ? ? ， ?椭圆方程为 22143xy?； （）联立 22143y kx mxy? ?，得 2 2 2(3 4 ) 8 4 1 2 0k x k m x m? ? ? ? ?， 由 0? 得 224 3 0km? ? ?， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 21 2 1 2228 4 1 2,3 4 3 4k m m
14、x x x xkk? ? ?又 2 AB OA OBk k k?，即 12122yyk xx?， 1 2 1 2 2 12kx x x y x y? ? ?， 1 2 1 2 2 12 ( ) ( )k x x x k x m x k x m? ? ? ? ?， 12( 0m x x? ? ? ， 228 034kmk? ， 0, 0mk? ? ? ，联立 22143ymxy? ?，解得 222 1 , , 2 1 ,33mmA m B m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由图形对称性，不妨设 0m? ，则 2421 4 1 22 3 3O A B mmS m m?
15、 ? ? ? ? ? ?， 当 2 32m? 时， OABS? 取最大值 3 21. （） 0a? 时， 1( ) l n , ( ) ( 0 ) , (1 ) , (1 ) 1 ,xxf x e x f x e x f e f ex? ? ? ? ? ? ? ? ? ?函数 ()fx的图象在 (1, (1)f 处的切线方程： ( 1)( 1)y e e x? ? ? ?， 即 ( 1) 1 0e x y? ? ? ?； （） 1( ) ( 0 )xaf x e xx? ? ? ?，设 ( ) ( )g x f x? ，则21( ) 0xag x e x? ? ? ?， ()gx? 是增函数；
16、 x a aee? ? ，由 1aae x ex ? ? ? ， ?当 axe? 时 ( ) 0fx? ? ； 若 101 x a ax e e? ? ? ?，由 111aae x ex? ? ? ? ?， ?当 10 min1, axe? 时 ( ) 0fx? ? ， 故 ( ) 0fx? ? 仅有一解，记为 0x ，则当 00 xx? 时， ( ) 0fx? ? ， ()fx递减； 当 0xx? 时 ( ) 0fx? ? ， ()fx递增； 0m in 0 0( ) ( ) lnxaf x f x e x? ? ? ?， 而000 0 00011( ) 0 l n ,x a x af x
17、e e a x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?记 ( ) lnh x x x?， 则0 0 0001 1 1 1 1( ) l n ( ) , 1 1 ( ) ( )f x x h a a h x hx x e e e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 而 ()hx 显然是增函数，所以0 0110 xeex? ? ? ?，01( ) ( ) 1h h e ex? ? ? ?； 综上，当 11a e? 时， ( ) 1f x e? 22. （）直线 l 的普通方程为 tan ( 1)yx?， 曲线 C 的直角坐标方程为 2240x y x? ? ? ； （）设直线 l 上的三点 ,MNP 所对应的参数分别为 12,t t t ， 将 1 cossinxtyt ? ?代入 2240x y x? ? ? ，整理得 2 2 cos 3 0tt ? ? ?， 则 1 2 1 22 co s , 3t t t t? ? ? ? ?， 1t? 与 2t 异号，由 2 1 1AP AM AN?， 得 1 2 1 21 2 1 2 1 22 1 1 t t t tt t t t t t t? ? ? ?， 12
