1、 三角函数的应用同步练习三角函数的应用同步练习 一、选择题 1. 如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼( )是世界上首座、也曾 经是世界最大的观景摩天轮已知其旋转半径 60 米，最高点距地面 135 米，运行 一周大约 30分钟某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第 10 分钟时他距地面大 约为( ) A. 95 米 B. 100 米 C. 105米 D. 110 米 2. 如图为一半径为 3米的水轮，水轮圆心 O距水面 2米，已知水轮每分钟转 4圈，水 轮上的点 P到水面距离(米)与时间(秒)满足关系式 = ( + ) + 2，则有 ( ) A. = 5 12， = 3 B. = 2 15，
2、 = 3 C. = 5 12， = 5 D. = 15 2， = 5 第 2 页，共 17 页 3. 一单摆如图所示，以 OA为始边，OB 为终边的角 ( 0)，若该港口在该天 0 时至 24 时内，有且只有 3 个时刻水深为 3 米，则该港口该天水最深的时刻不可能为( ) A. 16 时 B. 17 时 C. 18时 D. 19 时 9. 已知函数() = cos |cos|.给出下列结论： ()是周期函数； 函数()图像的对称中心( + 2 ,0) ( )； 第 4 页，共 17 页 若(1) = (2)，则1+ 2= ( )； 不等式sin2 |sin2| cos2 |cos2|的解集为
3、| + 1 8 0, 0, 0,2) 由题意可知 = 60， = 135 60 = 75， = 2 = 30， 所以 = 15，即 又因为(0) = 135 120 = 15，解得sin = 1， 故 = 3 2 ，所以() = 60sin( 15 + 3 2 ) + 75 = 60cos 15 + 75， 所以(10) = 60 cos 2 3 + 75 = 105 故选 C 2.【答案】B 【解答】 解：水轮的半径为3 ，水轮圆心 O距离水面2 ， = 3 又水轮每分钟旋转 4 圈，故转 1 圈需要15 ， = 15 = 2 ， = 2 15 故选 B 3.【答案】B 【解答】 解：当 =
4、 0时， = 1 2sin 2 = 1 2， 由函数解析式易知单摆周期为2 2 = ， 故单摆频率为1 故选 B 4.【答案】D 【解答】 解： 如图， 在 中，设 = ，则 = cos， = sin， 在 中，QR OR = tan 3 = 3，所以 = 3 3 = 3 3 sin = = cos 3 3 sin 设矩形 PQRS的面积为 S，则 由于0 3， 所以当2 + 6 = 2，即 = 6时，max = 3 3 3 6 = 3 6 因此，当 = 6时，矩形 PQRS的面积最大，最大面积为 3 6 故选 D 5.【答案】D 【解答】 解：由图中数据可得sin 1 50 ， = 9.03
5、0 109(1/)， = 1550 10;9 = 1.55 10;9， = 2sin = 9.031091.55109 2 1 50 = 9.03 1.55 25 350/ 故选 D 6.【答案】D 【解答】 第 10 页，共 17 页 解： 函数与() = 1的所有交点从左往右依次记 为1、2、3、4和5， 且1和5，2和4，都关于点3对称，如图所示： 则 1 + 2 +.+5 = 53 = 5(1,3)， 所以|1 + 2 +.+ | = 10 故选：D 7.【答案】B 【解答】 解：由题知 = 2， = 2( 3 + 6) = ， = 2， 即 = 2(2 + )过点( 3 ,2)， 即
6、2(2 3 + ) = 2，解得2 3 + = 2 + 2, ，即 = 6 + 2, ， 当 = 0时， = 2(2 6 ) 故选 B 8.【答案】D 【解答】 解：由题意可知， = 0时， = 0.5( 0 + 6) + 3.24 = 3.49， 由五点法作图可知：如果当 = 16时，函数取得最大值，可得：16 + 6 = 5 2 ，可得 = 7 48， 此时函数 = 0.5(7 48 + 6) + 3.24，函数的周期为： = 2 7 48 = 96 7 14， = 24时， = 0.5(7 48 24 + 6) + 3.24 3，如图： 该港口在该天 0 时至 24 时内，有且只有 3
7、个时刻水深为 3 米，不满足， 故选：D 9.【答案】D 【解答】 ( + 2) = cos( + 2) |cos( + 2)| = cos |cos| = ()， 是周期为的函数，正确； 当时， 当时， 0， 可以画出在一个周期 2 , 3 2 内的函数图象，如下 由图可知：函数的对称中心为( + 2 ,0) ( )，正确； 第 12 页，共 17 页 函数的对称轴为 若，则，即，错误； 不等式等价于： 由图可知： 解得，正确 故选：D 10.【答案】B 【解答】 解：以风车的中心为坐标原点，过风车中心水平方向的直线为 x轴(向右为 x轴的正方 向)，过风车中心竖直方向的直线为 y 轴(向上
8、为 y轴的正方向)建立平面直角坐标系 由题意得：地面对应的直线的纵坐标为10，点0的坐标为(0,8)； 点 P 转动的速度为2 12 = 6 (/) 点 P 从点0开始转动， 点 P 的纵坐标 y与其转过的角度 6 满足余弦关系 设 = 6 . 点(0,8)在函数 = 6 的图象上， 8 = ( 6 0) 解得 = 8 = 8 6 . 风车上翼片的端点 P始终在地面上方， 点 P 离地面的距离 = (10) = 8 6 + 10， 点 P 离地面的距离()与时间()的函数关系式是() = 8 6 + 10 故选 B 11.【答案】A 【解答】 解：依题意可知，| | = | | = 1， |
9、| =| |2+ | |2 2 =2 2 ， 当0 2时， ， 又是 P关于 OB 的对称点，则 = = 2 ， = 2， 当0 2时， = | | | | cos( 2) = 2， 又 2 时， = 2， 又是 P关于 OB 的对称点，则 = = 2， = 2 ， 当 2 时， = | | | | cos(2 ) = 2， 综上所述 0,时， = 2， () = | | =2 2 = 2 + 2cos2 = 2|cos|， 0,， ()的图象为 A所示， 故选 A 12.【答案】B 第 14 页，共 17 页 【解析】解：由题可得：2 = cos2;sin2 cos2:sin2 = 1;ta
10、n2 1:tan2 = 7 25， 解得 = 3 4， 因为 ( 2 ,)， 所以 = 3 4， 所以 sin(3 2 :) = ;cos = = 3 4 13.【答案】57 14 【解答】 解：如图所示，在 中， = 20， = 10， = 120， 由余弦定理得2= 2+ 2 2 120 = 700， 所以 = 107； 由正弦定理得sin = sin = 21 7 ， 由 = 120知为锐角， 所以cos = 27 7 ； 所以 = sin( + 30) = sin30 + cos30 = 57 14 故答案为57 14 14.【答案】 5 8 【解答】 解：由题意可得： = 2 4(1
11、;cos2) 2 sin2 = 2 42sin 2 2 sin2 = 1 2sin 2 2sincos = 1 4tan = 5 8 故答案为 5 8 15.【答案】8m 【解答】 解：由图像知= 2 因为= 3 + ， 所以3 + = 2，解得 = 5， 所以这段时间水深的最大值是= 3 + = 3 + 5 = 8() 故答案为 8m 16.【答案】1030 【解析】解：如图所示， 塔 平面 AOB， = 90， = 60， = 30， = 100， 设塔高 = ， = 60 = 3， = 30 = 3， 2+ 2= 2， 1 3 2 + 32= 1002， = 1030； 即塔高为1030
12、. 故答案为：1030 17.【答案】解：(1)因为， 所以在 中，百米 由正弦定理，得， 得， 又圆弧 DB长为， 所以 第 16 页，共 17 页 (2)记， 则 ， 令() = 0，得 = 6 当 x变化时，()，()的变化如下表： x (0, 6) 6 ( 6 , 3) () + 0 () 递增 极大值 递减 所以()在 = 6处取得极大值，这个极大值就是最大值 即 所以，广告位出租的总收入的最大值为元 18.【答案】解：(1)由平行四边形 OMPN 得， 在中， = 120， = 60 ， 则 sin = sin = sin， 即 sin(60;) = 60 sin120 = sin
13、， 即 = 403sin(60 )， = 403sin， 则停车场面积 = sin = 24003sinsin(60 )， 即 = 24003sinsin(60 )，其中0 60 (2)由(1)得 = 24003sinsin(60 ) = 24003sin( 3 2 cos 1 2sin)， 即 = 3600sincos 12003sin2 = 1800sin2 + 6003cos2 6003， 则 = 12003sin(2 + 30) 6003. 因为0 60， 所以30 2 + 30 150， 则2 + 30= 90时，max= 12003 1 6003 = 6003平方米 故当 = 30时，停车场最大面积为6003平方米
