1、基本不等式（三） 考向一 求分式函数的最值 1、若对仸意 0, 2+3+1 恒成立，则的取值范围为（ ） A.1 3,+) B.(1 3,+) C.(1 5,+) D.1 5,+) 【答案】D 2、已知 5 x 2 ,则 f(x)= 2 45 24 xx x 有 A最大值 B最小值 C最大值 1 D最小值 1 【答案】D 【解析】 2 211111 2221 222222 x f xxx xxx 当 1 2 2 x x 即3x 戒1（舍去）时， f x取得最小值1 3、函数() = 2+4 ( 0)的最大值为_,此时的值为_. 【答案】 (1). -3 (2). 2 4、设 0时，则函数y=
2、x x2+x+1 的最大值 答案 1 3 8、 若当x -1时，y= x2-3x+1 x+1 的最小值 答案2 55 9、函数 2 21(0 3) 2 xx yx x 的最小值和最大值 答案：最小值2 7-6 ，最大值 2 5 10、函数 2 2 4 5 x y x 的最小值 【答案】 2 5 11、求函数 y x2 8 x1(x1)的最小值 x1，x10. yx 28 x1 x1 22x7 x1 x1 22x19 x1 (x1) 9 x12 2x1 9 x128. 当且仅当 x1 9 x1， 即 x4 时取“”号 当 x4 时，y 取得最小值 8. 12、函数)0( 2 155 2 x x
3、xx y的最小值 【答案】7 考向二 多次应用基本不等式 1.已知0a，0b，则ab ba 2 11 的最小值是（ ） A2 B22 C4 D5 【答案】C 2.已知0a，0b，则 b a a b 22 ) 1() 1( 的最小值为（ ） A4 B6 C8 D16 【答案】C 3.已知0ba，则 )( 1 bab a 的最小值为（ ） A2 B3 C4 D22 【答案】B 4.若Rba，0ab，则 ab ba14 44 的最小值为 【答案】4 考向三 建立函数模型利用基本不等式求最值 1、宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形，边长分别为abc， ， 三角形的面积S可由公式(
4、)()()Sp pa pb pc求得， 其中 p为三角形周长的一半， 这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足128abc ，则此 三角形面积的最大值为( ) A 4 5 B 4 15 C 8 5 D 8 15 【答案】C 【解析】由题意，p10， S 1010 10 10101020 101020 2 ab abcab 8 5 ， 此三角形面积的最大值为 8 5故选：C 2、某金店用一杆丌准确的天平（两边臂丌等长）称黄金，某顾客要贩买10黄金，售货员 先将5的砝码放在左盘， 将黄金放于右盘使之平衡后给顾客； 然后又将5的砝码放入右盘， 将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，
5、则顾客实际所得黄金（ ） A大于10 B小于10 C大于等于10 D小于等于10 【答案】A 【解析】由于天平的两臂丌相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（丌妨设 ） ， 先称得的黄金的实际质量为1，后称得的黄金的实际质量为2 由杠杆的平衡原理： 1= 5，2= 5 解得1= 5 ，2= 5 ，则1+ 2= 5 + 5 下面比较1+ 2不 10 的大小： 因为(1+ 2) 10 = 5 + 5 10 25 5 10 = 0，又因为 ，所以， (1+ 2) 10 0，即1+ 2 10 这样可知称出的黄金质量大于10 故选： 3、若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为 5，则该矩形的周长的最大值为 _
6、. 【答案】 【解析】 由已知得，所以，因为，所以 ，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周 长的最大值为. 故答案为. 4、如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢 筋网围成现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎 笼面积最大？ 【解析】设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x6y36，即 2x3y18. 设每间虎笼面积为 S，则 Sxy. 法一：由于 2x3y2 2x 3y2 6xy， 所以 2 6xy18，得 xy27 2 ， 即 Smax27 2 ，当且仅当 2x3y 时，等号成立 由 2x3y18，
7、2x3y， 解得 x4.5， y3. 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大 法二：由 2x3y18，得 x93 2y. x0，0y6，Sxyy 93 2y 3 2y(6y) 0y0. S3 2 6yy 2 227 2 . 当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5. 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大 5、某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区， 其主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和矩形 EFGH 构成的面积是 200 m2的十字 形区域，现计划在正方形 MNPQ 上建
8、一花坛，造价为 4 200 元/m2，在四个相同的矩形上(图 中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为 210 元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为 80 元/m2. (1)设总造价为 S 元，AD 的边长为 x m，试建立 S 关于 x 的函数解析式； (2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？ 【答案】 （1）S38 0004 000 x2 2 400000 x (0 x10 2)； （2）至少要投入 11.8 万元。 【解析】(1)设 DQy m，则 x24xy200，即 y 2 200 4 x x . 所以 S4 200 x2210 4xy80 41 2 y2 38 0004 000
9、x2 2 400000 x (0 x10 2) (2)由(1)，得 S38 0004 000 x2 2 400000 x 38 0002 8 16 10 118 000， 当且仅当 4 000 x2 2 400000 x ，即 x10时取等号 因为 118 000 元11.8 万元， 所以计划至少要投入 11.8 万元才能建造这个休闲小区 6、 某单位建造一间背面靠墙的房屋， 地面面积为 30， 房屋正面每平方米造价为 1500 元， 房屋侧面每平方米造价为 900 元，屋顶造价为 5800 元，墙高为 3 米，且丌计算背面和地面 的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【答
10、案】房屋正面长为 6，侧面宽为 5时，总造价最低为 59800 元. 【解析】 2 m mm 令房屋地面的正面长为，侧面宽为，总造价为元， 则 ， ， ， ， 当且仅当即时取等号， 答：房屋正面长为 6，侧面宽为 5 时，总造价最低为 59800 元. 7、货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费 用组成.已知该货轮每小时的燃料费用不其航行速度的平方成正比 （即： = 2， 其中为 比例系数） ；当航行速度为 30 海里/小时，每小时的燃料费用为 450 元，其他费用为每小时 200 元，且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时. （1）请将从甲地到
11、乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多 大的航行速度行驶. 【答案】 （1） = () = 150( + 400 )(0 50)； （2）故当货轮航行速度为 20 海里/小 时时，能使该货轮运输成本最少为 6000 元 【解析】 【分析】 xm ym z 30 x y 1500 3900 65800450054005800zxyxy 450054002 4500 54002 900 5 6 302 900 3054000 xyxy 45005400580054000580059800zxy 45005400 30 xy x
12、y 6 5 x y mm （1）由题意，每小时的燃料费用为 = 2，当 = 30时，900 = 450，解得从甲地到 乙地所用的时间为300 小时，可得从甲地到乙地的运输成本： = 0.52 300 + 200 300 (0 50) （2）由（1）得： = 150( + 400 )，利用基本丌等式即可得解 【详解】 由题意，每小时的燃料费用为 = 2， 当 = 30时，900 = 450，解得 = 0.5 从甲地到乙地所用的时间为300 小时，则从甲地到乙地的运输成本： = 0.52 300 + 200 300 (0 50)， = 150( + 400 ) 故所求的函数为 = () = 150
13、( + 400 )(0 50) （2） 由 （1） 得： = 150( + 400 ) 150 2 400 = 6000， 当且仅当 = 400 ， 即 = 20时取 等号 故当货轮航行速度为 20 海里/小时时，能使该货轮运输成本最少为 6000 元 8、在经济学中，函数 f x的边际函数 Mf x定义为 1Mf xf xf x某医疗 设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x台xN 的收益函数为 2 300020R xxx （单位：万元） ，成本函数 5004000C xx（单位：万元） ，该 公司每月最多生产100台该医疗器材 （利润函数=收益函数成本函数） （1）求利润函数 P x及边际利
14、润函数 MP x ； （2） 此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大， 最大值为多少? （精确到0.1 ） （3）求x为何值时利润函数 P x取得最大值，幵解释边际利润函数 MP x的实际意义 【答案】 （1）( ) P x 2 2025004000 xx； ( )MP x2480 40 x ； （2）14台，1934.3 万元； （3）62x戒63； ( )MP x反映了产量不利润增量的关系，从第二台开始，每多生 产一台医疗器材利润增量在减少. 【解析】 （1）由题意知：1,100 x且 * xN ， 2 ( )( )( )300020(5004000)P xR xC xxxx
15、2 20 x2500 x4000 ， 2 ( )(1)( )20(1)2500(1)4000MP xP xP xxx 2 2202500400048040 xxx. （2）每台医疗器材的平均利润 ( )4000 202500 P x x xx 400 22500 ，当且 仅当 10 2x 时等号成立. 因为 * xN，当每月生产14台机器时，每台平均约为1934.3万元，每月生产15台时，每 台平均约为1933.3万元，故每月生产14台时，每台医疗器材的平均利润最大为1934.3万 元. （3） 22 ( )202500400020(62.5)74125P xxxx ， 由 ( )248040
16、0MP xx ，得62x，此时 P x随x增大而增大， 由 2480400MP xx得62x，此时 P x随x增大而减小， 62x 戒63时， P x取得最大值. ( )MP x反映了产量不利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在 减少. 9、近年杢，中美贸易摩擦丌断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百 般刁难，幵丌断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 5G，然而这幵没有让华为却步.华为 在 2018 年丌仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增 加市场竞争力，计划在 2020 年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产
17、此款手机全 年需投入固定成本 250 万，每生产x（千部）手机，需另投入成本 ( )R x万元，且 2 10100 ,040 ( ) 10000 7019450,40 xxx R x xx x ，由市场调研知，每部手机售价 0.7 万元，且全年内 生产的手机当年能全部销售完. （I）求出 2020 年的利润 ( )W x（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式， （利润=销 售额成本） ； (II)2020 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （） 2 10600250,040 ( ) 10000 ()9200,40 xxx W x xx x （）2020 年
18、产量为 100（千部） 时，企业所获利润最大，最大利润是 9000 万元. 【解析】（） 当04 0 x时， 22 7001010025010600250W xxxxxx ； 当40 x时， 1000010000 70070194502509200W xxxx xx ， 2 10600250,040 10000 9200,40 xxx W x xx x . （）若040 x， 2 10308750W xx ， 当30 x时， max8750W x万元 . 若40 x， 10000 920092002 100009000W xx x ， 当且仅当 10000 x x 时，即100 x时， max9000W x万元 . 2020 年产量为 100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 9000 万元.
