1、2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的概念及其线性运算【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)给出下列命题,正确的命题为()A.向量AB的长度与向量BA的长度相等B.若a=b,则a与b的方向相同或相反C.|a|+|b|=|a-b|a与b方向相反D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同2.(5分)(多选题)(2023郑州模拟)设a是非零向量,是非零实数,下列结论中不正确的是()A.a与2a的方向相同B.a与-a的方向相反C.a=aD.-a=-a3.(5分)(2023汕头模拟)在ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,则
2、AD=()A.23a+13bB.13a+23bC.13a-23bD.23a-13b4.(5分)(2023盐城模拟)在平行四边形ABCD中,E是线段BD的中点,若AB=mAD+nEC,则m+n的值为()A.-1B.0C.1D.25.(5分)在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,且|AB+AD|=|AB-AD|,则()A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形6.(5分)(多选题)(2023哈尔滨模拟)在ABC中,D为BC中点,AG=2GD,则下列等式中一定成立的是()A.AB+AC=2ADB.AG=13AB+13ACC.SABC=3
3、SGBCD.AG=13AB+23AC7.(5分)(2023浦东模拟)设a,b是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为.8.(5分)(2023菏泽模拟)已知a,b是两个不共线的向量,b-ta与12a-32b共线,则实数t=.9.(5分)在锐角ABC中,CM=3MB,AM=xAB+yAC(x,yR),则xy=.10.(10分)设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb反向共线.【能力提升练】11.(10分)(2023沧州模拟)
4、如图,在ABC中,点D为BC的中点,点E在线段AB上,AD与CE交于点O.(1)若AO=2OD,求证:OA+OB+OC=0;(2)若AE=2EB,AO=AD,求实数的值.12.(5分)如图所示,在正方形ABCD中,点E为BC的中点,点F为CD上靠近点C的四等分点,点G为AE上靠近点A的三等分点,则向量FG用AB与AD表示为.13.(5分)如图,点G为ABC的重心,过点G的直线分别交直线AB,AC于D,E两点,AB=3mAD(m0),AC=3nAE(n0),则m+n=;1m+1n的最小值为.14.(10分)(2023钦州模拟)如图,在ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE与AD相交于点M.(
5、1)用AB,AC表示AD,BE;(2)若AM=mAB+nAC,求m+n的值.2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的概念及其线性运算【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)给出下列命题,正确的命题为()A.向量AB的长度与向量BA的长度相等B.若a=b,则a与b的方向相同或相反C.|a|+|b|=|a-b|a与b方向相反D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同【解析】选A.对于A,向量AB与向量BA的长度相等,方向相反,命题成立;对于B,当两向量相等时,方向相同,不成立;对于C,当a,b之一为零向量时,不成立;对于D,当a+b
6、=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同.2.(5分)(多选题)(2023郑州模拟)设a是非零向量,是非零实数,下列结论中不正确的是()A.a与2a的方向相同B.a与-a的方向相反C.a=aD.-a=-a【解析】选BCD.因为20,所以a与2a的方向相同,故A选项正确;当0时,a与-a的方向相同,故B选项错误;当0时,a0时,-a0,故D选项错误.3.(5分)(2023汕头模拟)在ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,则AD=()A.23a+13bB.13a+23bC.13a-23bD.23a-13b【解析】选A.AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-
7、AB)=23AB+13AC=23a+13b. 4.(5分)(2023盐城模拟)在平行四边形ABCD中,E是线段BD的中点,若AB=mAD+nEC,则m+n的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.由AB=AD+DB=AD+DC+CB=AD+DA+AC+DA=2EC-AD,所以m=-1,n=2,则m+n=1.5.(5分)在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,且|AB+AD|=|AB-AD|,则()A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形【解析】选A.因为AC=AB+AD,所以四边形ABCD为平行四边形,又|AB+AD|=|
8、AB-AD|,所以|AC|=|DB|,即对角线相等,所以四边形ABCD为矩形.6.(5分)(多选题)(2023哈尔滨模拟)在ABC中,D为BC中点,AG=2GD,则下列等式中一定成立的是()A.AB+AC=2ADB.AG=13AB+13ACC.SABC=3SGBCD.AG=13AB+23AC【解析】选ABC.对于A,由D为BC的中点,则AB+AC=2AD,故A正确;对于B,D,由AG=2GD,则AG=23AD=23(12AB+12AC)=13AB+13AC,故B正确,D错误;对于C,如图,AFBC,GEBC,由AG=2GD,则ADGD=31,由AFBC,GEBC,则AFDGED,即AFGE=A
9、DGD=31,SABCSGBC=12AFBC12GEBC=31,故C正确.7.(5分)(2023浦东模拟)设a,b是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为.【解析】由题意BD=BC+CD=2a-b,因为A,B,D三点共线,所以AB,BD共线,所以存在实数,使得2a+pb=(2a-b),所以2=2,p=-,所以=1,p=-1.答案:-18.(5分)(2023菏泽模拟)已知a,b是两个不共线的向量,b-ta与12a-32b共线,则实数t=.【解析】因为b-ta与12a-32b共线,所以b-ta=(12a-32b),b-ta=2a-32b
10、,又a,b是两个不共线的向量,所以-t=21=-32,解得t=13.答案:139.(5分)在锐角ABC中,CM=3MB,AM=xAB+yAC(x,yR),则xy=.【解析】由题设可得CA+AM=3(AB-AM),即4AM=3AB+AC,即AM=34AB+14AC.又AM=xAB+yAC,则x=34,y=14.故xy=3.答案:310.(10分)设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;【解析】(1)因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b
11、=5(a+b)=5AB,所以AB,BD共线,又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb反向共线.【解析】(2)因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数(0),使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb,所以(k-)a=(k-1)b.因为a,b是不共线的两个非零向量,所以k-=0k-1=0,所以k2-1=0,所以k=1,因为0),AC=3nAE(n0),则m+n=;1m+1n的最小值为.【解题指南】利用重心的性质以及平面的线性运算可知AG=mAD+nAE,设DG=GE,由D,G,E三点共线可知AG=1+1AD+1AE,故可知m+n=1,利用1的
12、妙用以及基本不等式求出1m+1n的最小值.【解析】由重心的性质可知AG=2312(AB+AC)=13(3mAD+3nAE)=mAD+nAE(m0,n0),设DG=GE,由已知得AG=AD+DG,AG=AE+EG,两式相加得2AG=AD+AE+(1-1)DG =AD+AE+(1-1)(AG-AD),整理得AG=1+1AD+1AE,所以m=1+1,n=+1,则m+n=1+1+1=1,1m+1n=(1m+1n)(m+n)=2+nm+mn2+2nmmn=4,当且仅当nm=mn,即m=n=12时等号成立.答案:1414.(10分)(2023钦州模拟)如图,在ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE与A
13、D相交于点M.(1)用AB,AC表示AD,BE;【解析】(1)因为BC=4BD,所以BD=14BC=14(AC-AB)=14AC-14AB,所以AD=AB+BD=AB+14AC-14AB=34AB+14AC.因为AC=3CE,所以AE=23AC,所以BE=AE-AB=23AC-AB.(2)若AM=mAB+nAC,求m+n的值.【解析】(2)因为A,M,D三点共线,所以AM=AD=34AB+4AC.因为AM=mAB+nAC,所以m=34n=4,即m=3n.因为B,M,E三点共线,所以AM=kAB+(1-k)AE=kAB+2(1-k)3AC.因为AM=mAB+nAC,所以m=kn=2(1-k)3.因为m=3n,所以k=323(1-k),解得k=23,从而m=23,n=29,故m+n=89.
