1、2.1 2.1 平方根平方根第二章第二章 实数实数知识点知识点平方根及其性质平方根及其性质感悟新知感悟新知11.平方根的定义：如果有一个数平方根的定义：如果有一个数r，使得，使得r2=a，那么，那么r 叫作叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根的一个平方根，也叫作二次方根.这就是说，若这就是说，若r2=a，则则r 是是a 的一个平方根的一个平方根.表示方法：正数表示方法：正数a 的平方根记作的平方根记作 a，读作，读作“正、负根正、负根号号a”.知知1 1练练感悟新知感悟新知2.平方根的性质平方根的性质：(1)正数正数有两个平方根，且它们互为相反数；有两个平方根，且它们互为相反数；(2)0 的平
2、方根就是的平方根就是0 本身；本身；(3)负数负数没有平方根没有平方根.3.开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.这个非这个非负数叫作被开方数负数叫作被开方数.知知1 1练练特别解读特别解读1.平方根的定义中平方根的定义中a是非是非负数，即负数，即a0.2.平方平方与开平方是与开平方是互逆运算互逆运算，平方的结果，平方的结果叫做叫做幂，幂，而开平方的而开平方的结果叫做结果叫做平方根平方根.3.一般地，如果一般地，如果r是是正数正数a的一个平方根的一个平方根，那么，那么a的平方根有的平方根有且只有且只有两个：两个：r与与-r.知知1 1练练
3、感悟新知感悟新知例1解题秘方：解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的先根据平方运算找出平方等于这个数的数，数，然后然后根据平方根和算术平方根的定义确定根据平方根和算术平方根的定义确定.题型题型1 利用平方根的定义求一个正数的平方根利用平方根的定义求一个正数的平方根知知1 1练练感悟新知感悟新知带分数要先化成假分数，带分数要先化成假分数，再求平方根再求平方根.知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练知知1 1练练感悟新知感悟新知例2题型题型2 利用平方根的定义解方程利用平方根的定义解方程知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知方法点拨方
4、法点拨利用平方根的定义利用平方根的定义解方程解方程的一般步骤的一般步骤：1.移项，使含未知数移项，使含未知数的项在的项在等号的一边，等号的一边，常数常数项在项在等号的另一边等号的另一边；2.系数化为系数化为1，将，将方程化为方程化为“x2=a”的形式；的形式；3.根据平方根的性质根据平方根的性质求出求出未知数未知数x的的值值.知知1 1练练感悟新知感悟新知(1)若若a+1 和和a+3 是正数是正数m 的平方根，求的平方根，求m 的值；的值；(2)已知已知2a+3 的平方根是的平方根是3，5a+2b-1 的平方根是的平方根是4，求求3a+2b 的平方根的平方根.解题秘方解题秘方：根据平方根的性质
5、列方程（组）求解根据平方根的性质列方程（组）求解.例 3题型题型3 利用平方根的性质求字母的值利用平方根的性质求字母的值知知1 1练练解：解：(1)因为因为a+1 和和a+3 是正数是正数m 的平方根，且的平方根，且a+1 a+3,所以所以a+1+a+3=0，解得，解得a=-2.所以所以a+1=-1，a+3=1.因为因为1 和和-1 是是1 的平方根，所以的平方根，所以m=1.知知1 1练练知知1 1练练解法解法提醒提醒一个正数的一个正数的平方根平方根有两个，这两个有两个，这两个平方根平方根互互为相反数为相反数.知知1 1练练知识点知识点算术平方根及其性质算术平方根及其性质感悟新知感悟新知2知
6、知2 2练练感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒求一个正数的算术求一个正数的算术平方根平方根与求一个正数与求一个正数的平方的平方刚刚好是互逆的好是互逆的两个两个运算运算；任何任何一个数的平方一个数的平方都是非都是非负数，所以求负数，所以求算术算术平方平方根时，根时，被开方数被开方数必须是非负数，必须是非负数，算术算术平方根也一定平方根也一定是非负数是非负数.知知2 2练练感悟新知感悟新知2.性质性质：(1)正数正数的算术平方根是一个正数；的算术平方根是一个正数；(2)0 的算术平方根是的算术平方根是0；(3)负数负数没有算术平方根；没有算术平方根；(4)被开方数被开方数越大，对应的算术平方根也越大
7、越大，对应的算术平方根也越大.知知2 2练练感悟新知感悟新知3.平方根与算术平方根的区别与联系：平方根与算术平方根的区别与联系：平方根平方根算术平方根算术平方根区区别别定义不定义不同同如果有一个数如果有一个数r，使得，使得r2=a，那么，那么r 叫作叫作a 的一的一个平方根，也叫作二次个平方根，也叫作二次方根方根正数正数a 的正平方根的正平方根叫叫作作a 的算术平方根的算术平方根个数个数不同不同一个正数的平方根有两一个正数的平方根有两个，它们互为相反数个，它们互为相反数一个正数的算术平一个正数的算术平方根只有一个方根只有一个感悟新知感悟新知平方根平方根算术平方根算术平方根区区别别表示方表示方法
8、不同法不同取值范取值范围不同围不同正数的平方根是一正正数的平方根是一正一负一负正数的算术平方根一正数的算术平方根一定是正数定是正数知知2 2练练感悟新知感悟新知平方根平方根算术平方根算术平方根联联系系具有包具有包含关系含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个平方根中正的那个(0 除外除外)存在条存在条件相同件相同只有非负数才有平方根和算术平方根，只有非负数才有平方根和算术平方根，0 的平方根与算术平方根都是的平方根与算术平方根都是0知知2 2练练感悟新知感悟新知a(a 0)，a(a 0).知知2 2练练感悟新知感悟新知区区别别运算运算顺序顺序先
9、开方再先开方再求平方求平方先求平方再先求平方再开方开方a 的取的取值围值围a 0全体数全体数联系联系知知2 2练练感悟新知感悟新知例 4解题秘方解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的非先根据平方运算找出平方等于这个数的非负数负数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根.考向：考向：利用算术平方根的定义及性质解决问题利用算术平方根的定义及性质解决问题题型题型1 求一个数的算术平方根求一个数的算术平方根知知2 2练练知识知识储备储备1.求带分数的算术求带分数的算术平方根平方根时，先将时，先将带分数带分数化成假分数，化成假分数，再求再求算术平方根算术平方
10、根.2.求一个数的算术求一个数的算术平方根平方根必须明确两点：必须明确两点：(1)这这个数是非负数；个数是非负数；(2)求出的算术求出的算术平方根（平方根（结果）必须是非负数结果）必须是非负数.知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知(6)0 的算术平方根是的算术平方根是0，即，即0=0.不要误认为是求不要误认为是求81 的的算术算术平方根平方根.知知2 2练练知知2 2练练方法方法点拨点拨本题运用了本题运用了定义法定义法.首先根据算术首先根据算术平方根平方根的定义求的定义求出出m，n的值的值，再求出，再求出m-n 的值的值，最后，最后根据算术
11、根据算术平方根平方根的的定义得出结果定义得出结果.知知2 2练练感悟新知感悟新知已知已知m-3 的算术平方根是的算术平方根是3，n+1=2，求，求m-n 的算术的算术平方根平方根.解题秘方解题秘方：根据已知条件求出根据已知条件求出m，n 的值，然后的值，然后求求m-n 的算术的算术平方根平方根.例 5题型题型2 已知一个数的算术平方根求这个数已知一个数的算术平方根求这个数知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：首先观察式子的结构特点，弄清式子所表首先观察式子的结构特点，弄清式子所表示示的意义的意义，即要明确是求算术平方根还是求平方根，即要明确是求算术平方根
12、还是求平方根，然后根据然后根据算术算术平方根或平方根的定义求解平方根或平方根的定义求解.例 6题型题型3 利用平方根或算术平方根的定义求值利用平方根或算术平方根的定义求值知知2 2练练知知2 2练练知知2 2练练412-402 是一个整体，是一个整体，首先要首先要将将412-402 化简，化简，再去计算化简再去计算化简后结果后结果的算术平方根的算术平方根.知知2 2练练知识点知识点无理数无理数感悟新知感悟新知31.定义：若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一定义：若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数不循环小数，则把这个数叫作无理数.判断标准
13、：小数位数无限，小数部分的数字不循环判断标准：小数位数无限，小数部分的数字不循环.知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练知知3 3练练3.无理数与有理数的区别无理数与有理数的区别(1)有理数有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是是有限小数或无限循环小数，而无理数是无无限不限不循环小数；循环小数；(2)所有所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看看成是成是分母为分母为1 的分数），而无理数不能写成分数的形式的分数），而无理数不能写成分数的形式.知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：根据根据无理数的定义进行辨析无理数的定义进行辨析.例7
14、考向：考向：利用无理数的定义识别无理数利用无理数的定义识别无理数知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知由于由于0.1 2 1 2 2 1 2 2 2 1（相邻两个（相邻两个1 之间之间2 的个数的个数逐次逐次加加1）是无限不循环小数，）是无限不循环小数，因此因此0.1 2 1 2 2 1 2 2 2 1（相邻两个（相邻两个1 之间之间2 的个数的个数逐次逐次加加1）是无理数）是无理数.因此无理数有因此无理数有3 个个.答案：答案：3知知3 3练练知识点知识点算术平方根的估算算术平方根的估算感悟新知感悟新知41.求一个求一个正数正数(非非平方平方数数)的的算术平方根的近似值
15、，一般算术平方根的近似值，一般采采用夹用夹逼法逼法.“夹夹”就是从两边确定取值范围；就是从两边确定取值范围；“逼逼”就是一点一点就是一点一点加强加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度确程度.知知4 4练练感悟新知感悟新知2.大多数计算器都大多数计算器都有有 键键，用它可以求出一个正有理数，用它可以求出一个正有理数的算术的算术平方根平方根(或或其其近似值近似值).按键顺序：先按键顺序：先按按 键键，再输入被开方数，最后再输入被开方数，最后按按 键键.计算器上就会显示这计算器上就会显示这个数的算术个数的算术平方根平方根(或或其其近似值近似
16、值).知知4 4练练感悟新知感悟新知特别解读特别解读计算器计算器显示屏显示屏显示显示的数值中，许多的数值中，许多都是都是近似值近似值.知知4 4练练感悟新知感悟新知例 8解题秘方解题秘方：找出与找出与2 0 2 6 接近的两个平方数，从而接近的两个平方数，从而确定确定2 0 2 6 的算术平方根的取值范围的算术平方根的取值范围.考向：考向：利用估算解决算术平方根利用估算解决算术平方根问题问题题型题型1 利用估算法求算术平方根的取值范围利用估算法求算术平方根的取值范围知知4 4练练感悟新知感悟新知答案：答案：D知知4 4练练教你一招教你一招确定确定a 的整数部分的方法：的整数部分的方法：根据根据
17、算术算术平方根的平方根的定义，有定义，有m2an2,其中其中m，n是是连续的连续的非负整数非负整数，则，则m a n，则则a 的整数部分为的整数部分为m.知知4 4练练感悟新知感悟新知例 9题型题型2 利用计算器探究算术平方根的规律利用计算器探究算术平方根的规律解题秘方解题秘方：可利用计算器求出各个算术平方根，对可利用计算器求出各个算术平方根，对照照根号内根号内的数和算术平方根寻找小数点移动的规律的数和算术平方根寻找小数点移动的规律.知知4 4练练感悟新知感悟新知知知4 4练练解解：利用计算器探究发现：根号内的数的小数点每利用计算器探究发现：根号内的数的小数点每向左（向左（或向右）移动两位，其算术平方根的小数点或向右）移动两位，其算术平方根的小数点就相应地向左（就相应地向左（或向右或向右）移动一位）移动一位.答案答案：(1)0.2 6 7 6；2 6.7 6 (2)0.8 4 6 2；8 4.6 2课堂小结课堂小结平方根平方根平方根平方根算术算术平平方根方根性质性质正数有两个互为正数有两个互为相反相反数的平方根数的平方根0 的平方根是的平方根是0负数没有平方根负数没有平方根
