1、5.1 5.1 轴对称轴对称第第五五章章 轴对称轴对称与旋转与旋转知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点知识点轴对称图形及其相关概念轴对称图形及其相关概念11.如果如果将一个图形将一个图形沿着一条直线对折沿着一条直线对折，直线两侧的部，直线两侧的部分分能够能够互相重合互相重合，那么这个图形就是一个轴对称图，那么这个图形就是一个轴对称图形，这形，这条直线条直线就是它的一条对称轴就是它的一条对称轴.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别解读特别解读轴对称图形的三个条件：轴对称图形的三个条件：1.一个整体图形；一个整体图形；2.一条直线：对称轴；一条直线：对称轴；3.直线两旁的部分直线两旁的部分完全重合完
2、全重合.感悟新知感悟新知2.对称轴、轴对称图形对称轴、轴对称图形将图形（将图形（）沿着一条直线折叠，得到另一个图形（）沿着一条直线折叠，得到另一个图形（），），我们把图形的这种变换称为关于这条直线的轴对称，此时我们把图形的这种变换称为关于这条直线的轴对称，此时称这两个图形关于这条直线对称，也称图形（称这两个图形关于这条直线对称，也称图形（）与（）与（）成轴对称，这条直线叫作对称轴成轴对称，这条直线叫作对称轴.原来的图形（原来的图形（）叫作原像，得到的图形（）叫作原像，得到的图形（）叫作原图）叫作原图形形在这个轴对称下的像在这个轴对称下的像.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知原原像的一个点像的一个点
3、P 在轴对称下变成像里的一个点在轴对称下变成像里的一个点P，称点，称点P与与点点P关于这条直线对称，称点关于这条直线对称，称点P是点是点P 关于这条关于这条直线的直线的对称点，也称点对称点，也称点P是点是点P 在这个轴对称下的对应点在这个轴对称下的对应点.如果如果一个图形上的每一个点关于某条直线的对称点都一个图形上的每一个点关于某条直线的对称点都在这个在这个图形上，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线图形上，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作叫作这个图形的对称轴这个图形的对称轴.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知知1 1讲讲温馨提示温馨提示1.轴对称图形是一轴对称图形是一个图形个图形自身的
4、特性自身的特性，它被它被对称轴对称轴分成的分成的两部分两部分能够互相重合能够互相重合，其，其对应点在同一对应点在同一图图形形上上.2.对称轴是一条直线对称轴是一条直线，而，而不是射线或线段不是射线或线段.3.一个轴对称图形一个轴对称图形的对称轴的对称轴可以有可以有1条条，也，也可以有多可以有多条，还条，还可以可以有无数条有无数条.感悟新知感悟新知3.几种常见的轴对称图形及对称轴：几种常见的轴对称图形及对称轴：知知1 1讲讲名称名称 图形及其对图形及其对称轴称轴对称轴对称轴的条数的条数对称轴对称轴角角1条条角平分线所在的直线角平分线所在的直线等腰三等腰三角形角形1条条底边上的高（底边上的底边上的
5、高（底边上的中线或顶角的平分线）中线或顶角的平分线）所在的直线所在的直线感悟新知感悟新知知知1 1讲讲名称名称 图形及其对图形及其对称轴称轴对称轴对称轴的条数的条数对称轴对称轴等边三等边三角形角形3条条各边上的高（各边上的各边上的高（各边上的中线或各内角平分线）中线或各内角平分线）所在的直线所在的直线等腰梯等腰梯形形1条条过上、下底中点的直线过上、下底中点的直线感悟新知感悟新知知知1 1讲讲名称名称 图形及其对图形及其对称轴称轴对称轴对称轴的条数的条数对称轴对称轴长方形长方形2条条对边中点的连线所在的对边中点的连线所在的直线直线正方形正方形4条条对角线所在的直线；对角线所在的直线；过对边中点的
6、直线过对边中点的直线圆圆无数条无数条过圆心的直线过圆心的直线知知1 1练练感悟新知感悟新知中考中考重庆重庆 下列标点符号（如图下列标点符号（如图5.1-1）中，）中，是是轴对称轴对称图形的是（图形的是（）例1考向：考向：利用轴对称图形及其相关概念解决问题利用轴对称图形及其相关概念解决问题知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：根据根据轴对称图形的定义进行判断，关轴对称图形的定义进行判断，关键是键是找到一找到一条直线，使得直线两侧的条直线，使得直线两侧的部分能够完全重合部分能够完全重合.知知1 1练练感悟新知感悟新知解：根据轴对称图形的定义可知，感叹号是轴对称解：根据轴对称图形的定义可知
7、，感叹号是轴对称图形图形，逗号，逗号、分号、问号不是轴对称图形、分号、问号不是轴对称图形.答案答案：A知知1 1练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨判断轴对称图形的方法：判断轴对称图形的方法：根据图形的特征根据图形的特征，如果，如果能找到一条直线能找到一条直线，沿着，沿着这条直这条直线对折，线对折，直线直线 两两 边边 的的 部部 分分 能能 够够 重合重合，即可确定这个，即可确定这个图图形是形是轴对称图形，否则轴对称图形，否则就不是就不是轴对称图形轴对称图形.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点轴对称轴对称21.定义：如果一个图形关于某一条直线作折叠后，能定义：如果一个图形关于某一条直
8、线作折叠后，能够与够与另一另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称条直线对称，也，也称这两个图形成轴对称称这两个图形成轴对称.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知识别轴对称的识别轴对称的方法：方法：定义定义法法：紧扣：紧扣定义定义中的中的“两个图形两个图形，一，一条直线，条直线，完全重合完全重合.”反面反面观察法观察法：从纸从纸的反面观察图形的反面观察图形，若，若观察到的观察到的和正面和正面一样一样，就成轴对称，就成轴对称.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.轴对称与轴对称图形的区别与联系：轴对称与轴对称图形的区别与联系：名称名称 轴对称轴对称 轴对称图形
9、轴对称图形区别区别对象不同对象不同 两个图形两个图形 一个图形一个图形意义不同意义不同 两个图形两个图形的特殊位的特殊位置关系置关系 一个具有特一个具有特殊形状殊形状的图的图形形对应点位对应点位置不同置不同 对应点分对应点分别在两个别在两个图形上图形上 对应点在同对应点在同 一个一个图形上图形上知知2 2讲讲感悟新知感悟新知名称名称 轴对称轴对称 轴对称图形轴对称图形区别区别对称轴位对称轴位置不同置不同两个图形成轴对两个图形成轴对称，其称，其对称轴对称轴可可能在两个图形的能在两个图形的外部外部，也，也可能经可能经过两个图形的过两个图形的内内部或部或它们的公共它们的公共边边(点点)轴对称图形轴对
10、称图形的的对称轴对称轴一一定经过定经过这个这个图形的内部图形的内部对称轴数对称轴数量不同量不同 只有一条只有一条 有一条或多有一条或多条条或无数或无数条条知知2 2讲讲感悟新知感悟新知联系联系(1)定义定义中都有一条直线，都要沿着这条中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠直线折叠.(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个它就是一个轴对称图形轴对称图形，把一个轴对称图，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两形沿对称轴分成两个图形，这两个图形个图形成成轴对称轴对称感悟新知感悟新知知知2 2练练利用下列图案（如图利用下列图案（如图5.1-2）中的中的对称
11、点，画出对称点，画出图案的对称轴图案的对称轴.例2 考向：考向：利用成轴对称图形及其相关概念解决问题利用成轴对称图形及其相关概念解决问题题型题型1 对称轴的定义在作成轴对称图形的对称轴中的应用对称轴的定义在作成轴对称图形的对称轴中的应用感悟新知感悟新知知知2 2练练解：如图解：如图5.1-2 .解题秘方：先从图上找出两个对称点，连接，解题秘方：先从图上找出两个对称点，连接，作垂直作垂直平分对应平分对应点连线的直线就是对称轴点连线的直线就是对称轴.知知2 2练练感悟新知感悟新知特别解读特别解读轴对称的三个条件轴对称的三个条件：1.有两个图形；有两个图形；2.存在一条直线；存在一条直线；3.一个图
12、形沿着这一个图形沿着这条直线条直线折叠后与另折叠后与另一个一个图形重合图形重合.轴对称的一个特性轴对称的一个特性：成：成轴对称的两轴对称的两个图形个图形可以完全重合，可以完全重合，但可以但可以完全重合的两个完全重合的两个图形图形不一定成轴对称不一定成轴对称.感悟新知感悟新知知知2 2练练如图如图 5.13 的四组图形中，成轴对称的有的四组图形中，成轴对称的有()A.4 组组 B.3 组组 C.2 组组 D.1 组组例3 题型题型2 利用轴对称的定义识别轴对称利用轴对称的定义识别轴对称知知2 2练练感悟新知感悟新知答案答案：D解题秘方解题秘方：根据轴对称的定义识别根据轴对称的定义识别.解解：根据
13、轴对称的定义，可以判断只有中的两个：根据轴对称的定义，可以判断只有中的两个图形图形沿着沿着某一条直线对折后，两个图形能够重合，某一条直线对折后，两个图形能够重合，所以成轴对称所以成轴对称的只有的只有 1 组组.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点轴对称的性质轴对称的性质31.轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连对应点的连线被对称轴垂直平分线被对称轴垂直平分.因此，若两个图形关于一条直线对称，因此，若两个图形关于一条直线对称，则其中一个图形上的任意一个点则其中一个图形上的任意一个点P 与另一个图形上的对应与另一个图形上的对应点点P的连线
14、段的连线段PP被这条直线垂直平分，反过来，若两个图被这条直线垂直平分，反过来，若两个图形的任意一组对应点的连线段都被同一条直线垂直平分，形的任意一组对应点的连线段都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称则这两个图形关于这条直线对称.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲特别特别地，地，若点若点P 与点与点P关于一条直线对称，则关于一条直线对称，则线段线段PP被这条直线垂直平分被这条直线垂直平分.反过来，若线段反过来，若线段PP被一条直线垂直平分，被一条直线垂直平分，则点则点P 与点与点P关于这关于这条直线对称条直线对称.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.在图在图5.1-4 中，将中，将 A
15、BC 沿直线沿直线l 折叠，折叠，在这个轴对称在这个轴对称下，下，点点A 的对应点是点的对应点是点A，点，点B 的对应点是点的对应点是点B，点，点C 的的对应点是点对应点是点C.通过比较可以发现：通过比较可以发现：AB=AB，BC=BC，ABC=ABC.从这个例子以及大量的实践经验可以得出：从这个例子以及大量的实践经验可以得出：轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读1.轴对称图形或成轴对称图形或成轴对称轴对称的两个图形的的两个图形的对应线段对应线段、对、对应角相等；应角相等；2.成轴对称的两个
16、成轴对称的两个图形图形的对应线段的对应线段所在直线所在直线平行或者平行或者重合或者重合或者相交于某一点相交于某一点，且，且该点一定在该点一定在对称轴对称轴上上.知知3 3练练感悟新知感悟新知如图如图 5.1 5，画出下列图形关于直线画出下列图形关于直线 l 对称的图形对称的图形.例4考向：考向：利用轴对称和轴对称图形的性质解决问题利用轴对称和轴对称图形的性质解决问题题型题型1 轴对称的性质在画成轴对称的图形中的应用轴对称的性质在画成轴对称的图形中的应用知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：找全确定已知图形形状的特殊点，画找全确定已知图形形状的特殊点，画出这些出这些特殊特殊点关于直线点
17、关于直线 l 的对应点，的对应点，然后按原图顺序连接所画的对应点然后按原图顺序连接所画的对应点.解解：如图：如图 5.1 6.知知3 3练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨找特殊点的方法找特殊点的方法：规则图形的特殊规则图形的特殊点是点是图形的顶点，图形的顶点，不规则不规则图形的特殊点图形的特殊点是线是线与线的交点与线的交点.作对应点的方法作对应点的方法：过这个点作过这个点作对称轴的对称轴的垂线，并延长垂线，并延长一倍一倍，就得到该点的，就得到该点的对应对应点点.知知3 3练练感悟新知感悟新知如图如图 5.17 是轴对称图形，图中直线是轴对称图形，图中直线 l 是它的是它的对对称轴称轴.请据此
18、解决下列问题请据此解决下列问题例5题型题型2 轴对称图形的性质在判断相关关系中的应用轴对称图形的性质在判断相关关系中的应用知知3 3练练感悟新知感悟新知(1)3 和和 4 有什么关系？有什么关系？AB 与与 A B呢？为什么？呢？为什么？(2)DD与直线与直线 l 有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？(3)写出写出图中其他相等关系图中其他相等关系(不不少于三少于三对对)解题秘方解题秘方：紧扣轴对称图形的性质进行解答紧扣轴对称图形的性质进行解答.知知3 3练练感悟新知感悟新知解：解：(1)3=4，AB=A B 因为轴对称图形因为轴对称图形被被对称轴对称轴分成的两部分可以完全重合，由此得到对分
19、成的两部分可以完全重合，由此得到对应角、对应边相等应角、对应边相等.(2)直线直线 l 垂直平分垂直平分 DD，因为在轴对称图形中，因为在轴对称图形中，任任何一对何一对对应点所连线段都被对称轴垂直平分对应点所连线段都被对称轴垂直平分(3)AD=A D，1=2，DC=D C (答案答案不不唯一唯一)知知3 3练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒轴对称图形和轴对称图形和轴对称的轴对称的性质中关键有两点性质中关键有两点：一是一是对应图形对应图形可以可以完全重合，由此可完全重合，由此可得到得到对应的边、对应的边、角相等；角相等；二是二是对称轴的对称轴的垂直垂直平分性平分性.揭示揭示对称轴与对称轴与对应
20、点所连线对应点所连线段段之间之间的位置关系的位置关系.知知3 3练练感悟新知感悟新知如图如图5.1-8，ABC 和和 DEF 关于直线关于直线l 对称，对称，已已知知 A=115，E=42，DF=8求求 F 的度数和的度数和AC 的长的长例4 题型题型3 轴对称的性质在计算中的应用轴对称的性质在计算中的应用知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：紧扣轴对称的性质确定对应元素进行紧扣轴对称的性质确定对应元素进行计算计算.解：因为解：因为 ABC 和和 DEF 关于直线关于直线l 对称，对称，所以所以 D=A，AC=DF.因为因为 A=115，DF=8，所以，所以 D=115，AC=8.在
21、在 DEF 中，因为中，因为 D=1 1 5 ，E=4 2 ，所以所以 F=1 8 0 -D-E=2 3 知知3 3练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒利用轴对称的性质求利用轴对称的性质求线段线段的长度或角的度数的长度或角的度数的方法的方法：先根据轴对称的先根据轴对称的特征特征确定两个图形的确定两个图形的对应边对应边、对应角，、对应角，再运用再运用轴对称轴对称的的性质性质(对应对应边边相等相等，对应角，对应角相等相等)，把要求，把要求的边或角与已知的边或角与已知的对应的对应边或对应角建立边或对应角建立联系联系，从而求出待，从而求出待求的求的线段线段的长度或角的度数的长度或角的度数.课堂小结课堂小结轴对称轴对称轴对称的性质轴对称的性质轴对称轴对称轴对称图形轴对称图形轴对称变换轴对称变换
