1、7.1.2 两条直线垂直教学目标课题7.1.2两条直线垂直授课人素养目标1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离.教学重点掌握垂直中角度和位置的双重含义；理解垂线的基本事实并会利用所学知识进行简单的推理；理解“垂线段最短”，并能运用于生活实际.教学难点过直线上（外）一点作已知直线的垂线，对点到直线的距离的理解.教学活动教学步骤师生活动活动一：回顾旧知，新课导入【回顾导入】在前面我们学习了两条直线相交形成的四个角，这
2、四个角形成了4对邻补角和2对对顶角.大家还记得邻补角和对顶角的定义吗？如果两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线有怎样的特殊关系？下面的图片是日常生活中存在这种关系的一些实例.今天我们就来研究这个问题.【教学建议】教师带领学生回顾相交线的知识，以所成角的特殊情况引入对垂直的探究.设计意图回顾相交线所成的角，以生活实例引入垂直的概念.活动二：问题引入，自主探究探究点1 认识垂线和垂直问题 在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a，b所成的也会发生变化.在b转动的过程中，当=90时，木条a与b所形成的其他三个角的度数是多少？其他三个角的度数都是90.概念引入
3、：一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“ab”.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.【教学建议】学生动手探究两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相设计意图通过对相交线模型的探究，引入垂线的相关知识.教学步骤师生活动由上可知，如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90，那么这两条直线互相垂直.如图，如果直线AB，CD相交于点O，AOD=90，那么ABCD.这个推理过程可写成什么形式？因为AOD=90，所以A
4、BCD. 反过来，如果ABCD，那么AOD是多少度？写出这个推理过程.因为ABCD，所以AOD=90.这说明垂直的定义具有双重含义.请找出“活动一”图片中互相垂直的直线.学生自行回答即可.【对应训练】1.教材P6练习第1题.2.如图，OAOB，若1=40，则2的度数是（ C ）A.40 B.45 C.50 D.55垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.设计意图探究点2 垂线的基本事实(垂线的性质1)问题 如图，现有一条已知直线l，用三角尺或量角器分别过直线上一点A和直线外一点B，画l的垂线，这样的垂线你能画出几条？通过
5、实际操作，我们得出：经过直线上一点能画 1 条直线与已知直线垂直；经过直线外一点能画 1 条直线与已知直线垂直.归纳总结：将上述结论合并在一起，我们得到关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.例1 （教材P5例2）如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.解：如图所示. 【对应训练】1.下列说法正确的有 （ B ）在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知【教学建议】学生独立思考并动手操作，教师总结常规画法.画垂线的方法多种多样，对于学生使用的其他正确的方法，教师应予以肯定与鼓励.画一条线段或射线的
6、垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可以在线段（射线）上，也可以在线段的延长线（射线的反向延长线）上.通过回顾垂线的画法，引入对垂线性质的探究.教学步骤师生活动直线垂直；在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.教材P6练习第2题. 设计意图探究点3 垂线的性质2垂线段最短如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？对于这个问题，我们可以将其简化为求点P到直线l的最短路线.对此，我们进行如下探究：如图，P是直线l外一点，POl，垂足为O.A是直线l上除点O外一点，连接PA.测
7、量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？PO的长度小于PA的长度.改变点A的位置后，测量各线段的长度，比较得出：线段PO的长度最短，即当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是过点P作直线l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.归纳总结：如果我们规定，当PO直线l时，线段PO为点P到直线l的垂线段，即可得出如下结论（垂线的性质2）：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.问题1 我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形有什么区别与联系？垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.问题2
8、 以前我们学习过两点之间的距离，大家还记得怎样才能得到两点之间的距离吗？测量连接两个点的线段的长度.问题3 类比两点之间的距离，一个点到一条直线的距离又该如何确定？确定点到直线的距离，应该测量点到直线的垂线段的长度.概念引入：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.【对应训练】1.现在，你知道本探究点中如何挖渠能使渠道最短吗？解：应从点P处向河岸作垂线，这样得到的垂线段即为最短的渠道.2.教材P6练习第3题.【教学建议】教师先引导学生将实际问题抽象成几何图形，然后通过图形探究垂线的性质，得出结论，最后可让学生举例说明“垂线段最短”在日常生活中的应用.教师也可以利用几何画板构图，
9、在直线l上拖动点A，改变点A的位置，探究PO与PA的长度关系，让学生有更直观地感受.对于“点到直线的距离”应强调说明：距离指的是长度，是一个数量，而垂线段是图形，两者不能混淆.以实际生活问题为例，引出垂线段及点到直线的距离的概念并探究其性质.教学步骤师生活动活动三：重点突破，提升探究例2 如图，直线AB,CD相交于点O，MOAB于点O.(1)若1=2,求NOD的度数;(2)若BOC=41,求AOC与MOD的度数. 解：(1)因为MOAB,所以AOM=90.所以1+AOC=90.又1=2,所以2+AOC=90.所以NOD=180-(2+AOC)=180-90=90.(2)由已知条件BOC=41,
10、即90+1=41,可得1=30,所以AOC=AOM-1=90-30=60.由邻补角的定义，得MOD=180-1=180-30=150.【对应训练】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分AOD，FOAB于点O.（1）若COF=50，求COE的度数；（2）若DOE=2BOD，求COF的度数. 解：（1）因为FOAB，所以AOF=90.因为COF=50，所以AOC=AOF-COF=90-50=40.由邻补角的定义，得AOD=180-AOC=180-40=140.因为OE平分AOD，所以AOE=AOD=140=70.所以COE=AOE+AOC=70+40=110.（2）因为OE平分AOD，所以AOD
11、=2DOE.又DOE=2BOD，所以AOD=4BOD.因为AOD+BOD=180，所以4BOD+BOD=180，所以BOD=36.由对顶角相等，得AOC=BOD=36，所以COF=AOF-AOC=90-36=54.【教学建议】学生独立思考作答，教师统一答案.教师应提醒学生注意：垂直和直线夹角成90是相互对应的关系，但两者存在一定的区别，垂直是两条直线的位置关系，90是角的度数.设计意图利用垂直的定义，结合邻补角、对顶角等知识解决角度问题.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是垂线？如何用三角尺或量角器
12、过一点画已知直线、射线、线段的垂线？垂线的基本事实是什么？2.“垂线段最短”和点到直线的距离的含义是什么？垂线段和垂线之间有哪些区别和联系？教学步骤师生活动【知识结构】【作业布置】1.教材P8习题7.1第2，3，4，6，8题.2.相应课时训练.板书设计7.1.2 两条直线垂直1.垂直及垂线的相关概念.2.垂线的画法：靠；过；画.3.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.垂线的性质2垂线段最短.5.点到直线的距离：垂线段的长度.教学反思本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况垂直，可类比前面两条直线相交时的一般情况学习新知识.之后复习垂线的画法来探究过一点画已知直
13、线的垂线的情况，通过实际动手操作，体会垂线的存在性和唯一性.最后通过“挖渠”这一实际问题的解决过程，逐步探究得出“垂线段最短”这一性质，并明确点到直线的距离这一概念，渗透了“数学源于生活，又服务于生活”的理念.其中，应加深学生对于“垂线段最短”这一性质的理解，为后面学习三角形的高做好铺垫.解题大招一 利用垂直或垂线相关的概念或性质解题1.由垂直形成的角是直角（90）结合对顶角或邻补角的性质解题例1 如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OEAB，且OD平分BOE，则AOD的度数是（ D ）A.120 B.125C.130 D.135解析：因为OEAB，所以BOE=90.因为OD平分BOE，所
14、以BOD=BOE=45.由邻补角的定义，得AOD=180-BOD=180-45=135.故选D.例2 如图，直线AB，CD相交于点O，EOAB于点O.若DOE:BOE=1:3，则AOC的度数为60.解析：因为EOAB，所以BOE=90.因为DOEBOE=1:3，所以DOE=30.所以BOD=BOE-DOE=90-30=60.由对顶角相等，得AOC=BOD=60. 2.垂线的性质的应用例3 如果直线ON直线a，直线OM直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ C ）A两点确定一条直线B在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直C在同一平面内，过一点有且只有一条直线与
15、已知直线垂直D两点之间，线段最短3.点到直线的距离的判断点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段.它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形.例4 已知P为直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离不可能是（ D ）A.1.5cm B.1.9cm C.2cm D.4cm解析：245，由垂线段最短可知，当PCl时点P到直线l的距离为2cm，当PC与l不垂直时点P到直线l的距离小于2cm，因此点P到直线l的距离小于或等于2cm.故选D.解题大招二 “垂线段最短”的实际应用生活中往往会遇到“垂线
16、段最短”问题，解题时正确理解这一性质是关键.垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言的.例5 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？请说明依据.解：（1）如图，因为“两点之间，线段最短”，所以连接AD，BC交于点H，则点H为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小.（2）如图，过点H作HGEF，垂足为G，沿线段GH开渠最短，依据是“垂线段最短”.培优点 解决与垂直相关的
17、稍复杂几何图形问题例1 如图，直线EF，CD相交于点O，OAOB，且OC平分AOF.（1）若AOE=40，求BOD的度数；（2）若AOE=，求BOD的度数（用含的式子表示）.解：（1）由邻补角的定义，得AOF=180-AOE=180-40=140.因为OC平分AOF，所以COF=AOF=70.由对顶角相等，得DOE=COF=70.因为OAOB，所以AOB=90，所以BOE=AOB-AOE=90-40=50.所以BOD=DOE-BOE=70-50=20.（2）由邻补角的定义，得AOF=180-AOE=180-.因为OC平分AOF，所以COF=AOF=90-.由对顶角相等，得DOE=COF=90-
18、.而BOE=AOB-AOE=90-，所以BOD=DOE-BOE=90-(90-)= .例2 如图，OAOB，引射线OC（点C在AOB外），OD平分BOC，OE平分AOD.（1）若BOC=40，请依题意补全图形，并求BOE的度数；（2）若BOC=（090），请直接写出BOE的度数（用含的式子表示）.解：（1）补全图形如图所示. 因为OAOB，所以AOB=90.因为OD平分BOC，BOC=40，所以COD=BOD=BOC=40=20.所以AOD=AOB+BOD=90+20=110.因为OE平分AOD，所以DOE=AOD=110=55.所以BOE=DOE-BOD=55-20=35.（2）BOE=45-.解析:同（1）可得COD=BOD=，AOD=+90，DOE=AOD=+45，则BOE=DOE-BOD=+45-=45-.
