1、微重点10截面、交线问题“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解考点一截面问题考向1多面体中的截面问题例1(多选)在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为()A等腰梯形B非矩形的平行四边形C正五边形D正六边形答案ABD解析画出截面图形如图，可以画出等腰梯形，故A正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，作截面EFGH(如图所示)交C1D1，A1B1，AB
2、，CD分别于点E，F，G，H，根据平面平行的性质定理可得四边形EFGH中，EFHG，且EHFG，故四边形EFGH是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形，但此时不可能是正五边形，故C错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D正确考向2球的截面问题例2(2023芜湖模拟)已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，D为棱AB的中点，则过点D的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为_答案解析正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心O为上、下底面的外接圆圆心的连线O1O2的中点，连接AO2，AO，OD
3、，如图所示，设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，rAO2，则R2r21.当过点D的平面过球心时，截得的截面圆最大，截面圆的半径即为球的半径，所以截面圆的面积最大为R2；当过点D的平面垂直OD时，截面圆的面积最小，OD2OA2AD21，截面圆的半径为1，所以截面圆的面积最小为12，综上，截面面积的取值范围为.规律方法作几何体截面的方法(1)利用平行直线找截面(2)利用相交直线找截面跟踪演练1(1)(多选)(2023山西联考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，其外接球的球心为O，点P满足(01)，过点P的平面平行于AD和A1B，则()A平面平面A1BCD1B平面平面ABB1A1
4、C当时，平面截球O所得截面的周长为D平面截正方体所得截面的面积为定值答案ABC解析根据题意作出如图所示的图形，平面AD且ADBC，平面BC，又平面A1B，BC，A1B平面A1BCD1，A1BBCB，平面平面A1BCD1，A正确；BC平面ABB1A1，BC平面A1BCD1，平面A1BCD1平面ABB1A1，且平面平面A1BCD1，平面平面ABB1A1，B正确；当时，设此时平面截球O所得截面圆心为O，此时点P为AB的中点，故OO，由题可知正方体外接圆的半径R，根据勾股定理可知圆O的半径r，故圆O的周长为2r，故C正确；由图可知，平面截正方体所得截面是一个一边长不变，另一边长随点P在AB上的位置的变
5、化而变化的矩形，所以平面截正方体所得截面面积不是定值，故D错误(2)(2023沧州模拟)在圆台O1O2中，四边形ABCD是其轴截面，ADDCBCAB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是，则圆台的体积等于_答案解析因为ADDCBCAB，所以四边形ADCO1为平行四边形，所以O1CO1DO1AAD，则AO1D为正三角形，所以DAB60，由题意得平面CEF平面ABCD，且平面CEF平面ABCDO1C，所以点A到平面CEF的距离即为AD与O1C的距离，在AO1D中，过点O1作AD的垂线O1M，过点D作AO1的垂线DN，则O1M，所以AO12，则O1O2DN2s
6、in 60，设圆台上、下底面半径分别为r，R，则RAO1，rDO2AO1，则圆台的体积Vh(R2Rrr2)(421).考点二交线问题考向1多面体中的交线问题例3(2023河南联考)在正三棱锥PABC中，PA6，BC6，M，N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案C解析取PB的中点J，连接MJ，JN，由题意可得QNAB，QNAB，又因为MJAB，MJAB，所以MJQN，MJQN，所以四边形MJNQ是平行四边形，所以MQJN，所以M，J，N，Q四点共面，所以平面MQN与平面PBC的交线l，即为JN
7、，直线QD与直线l所成的角即为直线QD与直线MQ所成的角，即为MQD，因为正三棱锥PABC中，PA6，BC6，所以PAPBPC6，ABACBC6，所以QDMQ3，MD3，cosMQD，所以sinMQD.考向2与球有关的交线问题例4(2023石家庄模拟)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，以C1为球心，为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为()A. B.C. D.答案B解析设D1为A1B1的中点，连接C1D1，因为A1B1AB2，A1B1C1为等边三角形，所以C1D1，因为C1D1A1B1，C1D1AA1，A1B1AA1A1，A1B1，AA1平面ABB1A1，所以C1D1平面AB
8、B1A1，所以以C1为球心，为半径的球面与平面ABB1A1的交线为以D1为圆心的圆，由，可得交线即以D1为圆心，为半径的圆弧，设该圆弧与AA1，BB1分别相交于点M，N，因为MD1，A1D11，所以cosMD1A1，因为MD1A1，所以MD1A1所以MD1N，故交线长l2.规律方法找交线的方法(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点(2)面面交点法：各棱面与截平面的交线跟踪演练2(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA14，以CC1的中点M为球心，4为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为()A2 B3 C4 D8答案C解析取AB，AA1，A1B1，BB1的中点分别为F，E，H，G，N为四
9、边形ABB1A1的中心，连接MN，CF，MH，ME，MG，MF，HF，EG，因为ABAA14，故四边形ABB1A1为正方形，G，N，E三点共线，H，N，F三点共线，MN平面ABB1A1且GNENNHNF2，因为M为CC1的中点，所以MNCF4sin 602，由勾股定理得MHMGMEMF4，所以题中所求交线轨迹为以N为圆心，2为半径的圆，球与侧面ABB1A1的交线轨迹如图所示，故交线长l224.(2)(2023广安模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是2，S是A1B1的中点，P是A1D1的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ平面SBC1，则点Q的轨迹的长度是_答案解析如
10、图所示，要使PQ平面SBC1，作PEC1S交C1D1于E，SC1平面SBC1，PE平面SBC1，则PE平面SBC1，因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是2，所以D1EC1D1，连接BD，取BD的中点O，连接PO，则PSBO为平行四边形，则POSB，SB平面SBC1，PO平面SBC1，则PO平面SBC1，又POPEP，PO，PE平面POE，所以平面POE平面SBC1，设平面POE平面DCC1D1EF，则DFDC，连接OF，EF，则四边形PEFO为平行四边形，Q的轨迹为线段EF，EF.专题强化练1(2023保山模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的
11、动点，当直线DQ与DA1所成的角为45时，点Q的轨迹为()A圆 B直线C抛物线 D椭圆答案C解析以D为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D，A1，设Q，可得，因为直线DQ与DA1所成的角为45，则cos 45，化简可得y22x，所以点Q的轨迹为抛物线2.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCDA1B1C1D1.已知该正方体中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过D1，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线AD1所成的角为()A.
12、 B. C. D.答案A解析如图所示，在平面AA1D1D中，连接D1E并延长D1E交DA的延长线于点H，则HAAD，在平面CC1D1D中，连接D1F并延长D1F交DC的延长线于点G，则GCCD，则GH为平面D1EF与平面ABCD的交线l，且GHAC，而在等边ACD1中，AC与AD1所成的角为，故l与直线AD1所成的角为.3.(多选)(2023重庆模拟)如图，一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆E的描述中，正确的是()A短轴长为2r，且与的大小无关B离心率为cos ，且与r的大小无关C焦距为2rtan
13、D面积为答案ACD解析由题意知，椭圆短轴长2b2r，而长轴长随变大而变长且2a，所以crtan ，故esin ，焦距为2c2rtan ，由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos 等于圆的面积与椭圆面积的比值，所以椭圆面积为S.综上，A，C，D正确，B错误4.(多选)如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的球心为O，E，F分别为棱AB，CC1的中点，G在棱BC上，则()A对于任意点G，OA平面EFGB存在点G，使得平面OAD平面EFGC直线EF被球O截得的弦长为D过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为答案BC解析对于A选项，当G与B重合时，A平面EFB，O平面EFB，此时直
14、线OA与平面EFG相交，A错误；对于B选项，四边形ABCD为正方形，则ACBD，当G为BC的中点时，EGAC，则EGBD，BB1平面ABCD，EG平面ABCD，则EGBB1，BDBB1B，则EG平面BB1D1D，B1D平面BB1D1D，EGB1D，同理FGB1D，EGFGG，B1D平面EFG，即OD平面EFG，OD平面OAD，故平面OAD平面EFG，B正确；对于C选项，取EF的中点M，OAOB，E为AB的中点，则OEAB，OE，同理可得OF，则OMEF.CC1平面ABCD，CE平面ABCD，则CFCE，EMEF，则OM，又球O的半径R，直线EF被球O截得的弦长为22，C正确；设截面圆半径为r，
15、球心O到截面的距离为d，则r2d2R23.dOM，则r23d2，截面圆面积Sr2，D错误5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M在棱DD1上，过点C作平面BMC1的平行平面，记平面与平面BCC1B1的交线为l，则A1C与l所成角的大小为_答案解析因为平面BMC1平面，平面BMC1平面BCC1B1BC1，平面平面BCC1B1l，则BC1l；在正方体中，易证BC1平面A1B1CD，故BC1A1C，所以A1Cl，即A1C与l所成角的大小为.6已知正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线长为_答案2解析由题意，得ABC是边长为5的等边三角形，侧面均为全等的等腰梯形，在四边形ABB1A1中，AB5，A1B12，AA1BB13，如图，在棱AB上取BF2，连接A1F，易知AA1F为等边三角形，即A1AB，则以下底面的一个顶点A为球心，2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线为三段圆弧分别是与平面ABC，平面ABB1A1，平面ACC1A1的交线，则所求交线长度为三段圆弧的长度之和，长度为232.
