1、数学试题参考答案 第 1 页 （共 5 页） 东海教师进修学校 2021 届高三期中适应性考试 数学试题参考答案 一、选择题 1C 2A3B4C 5B6D 7D8A 二、选择题 三、填空题 9AD10AC11BCD12ACD 132014-815 1 1或 2 .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ?
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4、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19. 20. (12 分) ABCDACBD（1）证明：因为四边形为菱形， 所以. 1 分 CDACABCD ACBE2 分 BEBDBACBED3 分 ACAECAECBED ABBE因为平面，平面， 所以. 又，所以平面. 又平面， 所以平面平面.4 分 （2）解法 1：设AB1，在菱形ABCD中，由BAD60，可得 2 3 AGGC， 2 1 BGGD. AEECAECEGAG 2 3 因为，所以在 Rt中可得. 5 分 BEABCDEBG由平面，得为直角三角形， E y x G D C B A 则 222
5、 BGBEEG，得BE 2 2 .6 分 过点G作直线GZ/BE, 因为BE平面ABCD， 所以GZ平面ABCD， 又AC BD， z所以建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz. 3112 0,0,0,0,0 , ,0, 222 GCD ,0,0 ,E 2 所以 2 2 GE 12 ,0 , . 8 分 EDC设平面的法向量为 2132 1,0, 2222 nx, y,z,DECE , ， 由 0 0 DEn CEn , 得 2 xz 0 2 132 0 222 xyz ，9 分 取 3 ,2 3 x 1, y z , EDC所以平面的一个法向量为 3 ,2) 3 n (1,. 10 分 EGE
6、DC设直线与平面所成角为， 则 11 2 10 2 sincos 10111310 12 42323 GE,n 0 1 . EGEDC所以直线与平面所成角的正弦值为 10 10 . 12分 y E z x G D C B A B解法 2：如图以点 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Bxyz. 不妨设AB 2， 则A1, 3,0，C2,0,0,E0,0,2,D1, 3,0, ,0 2 3 , 2 1 G 所以 , 2 2 3 , 2 1 EG. 8 分 EDC设平面的法向量为nx y, ,z，1, 3, 2ED,2,0, 2EC， 则 0 0 n EC n ED ，得 320 20 yz x
7、2z x ，. 9 分 令3x , 则1,yz6. EDC所以平面的一个法向量为n3,1, 6. 10 分 EGEDC设与平面所成角为， 则 10 10 6131 32 2 3 2 3 cossin 2 EG,n . EGEDC所以直线与平面所成角的正弦值为 10 10 .12 分 数学试题参考答案 第 3 页 （共 5 页） 数学试题参考答案 第 4页 （共5页） （3 分） （2）由 logaM nnlogaM 可得 lg3 lg4( lg8 lg9 lg16 lg27) lg3 lg22( lg23 lg32 lg24 lg33) lg3 2lg2( 3lg2 2lg3 4lg2 3lg
8、3) lg3 2lg2 17lg2 6lg3 17 12 （6 分） （3）设 250的位数为 k，则 10 k-1 25010k， 所以 lg10 k-1 lg250lg10k， 即 k150lg2k 因为 lg20.3010，所以 50lg215.05由 k115.05k 得 15.05k16.05 因为 kN*，所以 k16 （12 分） 解法 2： （1） （2）同解法 1 （3）设 X250，则 lgXlg25050lg2 因为 lg20.3010，所以 50lg215.05，从而 lgX15.05 因此 X1015.05(1015，1016)，于是 250的位数为 16 （12 分
9、） 21解法 1： （1）设 Max，则 M nanx 根据对数定义有 logaMx，logaM nnx 因此 logaM nnlogaM 22.解：(1)当 a=2 时，f(x)=2 x+x+lnx3, f (x)= 2 x2+1+ 1 x= x2+x2 x2 =(x+2)(x1) x2 由 f (x)=0，得 x=1, 列表如下： x (0,1) 1 (1,+) f (x) 0 + f(x) 减函数 极小值 增函数 所以 f(x)有极小值 0，无极大值. (2) f (x)= a x2+1+ 1 x= x2+xa x2 当 a0 时, f (x)0 恒成立,f(x)为(0,+)上增函数.
10、又 f(1)=a20, 当 x1 时,f(x)a+x+ lnx3, 取 x1满足 x1e3 x1a,则 f(x1)0, 所以 f(x)在(0,+)上仅有一个零点. 当 a0 时,x2+xa=0 仅有一个正根,记为 x0,即 x02+x0a=0. 所以 f(x)在(0,x0)上是减函数,在(x0,+)上是增函数, a x0 f(x)在(0,+)上有极小值,也是最小值 f(x0)= +x0+lnx03=2x0+lnx02. 令 g(x)= 2x+lnx2,易知 g(x)为(0,+)上增函数,且 g(1)=0. 1当 x0=1,即 a=2 时,f(x)的最小值为 0,函数 f(x)仅有一个零点. 2当 x01,即 a=x02+x02 时,f(x)的最小值 f(x0)0, f(x)在(0,+)上无零点. 3当 0x01,即 a=x02+x0(0,2)时,f(x)的最小值 f(x0)a x 2 x1= x2 x+a x , 由x2 x+a0,可得 0x0,所以 f(x)在(x0,+)上仅一个零点. e 所以,f(x)在(0,+)上有且仅有 2 个零点. 综上.当 a0 或 a=2 时, 函数 f(x)仅有 1 个零点; 当 0a2 时, 函数 f(x)无零点. 数学试题参考答案 第 5页 （共 5页）
