1、 专题 04 整式的乘法与因式分解 1同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则： mnm n aaa （m，n 都是正整数）； 同底数幂相乘，底数不变，指数相加注意底数可以是多项式或单项式 2幂的乘方 幂的乘方法则： mnnm aa)(（m，n 都是正整数）， 幂的乘方，底数不变，指数相乘 幂的乘方法则可以逆用：即 mnnmmn aaa)()( 3积的乘方法则： nnn baab)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积 4整式的乘法 （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式 （2）单项式乘以多项式，就是用单项式
2、去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mcmbmacbam)(（mabc， ， ，都是单项式） （3）多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 （4）同底数幂的除法法则： nmnm aaa （ 0amn ， ，都是正整数，且mn）， 同底数幂相除，底数不变，指数相减 （5）零指数：1 0 a，即任何不等于零的数的零次方等于 1 （6）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，若只在被除式里含有的字母，则连同
3、 它的指数作为商的一个因式 （7）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把 所得的商相加即：( )ambmcmmammbmmcmmabc 5平方差公式： 22 )(bababa， 注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数右边是 相同项的平方减去相反项的平方 6完全平方公式： 222 2)(bababa 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾 2 倍中间放，符号和前一个样 公式的变形使用： （1）abbaabbaba2)(2)( 2222 ； 22 ()()4ababab； 222
4、 )()()(bababa； 222 )()()(bababa （2）三项式的完全平方公式：bcacabcbacba222)( 2222 7提公因式法 （1）会找多项式中的公因式； 公因式的构成一般情况下有三部分：系数、字母、指数 系数各项系数的最大公约数； 字母各项含有的相同字母； 指数相同字母的最低次数； （2）提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式 需注意的是， 提取完公因式后， 另一个因式的项数与原多项式的项数一致， 这一点可用来检验是否漏项 （3）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系 数是负的，一般要提出
5、“-”号，使括号内的第一项的系数是正的 8公式法 运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： （1）平方差公式： a2-b2=（a+b）（a-b）； （2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2； a2-2ab+b2=（a-b）2 考点一、考点一、同底数幂的乘法同底数幂的乘法 例例 1 1（2020 重庆）计算 2 a a结果正确的是（ ） Aa Ba2 Ca3 Da4 【答案】C 【解析】了同底数幂的乘法运算， 23 a aa，故选 C 【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键 考点二考点二、幂的乘方幂的乘方 例例 2（2
6、020 衢州）计算： 2 3 ()a，正确结果是（ ） Aa5 Ba6 Ca8 Da9 【答案】B 【解析】 （a2）3a6，故选 B 【名师点睛】本题主要考查幂的乘方，底数不变，指数相乘的性质，熟练掌握性质是解题的关键 考点三考点三、积的乘方积的乘方 例例 3（2020 陕西）计算： 23 2 () 3 x y= ( ) A 36 2x y B 63 8 27 x y C 36 8 27 x y D 54 8 27 x y 【答案】C 【解析】 23 2 () 3 x y= 36 8 27 x y，故选 C 【名师点睛】本题考查积的乘方的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型
7、考点四考点四、单项式乘单项式单项式乘单项式 例例 4（2020 台州）计算 2a23a4的结果是（ ） A5a6 B5a8 C6a6 D6a8 【答案】C 【解析】2a23a46a6故选：C 【名师点睛】本题考查的是单项式乘单项式，解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与 单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的 因式 考点五、考点五、单项式乘多项式单项式乘多项式 例例 5（2020 桂林）计算：(1)ab a=_. 【答案】 2 a bab 【解析】根据单项式乘多项式的法则，把单项式与多项式的每一项相乘，(1)ab a= 2 a
8、bab， 故答案为： 2 a bab 【名师点睛】本题考查的是单项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：用单项式乘多 项式的每一项，再把所得的积相加 考点六、考点六、多项式乘多项式多项式乘多项式 例例 6 （2020 焦作模拟）计算（x+y） （x2xy+y2） 【答案】x3+y3 【解析】 （x+y） （x2xy+y2） ， x3x2y+xy2+x2yxy2+y3， x3+y3 【名师点睛】此题考查多项式的乘法，关键是根据多项式乘法的法则解答 考点七、整式考点七、整式的除法的除法 例例 7（2020 吉林）下列运算正确的是（ ） A 236 aaa B 3 25 aa C 22
9、 (2 )2aa D 32 aaa 【答案】D 【解析】A、 236 aaa，原计算错误，故此选项不符合题意； B 3 25 aa，原计算错误，故此选项不符合题意； C 22 (2 )2aa，原计算错误，故此选项不符合题意； D 32 aaa，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D 【名师点睛】此题主要考查了整式的运算，正确掌握运算法则是解题关键 考点八、乘法公式的应用考点八、乘法公式的应用 例例 8（2020 枣庄）图（1）是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它 分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分 的面
10、积是（ ） Aab B(a+b)2 C(a-b)2 Da2-b2 【答案】C 【解析】中间部分的四边形式正方形，边长是 a+b-2b=a-b, 则面积是(a-b)2， 故选：C 【名师点睛】本题考查了整式的运算，正确表示出小正方形的边长是解题的关键 考点九、运用考点九、运用提公提公因式法分解因式因式法分解因式 例例 9（2020 沈阳）因式分解：2x2+x=_ 【答案】x（2x+1）. 【解析】2x2+x= x（2x+1）. 故答案为：x（2x+1）. 【名师点睛】本题考查了提取公因式法，正确找出公因式是解本题的关键 考点十考点十、运用、运用提公提公因式法、因式法、公式公式法分解因式法分解因式
11、 例例 10（2020 深圳）分解因式：m3-m= . 【答案】. 【解析】 【名师点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键 考点十考点十一一、因式分解的综合运用因式分解的综合运用 10. （2020 西藏）下列分解因式正确的一项是（ ） Ax2-9=（x+3）（x-3） B2xy+4x=2（xy+2x） Cx2-2x-1=（x-1） 2 Dx2+y2=（x+y） 2 【答案】A. 【解析】A、原式=（x+3）（x-3），符合题意； B、2xy+4x=2x（y+2）；不符合题意； C、原式不能分解，不符合题意； D、原式不能分解，不符合题意 故选：
12、【名师点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 一、选择题一、选择题 1.（2020 黔南州）下列运算正确的是（ ） A （a3）4=a12 Ba3 a4=a12 Ca2+a2=a4 D （ab）2=ab2 【答案】A 【解析】 （a3）4=a3 4=a12，故 A 正确；a3 a4=a7，故 B 错误；a2+a2=2a2，故 C 错误； （ab）2=a2b2，故 D 错误故选 A 2.（2020 河北）对于x-3xy=x（1-3y） ，（x+3） （x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.
13、 是因式分解是乘法运算 D. 是乘法运算是因式分解 【答案】C 【解析】x-3xy=x（1-3y） ，从左到右的变形都是因式分解； （x+3） （x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形是乘法运算，不是因式分解； 所以是因式分解，是乘法运算. 故选：C. 3.（2020 德阳）下列运算正确的是（ ） Aa2 a3=a6 B （3a）3 =9a3 C3a-2a=1 D （-2a2）3 =-8a6 【答案】 D. 【解析】A 选项，a2 a3=a5，故错误； B 选项， （3a）3 =27a3，故错误； C 选项，3a-2a=a，故错误； D 选项， （-2a2）3 =-8a6，D 正确. 故选
14、D 4计算（ 2 3 ）2021 1.52020 （-1）2022的结果是（ ） A 2 3 B 3 2 C- 2 3 D- 3 2 【答案】A 【解析】 2021202020222020 232322 ( )( )( 1)()1 323233 ，故选 A 5（2020 眉山）已知 a2+ 1 4 b2=2a-b-2，则 3a- 1 2 b 的值为（ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4 【答案】A. 【解析】a2+ 1 4 b2=2a-b-2 a2-2a+1+ 1 4 b2+b+1=0， （a-1）2+（ 1 2 b+1）2=0， a-1=0， 1 2 b+1=0， a=1，b=-2， 3
15、a- 1 2 b=3+1=4. 故选：A. 6.（2020 益阳）下列因式分解正确的是（ ） A. a（a-b）-b（a-b）=（a-b） （a+b） B. a2-9b2=（a-3b）2 C. a2+4ab+4b2=（a+2b）2 D. a2-ab+a=a（a-b） 【答案】C. 【解析】A. a（a-b）-b（a-b）=（a-b）2，故此选项错误；B. a2-9b2=（a-3b） （a+3b） ，故此选项错误； C. a2+4ab+4b2=（a+2b）2，正确；D. a2-ab+a=a（a-b+1） ，故此选项错误. 故选：C. 5化简 423 2 ()aaa的结果正确的是（ ） A 86
16、aa B 96 aa C2 6 a D 12 a 【答案】C 【解析】 423 2 ()aaa= 66 aa = 6 2a故选 C 7(2020 青海)下面是某同学在一次测试中的计算： 3m2n-5mn2=2mn；2a2b（-2a2b）=-4a6b；（a3）2=a5 ;（-a3）（-a）=a2 其中运算正确的个数为（ ） A. 4 个 B. 3 个 C.2 个 D. 1 个 【答案】D 【解析】3m2n 与 5mn2不是同类项；不能合并，计算错误； 2a2b（-2a2b）=-4a5b2；计算错误； （a3）2=a6 ; 计算错误； （-a3）（-a）=（-a）3-1=a2计算正确； 故选 D
17、8.（2020 郴州）如图 1，将边长为 x 的大正方形剪去一个边长为 1 的小正方形（阴影部分），并将剩余部分 沿线剪开， 得到两个长方形， 再将这两个长方形拼成图 2 所示长方形， 这两个图能解释下列哪个等式 （ ） A.x2-2x+1=（x-1）2 B. x2-1=（x+1）（x-1） C. x2+2x+1=（x+1）2 D. x2-x=x（x-1） 【答案】B. 【解析】由图可知， 图 1 的面积为：x2-12， 图 2 的面积为：（x+1）（x-） 所以 x2-1=（x+1）（x-）， 故选：B 9一次课堂练习，一位同学做了 4 道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（ ）
18、A 222 2()xxyyxy B 22 ()x yxyxy xy C 22 ()()xyxy xy D 32 (1)xxx x 【答案】D 【解析】 32 (1)(1)(1)xxx xx xx故选 D 10(2020 荆门一模)已知 xy3，x+y2，则代数式 x2y+xy2的值是（ ） A6 B6 C5 D1 【答案】A 【解析】xy3，x+y2， x2y+xy2xy（x+y）6 故选：A 二、填空题二、填空题 11. (2020 株洲)因式分解： 2 212aa_ 【答案】2 (6)a a 【解析】 2 2122 (6)aaa a 12计算：（ 2 3 a-b）（ 2 3 a+b）=_；
19、（-2x-5）（2x-5）= _ 【答案】 22 2 () 3 ab； 2 254x 【解析】 22 222 ()()() 333 ababab， 222 ( 25)(25)5( 2 )254xxxx 13(2020 焦作期末)如果（nx+1）（x2+x）的结果不含 x2的项（n 为常数），那么 n 【答案】1 【解析】（nx+1）（x2+x） nx3+nx2+x2+x nx3+（n+1）x2+x， （nx+1）（x2+x）的结果不含 x2的项， n+10， 解得 n1， 故答案为：1 14. (2020 宜昌)数学讲究记忆方法如计算 52 ()a时，若忘记了法则，可以借助（a5） 2=a5a
20、5=a5+5=a10， 得到正确答案你计算（a2） 5-a3a7 的结果是 【答案】0 【解析】（a2） 5-a3a7=a10-a10=0 故答案为：0 15.（2020 成都）已知 a=7-3b，则代数式 a2+6ab+9b2的值为_ 【答案】49. 【解析】a=7-3b， a+3b=7， a2+6ab+9b2=（a+3b）2=72=49， 故答案为：49 16.（2020 咸宁模拟）若整式 x2+my2（m 为常数，且 m0）能在有理数范围内分解因式，则 m 的值可以是 （写一个即可） 【答案】1 【解析】令 m1，整式为 x2y2（x+y） （xy） 故答案为：1（答案不唯一） 17.
21、（2020 衢州）定义 ab=a（b+1），例如 23=2(3+1)=24=8，则（x-1）x 的结果为_ 【答案】x2-1 【解析】根据题意得： （x-1）x=（x-1）（x+1）= x2-1 故答案为：x2-1 三、解答题三、解答题 18.（2020 武汉模拟）计算： （1）a3a2a4+（a）2； （2）（x22xy+x）x 【答案】（1）a9+a2；（2）x2y+1 【解析】（1）a3a2a4+（a）2a9+a2； （2）（x22xy+x）xx2y+1 19分解因式： （1）（m2+3m）2-8（m2+3m）-20； （2）4a2bc-3a2c2+8abc-6ac2； （3）（y2+3
22、y）-（2y+6）2 【答案】详解见解析 【解析】（1） 22222 (3 )8(3 )20(3 )10(3 )2mmmmmmmm = 22 (310)(32)mmmm=( 5)(2)(1)(2)mmmm （2） 2222 4386a bca cabcac= 22 22 (48)(36)a bcabca cac = 2 4(2)3(2)abc aaca= (2)(43 )ac abc （3） 222 (3 )(26)(3)4(3)yyyy yy=(3)4(3)yyy=( 3)( 312)yy =3( 3)(4)yy 20.（1）（2020 长春模拟）先化简，再求值：(2a+1)2-4a(a-1
23、)，其中 8 1 a （2）（2020 梧州一模）先化简，再求值： 3 24 43 ()2aa a aa ，其中2a 【答案】（1）2； （2） 4 【解析】（1）原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1， 当 1 8 a 时，原式=8a+1=2 （2）原式 65 43 2aa aa 22 2aa 2 a ， 当2a 时，原式4 21.（2020 荆州一模）利用因式分解简便计算： （1）57 99+44 99-99； （2） 11 10099 22 【答案】详解见解析 【解析】（1）57 99+44 99-99 =（57+441） 99 =100 99 =9900 （2） 1111 10
24、099(100)(99) 2222 11 (100)(1001) 22 11 (100)(100) 22 = 22 1 100( ) 2 1 10000 4 9999.75 22.（2020 黄冈模拟）如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将 阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像 （1）试用含 a，b 的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ （2）若 a3，b2，请求出绿化面积 【答案】（1）a2+3ab+b2；（2）31 平方米 【解析】（1）绿化的面积是（2a+b） （a+b）a22a2+3ab+b2a2a2+3ab+b2； （2）当 a3，b2 时，
25、原式9+323+431 平方米 23.（200 江西模拟）图 a 是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然 后按图 b 的形状拼成一个正方形 （1）图 b 中，大正方形的边长是 阴影部分小正方形的边长是 ； （2）观察图 b，写出（m+n）2，（mn）2，mn 之间的一个等量关系，并说明理由 【答案】（1）m+n；mn；（2）见解析 【解析】（1）由图 b 可得，大正方形的边长是 m+n，阴影部分小正方形的边长是 mn； 故答案为：m+n；mn； （2）（mn）2（m+n）24mn 理由如下：右边（m+n）24mn m2+2mn+n24mn m22mn+n
26、2 （mn）2 左边， 所以结论成立 24探究题： 观察下列式子：（x2-1） （x-1）=x+1； （x3-1） （x-1）=x2+x+1； （x4-1） （x-1）=x3+x2+x+1； （x5-1） （x-1）=x4+x3+x2+x+1； （1）你能得到一般情况下(1)(1) n xx的结果吗？（n 为正整数） （2）根据（1）的结果计算：1+2+22+23+24+262+263 【答案】详解见解析 【解析】由题意可得：（1） 12 (1)(1) nnn xxxx +1； （2） 23462636464 1222222(21)(2 1)21 25. （2020 内江） 我们知道， 任意一
27、个正整数 x 都可以进行这样的分解： x=mn （m， n 是正整数， 且 mn） ， 在 x 的所有这种分解中， 如果 m， n 两因数之差的绝对值最小， 我们就称 mn 是 x 的最佳分解 并 规定：f（x）= m n 例如：18 可以分解成 118，29 或 36，因为 18-19-26-3，所以 36 是 18 的最佳分解， 所以 f（18）= 31 62 （1）填空：f（6）= ；f（9）= ； （2）一个两位正整数 t（t=10a+b，1ab9，a，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位 上的数字得到的新数减去原数所得的差为 54，求出所有的两位正整数；并求 f（t）的最大值；
28、（3）填空： f（22357）= ；f（23357）= ；f（24357）= ；f（25357） = 【答案】 【解析】（1）6 可以分解成 16，23， 6-13-2, 23 是 6 的最佳分解， 2 (6) 3 f， 9 可以分解成 19，33， 9-13-3, 3 是的最佳分解， 3 (9)1 3 f， 故答案为： 2 3 ，1 （2）设交换 t 的个位上的数字与十位上的数字得到的新数为 t，则 t=10b+a， 根据题意得，t- t=（10b+a）-（10a+b）=9（b-a）=54， b=a+6， 1ab9，a，b 为正整数， 满足条件的 t 为：17，28，39； 1 (17) 17 F， 4 (28) 7 F， 3 (39) 13 F， 431 71317 f（t）的最大值为 4 7 ； （3）22357 的最佳分解为 2021， f（22357）= 20 21 ； 故答案为： 20 21 ； 22357 的最佳分解为 2830， f（22357）= 2814 3015 ； 故答案为： 14 15 ； 22357 的最佳分解为 4042， f（22357）= 4020 4221 ； 故答案为： 20 21 ； 22357 的最佳分解为 5660， f（22357）= 5614 6015 ； 故答案为：14 15
