1、第第2 2讲讲 整式运算及因式分解整式运算及因式分解 第一单元第一单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 04 数学文化探索数学文化探索 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 列代数式 1.(2018 安徽,6,4分)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年 增长22.1%.假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发 明专利分别为a万件和b万件,则( ) A.b=(1+22.1%2)a B.b=(1+22.1%)2a C.b=(1+22.1%)2a D.b=22.1%2
2、a 答案 B 解析 由题意知,2016年有效发明专利数为a万件,增长率为22.1%,则2017年 为(1+22.1%)a万件,2018年为(1+22.1%)(1+22.1%)a=(1+22%)2a万件,故选 B. 2.(2016 安徽,6,4分)2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,2015年比2014 年增长9.5%,若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元,则a、b 之间满足的关系式为( ) A.b=a(1+8.9%+9.5%) B.b=a(1+8.9%9.5%) C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%) D.b=a(1+8.9%)2(1+9.5%) 答案 C
3、解析 2013年收入a亿元,2014年增长率为8.9%,则2014年收入为(1+8.9%)a 亿元,2015年增长率为9.5%,则2015年的收入为(1+9.5%)(1+8.9%)a亿元.故 选C. 命题点2 求代数式的值 3.(2014 安徽,7,4分)已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为( ) A.-6 B.6 C.-2或6 D.-2或30 答案 B 解析 x2-2x-3=0,2(x2-2x-3)=0, 即2(x2-2x)-6=0. 2x2-4x=6.故选B. 命题点3 幂的运算 4.(2020 安徽,2,4分)计算(-a)6a3的结果是( ) A.-a3 B.-a2 C.a3 D
4、.a2 答案 C 解析 (-a)6a3=a6a3=a3.故选C. 5.(2019 安徽,2,4分)计算a3 (-a)的结果是( ) A.a2 B.-a2 C.a4 D.-a4 答案 D 解析 原式=-a3 a=-a4.故选D. 6.(2018 安徽,3,4分)下列运算正确的是( ) A.(a2)3=a5 B.a2 a4=a8 C.a6a3=a2 D.(ab)3=a3b3 答案 D 解析 (a2)3=a6,A不符合题意; a2 a4=a6,选项B不符合题意; a6a3=a3,C不符合题意; (ab)3=a3b3,D符合题意.故选D. 7.(2017 安徽,2,4分)计算(-a3)2的结果是( )
5、 A.a6 B.-a6 C.-a5 D.a5 答案 A 解析 原式=(a3)2=a32=a6,故选A. 8.(2016 安徽,2,4分)计算a10a2(a0)的结果是( ) A.a5 B.a-5 C.a8 D.a-8 答案 C 解析 原式=a10-2=a8.故选C. 命题点4 整式的运算 9.(2013 安徽,4,4分)下列运算正确的是( ) A.2x+3y=5xy B.5m2 m3=5m5 C.(a-b)2=a2-b2 D.m2 m3=m6 答案 B 解析 2x+3y无法计算,故A选项错误;5m2 m3=5m5,故B选项正确;(a-b)2=a2- 2ab+b2,故C选项错误;m2 m3=m5
6、,故D选项错误.故选B. 10.(2012 安徽,15,8分)计算:(a+3)(a-1)+a(a-2). 解 原式=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3. 命题点5 因式分解 11.(2020 安徽,12,5分)分解因式:ab2-a=_. 答案 a(b+1)(b-1) 解析 原式=a(b2-1)=a(b+1)(b-1). 12.(2018 安徽,5,4分)下列分解因式正确的是( ) A.-x2+4x=-x(x+4) B.x2+xy+x=x(x+y) C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2 D.x2-4x+4=(x+2)(x-2) 答案 C 13.(2017 安徽,12,5分)因式分
7、解:a2b-4ab+4b=_. 答案 b(a-2)2 解析 原式=b(a2-4a+4)=b(a-2)2. 14.(2016 安徽,12,5分)因式分解:a3-a=_. 答案 a(a+1)(a-1) 解析 原式=a(a2-1)=a(a+1)(a-1). 命题点6 数式规律探索 15.(2017 安徽,19,10分)【阅读理解】 我们知道,1+2+3+n= ,那么12+22+32+n2结果等于多少呢? 图1 ( + 1) 2 在图 1 所示三角形数阵中,第 1 行圆圈中的数为 1,即 12;第 2 行两个圆圈 中数的和为 2+2,即 22;第 n 行 n 个圆圈中数的和为 + + + 个 , 即
8、n2,这样,该三角形数阵中共有n(n+1) 2 个圆圈,所有圆圈中数的和为 12+22+32+n2. 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵 各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现 每个位置上三个圆圈中数的和均为_,由此可得,这三个三角形数阵 所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+n2)=_,因此 12+22+32+n2=_. 图2 【解决问题】 根据以上发现,计算:1 2+22+32+2 0172 1+2+3+2 017 的结果为_. 答案【规律探究】2n+1 (+1)(2+1) 2 (+1)(2
9、+1) 6 【解决问题】 1 345. 解析 【规律探究】 由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由此可得,这 三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: 3(12+22+32+n2)=(2n+1) (1+2+3+n)=(2n+1) (+1) 2 , 因此,12+22+32+n2=(+1)(2+1) 6 . 【解决问题】 原式= 1 62 017(2 017+1)(22 017+1) 1 22 017(2 017+1) =1 3 (2 017 2+1)=1 345. 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点一 代数式(低频考点) 1.代数式的概念 代数式概念:
10、代数式是用基本运算符号 (基本运算包括加、减、乘、除、 乘方和开方)把数 和表示数 的字母 连接起来的式子.单独的一个数或 一个字母是 (填“是”或“不是”)代数式. 2.列代数式(10年2考) 把问题中与数量有关的词语,用含有字母、数字和运算符号的式子表示出 来. 3.代数式求值(10年2考) 代数式的值:用数值代替代数式里的字母 ,计算后所得的结果. 考点二 整式的运算(高频考点) 1.整式的加减 (1)单项式:由数与字母的乘积 组成的代数式叫做单项式(单独的一个数 或一个字母 也是单项式).单项式中的数字 因数叫做这个单项式的系数. 单项式中的所有字母的指数的和 叫做这个单项式的次数.
11、(2)多项式:几个单项式的和 叫做多项式.多项式中的每个单项式叫做多 项式的项 .不含字母的项叫做常数项 .一个多项式中,次数最高 项的 次数,叫做这个多项式的次数. (3)单项式 和多项式 统称为整式. (4)所含字母相同 ,且相同字母 的指数也相同的项叫做同类项,所有的 常数项 都是同类项. (5)合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项 ,叫做合并同类项.合并 同类项的法则为:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的 和,且字母连同它的指数不变. (6)去括号法则:去括号时,如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各 项的符号与原来的符号相同 ;如果括号外的因数是负数,去括号后
12、原括号 内各项的符号与原来的符号相反 . (7)整式的加减:实际上就是去括号和合并同类项.进行整式加减运算的一 般步骤是:根据去括号法则去括号;准确找出同类项,按照合并同类项 法则合并同类项. 2.幂的运算 幂的运算 同底数幂的乘法 am an= am+n 注意: a0,b0,且 m,n都为整数 幂的乘方 (am)n=amn 积的乘方 (ab)n=anbn 商的乘方 = 负整数指数幂 a-p= 1 同底数幂的除法 aman=am-n 3.整式乘法运算(10年9考) 整式的乘 法 单项式与单项式 相乘 把它们的系数 、同底数幂分别相乘,对于只 在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数 作为积的一
13、个因式. 单项式与多项式 相乘 用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积 相加 ,如:m(a+b+c)=ma+mb+mc . 多项式与多项式 相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每 一项,再把所得的积相加 ,如: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb . 乘法公式 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 . 完全平方公式 (ab)2=a22ab+b2 . 4.整式除法运算 整式的除法 单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因 式,对于只在被除式里含有的字母,则连 同它的指数 作为商的一个因式. 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项 式,再把所得
14、的商相加 . 考点三 因式分解(高频考点) 1.概念 把一个多项式化为几个整式的积 的形式叫做因式分解. 注意:(1)因式分解的结果一定要分解到每个因式不能再分解为止;(2)能提 取公因式的一定要提取公因式,特别是数字因式时不能忽略; (3)结果一定 是积的形式. 2.方法(10年8考) (1)提公因式法 ma+mb=m(a+b) . 公因式的确定. 系数:取各项系数的最大公约数 ; 字母:取各项相同 的字母; 指数:取各相同字母的最低 次幂. (2)公式法 (3)因式分解的一般步骤: 一提:若有公因式,应先提公因式; 二套:若各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式.当多项式为两 项时,
15、考虑用平方差公式,当多项式为三项时,考虑用完全平方公式; 三查:检查因式分解是否彻底,是不是分解到每一个多项式都不能再分解. a2-b2(a+b)(a-b); a22ab+b2(ab)2. 考法互动研析考法互动研析 考法1列代数式 例1(2020 安徽模拟)一辆汽车沿一条公路上山,速度是10 km/h,从原路下山, 速度是20 km/h,则这辆汽车上、下山的平均速度是( ) A. km/h B.12.5 km/h C.14.5 km/h D.15 km/h 40 3 答案 A 解析 设路程是 a,则上山的时间是 10小时,下山的时间是 20小时,则平均速度 是 2 10+ 20 = 21020
16、 10+20 = 40 3 km/h. 方法总结 本题主要考查了列代数式的知识,属于平均速度的问题,一般公 式为总路程除以总时间. 对应练1(2020 安徽亳州二模)某公司去年10月份的利润为a万元,11月份比 10月份减少5%,12月份比11月份增加了9%,则该公司12月份的利润为( ) A.(a-5%)(a+9%)万元 B.(a-5%+9%)万元 C.a(1-5%+9%)万元 D.a(1-5%)(1+9%)万元 答案 D 解析 由题意得11月份利润为a(1-5%)万元,则12月份利润为a(1-5%)(1+9%) 万元. 对应练2(2020 河北)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自
17、动加 上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始 显示的分别是25和-16,如图. 第一次按键后,A,B两区分别显示: (1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果; (2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数 吗?说明理由. 解 (1)A区显示结果为:25+a2+a2=25+2a2, B区显示结果为:-16-3a-3a=-16-6a. (2)和不能为负数.理由如下:初始状态按4次后A区显示 为:25+a2+a2+a2+a2=25+4a2, B区显示为:-16-3a-3a-3a-3a=-16-12a, 25+4a2+(-16
18、-12a) =4a2-12a+9=(2a-3)2. (2a-3)20恒成立,故和不能为负数. 考法2求代数式的值 例2(2020 新疆建设兵团)先化简,再求值:(x-2)2-4x(x-1)+(2x+1)(2x-1),其中 x=- . 2 解析 (x-2)2-4x(x-1)+(2x+1)(2x-1) =x2-4x+4-4x2+4x+4x2-1 =x2+3. 当 x=- 2时,上式=(- 2)2+3=5. 方法总结 求代数式的值的问题,我们可以把代数式中的字母的值直接代 入求解,通常的做法是如果代数式能分解因式,那么先分解因式后进行化简, 最后求值.也可以把要求的代数式进行变形,整体代入求解. 对
19、应练3(2020 山东济宁)先化简,再求值:(x+1)(x-1)+x(2-x),其中x= . 1 2 解 原式=x2-1+2x-x2=2x-1. 将 x=1 2代入得,原式=0. 对应练4(2020 贵州黔西南州)如图,是一个运算程序的示意图,若开始输入x 的值为625,则第2020次输出的结果为_. 答案 1 解析 当 x=625时,1 5x=125; 当 x=125时,1 5x=25; 当 x=25时,1 5x=5; 当 x=5时,1 5x=1; 当 x=1时,x+4=5; 当 x=5时,1 5x=1; 依此类推,以 5,1循环. 因为(2 020-2)2=1 009,能够整除, 所以输出
20、的结果是 1. 对应练5(2020 四川成都)已知a=7-3b,则代数式a2+6ab+9b2的值为 _. 答案 49 解析 由题意,得a2+6ab+9b2=(a+3b)2=72=49. 考法3幂的运算 例3(2020 江苏苏州)下列运算正确的是( ) A.a2 a3=a6 B.a3a=a3 C.(a2)3=a5 D.(a2b)2=a4b2 答案 D 解析 a2 a3=a5,故A选项错误;a3a=a2,故B选项错误;(a2)3=a6,故C选项错 误;(a2b)2=a4b2,故D选项正确.故选D. 方法总结 幂的运算问题除了注意底数不变外,还要弄清幂与幂之间的运 算是乘、除还是乘方,以便确定结果的
21、指数是相加、相减还是相乘. 对应练6(2020 四川成都)下列计算正确的是( ) A.3a+2b=5ab B.a3 a2=a6 C.(-a3b)2=a6b2 D.a2b3a=b3 答案 C 解析 3a+2b无法计算,故A选项错误;a3 a2=a5,故B选项错误;(-a3b)2=a6b2,故 C选项正确;a2b3a=ab3,故D选项错误. 对应练7(2020 四川乐山)已知3m=4,32m-4n=2.若9n=x,则x的值为( ) A.8 B.4 C.2 D. 2 2 答案 C 解析 3 2m-4n =32(m-2n)=(3m-2n)2=(3m9n)2, 依题意得 4 2 =2,x0. 4 = 2
22、,x=2 2,故选 C. 考法4整式的运算 例4(2020 贵州黔东南州)下列运算正确的是( ) A.(x+y)2=x2+y2 B.x3+x4=x7 C.x3 x2=x6 D.(-3x)2=9x2 答案 D 解析 (x+y)2=x2+2xy+y2,故A选项错误;x3+x4,不是同类项,无法合并,故B选 项错误;x3 x2=x5,故C选项错误;(-3x)2=9x2,故D选项正确正确. 方法总结 此题主要考查了完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘 法运算和积的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.整式的乘法法 则和除法法则是整式运算的依据,必须在理解的基础上加强记忆,并在运算 时灵活运用法
23、则进行计算.使用乘法公式时,要认清公式中a,b所表示的两 个数及公式的结构特征,不要犯类似下面的错误:(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2. 对应练8(2020 四川遂宁)下列计算正确的是( ) C.(-3a2b)2=6a4b2 D.3a2bb=3a2 A.7ab-5a=2b B. + 1 2 =a2+ 1 2 答案 D 解析 7ab与-5a不是同类项,不能合并,因此选项A不正确;根据完全平方公式 可得 + 1 2 =a2+ 1 2+2,因此选项 B 不正确;(-3a 2b)2=9a4b2,因此选项 C 不正 确;3a2bb=3a2,因此选项 D 正确.故选 D. 对应练9(20
24、20 江苏无锡)若x+y=2,z-y=-3,则x+z的值等于( ) A.5 B.1 C.-1 D.-5 答案 C 解析 x+y=2,z-y=-3, (x+y)+(z-y)=x+z=-1, x+z的值等于-1,故选C. 对应练10(2020 浙江杭州)设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则 P=_. 答案 -3 4 解析 由题意,得(x+y)2=x2+2xy+y2=1,(x-y)2=x2-2xy+y2=4,两式相减得 4xy=-3, 解得 xy=-3 4,则 P=- 3 4. 考法5因式分解 例5(2020 贵州黔东南州)在实数范围内分解因式:xy2-4x=_. 答案 x(y+
25、2)(y-2) 解析 xy2-4x=x(y2-4)=x(y+2)(y-2). 方法总结 因式分解在初中范围内主要有两种方法,一是提取公因式法,二 是运用公式法(即运用平方差公式或完全平方公式).在进行分解因式的时 候,首先看能否提取公因式,然后看能否运用公式.切记:因式分解要进行到 每个因式都不能再分解为止. 对应练11(2020 四川成都)分解因式:x2+3x=_. 答案 x(x+3) 对应练12(2020 山东聊城)因式分解:x(x-2)-x+2=_. 答案(x-2)(x-1) 解析 x(x-2)-x+2=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1). 对应练13(2020 山东济宁)因
26、式分解:ab2-2ab+a=_. 答案 a(b-1)2 解析 ab2-2ab+a=a(b2-2b+1)=a(b-1)2. 考法6数式规律探索 例6(2020 山东聊城)人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形 地砖铺设而成,如图中的每一个小正方形表示一块地砖,如果按图 的次序铺设地砖,第n个图形用图 表示,那么图 中的白色小正方形地砖 的块数是( ) A.150 B.200 C.355 D.505 答案 C 解析 该类规律猜想题可从图形规律、数字规律或函数等角度分析求解. 方法1:根据图形规律可知,白色小正方形地砖的块数分别为: 53-31; 55-32; 57-33; 则图 有白色小正
27、方形地砖的块数是5(2n+1)-3n=7n+5,图 中的白色小 正方形地砖的块数是750+5=355. 方法2:从数字规律考虑,图中白色小正方形地砖的块数分别为 12,19,26,发现相邻两数的差均为7,即有 12=71+5; 19=72+5; 26=73+5; 则图 中白色小正方形地砖的块数是7n+5,图 中的白色小正方形地砖 的块数是750+5=355. 方法3:从函数角度入手考虑,根据题意,初步猜想白色小正方形地砖的块数 s与图形序号n具有一次函数关系,设s=kn+b,把(1,12),(2,19)代入,得 s=7n+5.验证:当n=3时,s=73+5=26,符合题意. 当n=50时,s=
28、750+5=355. + = 12, 2 + = 19.解得 = 7, = 5. 方法总结 一、数式的变化规律 1.找出等式中“变”与“不变”的部分. 2.分析出“变”的规律. 3.常用数字规律有:(1)正整数数列规律:1,2,3,n;(2)奇(偶)数列规 律:1,3,5,2n-1(2,4,6,2n);(3)2,4,8,16,2n;(4)3,9,27,81,3n;(5)正整数 和:1+2+3+n= ;(6)正奇数和:1+3+5+(2n-1)=n2;(7)正偶数 和:2+4+6+2n=n(n+1). n(n + 1) 2 二、图形的变化规律 1.标序号:记每组图形的序号为“1,2,3,n”; 2
29、.数图形的个数:在图形数量变化时,要记下每组图形表示的个数; 3.寻找图形数量与序号n的关系:针对寻找第n个图形表示的数量时,先将后 一个图形的个数与前一个图形的个数进行比较,通常作差(商)来观察是否 有恒定量的变化,然后按照定量变化推导出第n个图形的个数; 4.验证:代入序号验证所归纳的式子是否正确.(注:当图形变化规律不明显 时,可把序号n作为自变量,把第n个图形的个数看作是函数值,设函数解析 式为y=an2+bn+c,再代入三组值进行计算即可,若a=0,则是一次函数) 对应练14(2020 重庆A卷)把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第 个图案中有1个黑色三角形,第个图案中有3个黑
30、色三角形,第个图案 中有6个黑色三角形,按此规律排列下去,则第个图案中黑色三角形 的个数为( ) A.10 B.15 C.18 D.21 答案 B 解析 第个图案中黑色三角形的个数为1, 第个图案中黑色三角形的个数为3=1+2, 第个图案中黑色三角形的个数为6=1+2+3, 第个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5=15. 对应练15(2020 甘肃天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2; 2+22+23+24=25-2;已知按一定规律排列的一组数: 2100,2101,2102,2199,2200,若2100=S,用含S的式子表示这组数据的和是( ) A.2S2-
31、S B.2S2+S C.2S2-2S D.2S2-2S-2 答案 A 解析 由题意得这组数据的和为: 2100+2101+2102+2199+2200 =2100(1+2+299+2100) =2100(1+2101-2) =2100(2101-1) =2100(21002-1), 2100=S, 原式=S(S2-1)=2S2-S. 对应练16(2020 青海)观察下列各式的规律: 13-22=3-4=-1; 24-32=8-9=-1; 35-42=15-16=-1.请按以上规律写出第4个算式_.用含有 字母的式子表示第n个算式为_. 答案 46-52=24-25=-1 n(n+2)-(n+1
32、)2=-1. 解析 13-22=3-4=-1, 24-32=8-9=-1, 35-42=15-16=-1, 46-52=24-25=-1. 所以第4个算式为46-52=24-25=-1. 第n个式子为n(n+2)-(n+1)2=-1. 对应练17(2020 黑龙江绥化)如图各图形是由大小相同的黑点组成,图1中 有2个点,图2中有7个点,图3中有14个点,按此规律,第10个图中黑点的 个数是_. 答案 119 解析 图1中黑点的个数为21(1+1)2+(1-1)=2, 图2中黑点的个数为22(1+2)2+(2-1)=7, 图3中黑点的个数为23(1+3)2+(3-1)=14, 第n个图形中黑点的
33、个数为2n(n+1)2+(n-1)=n2+2n-1, 第10个图形中黑点的个数为102+210-1=119. 数学文化探索数学文化探索 S 数学文化数学文化 杨辉三角 杨辉三角形,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,如图所示.在我国南宋数学 家杨辉所著的详解九章算术(1261年)一书中用三角形解释二项和的 乘方规律,比欧洲的相同发现要早三百多年. G 关联中考关联中考 1.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x- y,x+y,a+b,x2-y2, a2-b2分别对应下列六个字:徽、爱、我、安、游、美.现将(x2-y2)a2-(x2- y2)b2因式分解,结果呈现的密码
34、信息可能是( ) A.我爱美 B.安徽游 C.我爱安徽 D.美我安徽 答案 C 解析 因式分解:(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b),根据 题中的相应式子对应的密码信息可得,结果可能为“我爱安徽”,故选C. 2.(2019 广东)如图所示的图形是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长 度如图所示.小明按图所示方法玩拼图游戏,两两相扣,相互间不留空隙, 那么小明用9个这样的图形(图)拼出来的图形的总长度是 _(结果用含a,b的代数式表示). 图 图 答案 a+8b 解析 由拼成的图形可知,5个水平正放置基本图形的长度为5a,上下图形拼 接部分的长度为4b-(a-b)=8b-4a. 拼成的图形的总长度为5a+(8b-4a)=a+8b.
