1、第第3 3讲讲 分式分式 第一单元第一单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 分式的运算 A.x+1 B.x-1 C.-x D.x 1.(2012 安徽,6,4 分)化简 2 -1 + 1-的结果是( ) 答案 D 解析 原式 = 2 -1 -1 = 2- -1 = (-1) -1 =x,故选 D. 命题点2 分式的化简求值 2.(2015 安徽,15,8 分)先化简,再求值: 2 -1 + 1 1- 1 ,其中 a=- 1 2. 解 2 -1 + 1 1- 1 = 2
2、-1 - 1 -1 1 =(+1)(-1) -1 1 = +1 . 当 a=-1 2时,原式= -1 2+1 -1 2 =-1. 命题点3 分式中的规律型题 3.提示:见第三板块专题四例1. 4.提示:见第三板块专题四例2. 5.(2018 安徽,18,8分)观察以下等式: 第 1个等式:1 1 + 0 2 + 1 1 0 2=1, 第 2个等式:1 2 + 1 3 + 1 2 1 3=1, 第 3个等式:1 3 + 2 4 + 1 3 2 4=1, 第 4 个等式:1 4 + 3 5 + 1 4 3 5=1, 第 5 个等式:1 5 + 4 6 + 1 5 4 6=1, 按照以上规律,解决下
3、列问题: (1)写出第6个等式:_; (2)写出你猜想的第n个等式:_(用含n的等式表示),并证明. 解 (1)1 6 + 5 7 + 1 6 5 7=1. (2)1 + -1 +1 + 1 -1 +1=1. 证明:左边=1 + -1 +1 + 1 -1 +1 = +1+(-1)+-1 (+1) =1,右边=1, 左边=右边,原等式成立. 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点一 分式的概念(低频考点) 概念 (1)形如 (A,B 是整式,且 B 中含有字母 ,B0)的式子. (2)与分式有关的“三个条件”: 分式 无意义的条件:B=0 ; 分式 有意义的条件:B0 ; 分式 值
4、为 0 的条件:A=0 且 B0 . 考点二 分式的基本性质(低频考点) 1.基本性质 (1)分式的分子和分母乘以(或除以)同一个不等于0 的整式,分式的值不变. 即 = , = (C0). (2)符号法则: = - -=- - =- -. 2.分式的约分与通分 (1)约分的概念:把分式的分子与分母的公因式 约去,叫做分式的约分.约 分的结果必须是最简分式 或整式 . (2)最简分式:分子与分母没有公因式 的分式. (3)通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分 式相等的同分母 的分式,这种变形叫分式的通分.通分的关键是确定 最简公分母 . 考点三 分式的运算(中频考点)
5、 1.分式的乘除法 2.分式的乘方 = , = = . = (n 为整数). 3.分式的加减法 4.分式的混合运算(10年4考) 在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后 进行加减运算.遇到有括号的,先算括号里面的. = , = = . 考法互动研析考法互动研析 考法1分式有意义、值为零的条件 例1 (2020 北京)若代数式 有意义,则实数x的取值范围是 _. 1 7 答案 x7 解析 代数式 有意义,分母不能为0,可得x-70,即x7. 1 7 方法总结 1.分式有意义的条件是:分母不等于零.2.分式的值为零的条件是: 分母不等于零,且分子等于零. 对应练 1(
6、2020 甘肃武威)要使分式+2 -1 有意义,则 x 应满足的条件是 _. 答案 x1 解析 当x-10时,分式有意义,x1. 对应练 2(2020 安徽阜阳界首一模)如果分式 +4的值是 0,那么 x 的值是 _. 答案 0 解析 由题意得,x=0. 考法2分式的运算 例 2(2020 山东聊城)计算: 1 + 1- 1 2-=_. 答案 a 解析 含括号的分式混合运算,先算括号里的加法,再算除法;也可利用分配 律进行运算. 方法 1:原式=1-+ 1- a(a-1)= 1 -(-1) a(a-1)=-a. 方法 2:原式= 1- -1 (a 2-a)=a2-a- -1 a(a-1)=a
7、2-a-a2=-a. 方法总结 分式的运算,要注意乘法公式的应用,对于分子、分母是多项式 的,一般先分解因式,整式可以看作是将分母为1的分式通分后进行运算. 对应练 3(2020 天津)计算 (+1)2 + 1 (+1)2的结果是( ) A. 1 +1 B. 1 (+1)2 C.1 D.x+1 答案 A 解析 原式= +1 (+1)2 = 1 +1. 对应练 4(2020 浙江台州)计算1 1 3的结果是_. 答案 2 3 解析 1 1 3 = 3 3 1 3 = 2 3. 考法3分式的化简求值 例 3(2020 四川遂宁)先化简, 2+4+4 2-4 -2 +2 -2 ,然后从-2x2范围内
8、 选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值. 解 原式= (+2)2 (+2)(-2) -( + 2) -2 +2= +2 -2 - 2-4 -2 -2 +2 =- 2+6 -2 -2 +2 =- (+2)(-3) -2 -2 +2=-(x-3)=-x+3. x 2,可取 x=1,则原式=-1+3=2. 方法总结 1.分式化简求值的一般步骤 (1)去括号,先计算括号内的分式运算,括号内若是异分母分式的加减运算,需通分 化为同分母的加减运算,再将分子合并同类项,去掉括号. (2)除法变乘法,利用分式除法运算法则,把除法运算转化为乘法运算. (3)计算分式乘法运算,要利用因式分解、约分来计算. (
9、4)最后按照运算顺序,从左到右计算分式的加减,直到化为最简形式. (5)将所给数值代入求值,代入数值时要注意使原分式有意义. 2.分式化简求值的注意事项 (1)化简求值题一定要做到“先”化简,“再”求值,否则不得分; (2)通分时要记得给不含分母的项乘以最简公分母; (3)分数线有括号的作用; (4)注意化简结果应为最简分式或整式. 对应练 5(2020 山东济宁)已知 m+n=-3.则分式+ - 2-2 -2 的值是 _. 答案 1 3 解析 原式=+ - 2-2-2 =+ - (+)2 = + - (+)2 =- 1 +, m+n=-3,代入,得原式=1 3. 对应练 6(2020 四川自
10、贡)先化简,再求值: +1 2-4 1 +1 + 1 ,其中 x 为不等式 组 + 1 0, 5-2 3 的整数解. 解 原式= +1 (+2)(-2) +2 +1 = 1 -2.解不等式组可得-1x1., x+10,即 x-1,且 x 为整数,x=0,代入,得 1 -2=- 1 2. 对应练 7(2020 贵州黔西南州)先化简,再求值: 2 +1 + +2 2-1 -1,其中 a= 5-1. 解 原式= 2(-1) (-1)(+1) + +2 (-1)(+1) -1 = 3 (-1)(+1) -1 = 3 +1. 当 a= 5-1 时,原式= 3 5-1+1 = 3 5 5 . 考法4分式中
11、的规律型题 例4(2020 四川遂宁)如图所示,将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆 成下列图形,第1幅图中“”的个数为a1,第2幅图中“”的个数为a2,第3幅图 中“”的个数为a3,以此类推.若 (n为正整 数),则n的值为_. 2 1 + 2 2 + 2 3+ 2 = 2 020 答案 4 039 解析 由图形知 a1=1 2,a2=2 3,a3=3 4,an=n(n+1), 2 1 + 2 2 + 2 3+ 2 = 2 020, 2 12 + 2 23 + 2 34+ 2 (+1) = 2 020, 2 (1-1 2 + 1 2 1 3 + 1 3 1 4+ 1 1 +1)= 2 02
12、0, 2 1- 1 +1 = 2 020,1- 1 +1 = 4 040, 解得 n=4 039,经检验,n=4 039是分式方程的解. 对应练8(2020 湖南张家界)观察下面的变化规律: 2 13=1- 1 3 , 2 35 = 1 3 1 5 , 2 57 = 1 5 1 7 , 2 79 = 1 7 1 9,根据上面的规律计算: 2 13 + 2 35 + 2 57+ 2 2 0192 021=_. 答案 2 020 2 021 解析 由题干信息可得到一般规律: 2 = 1 1 (a,b 均为奇数,且 b=a+2).故 2 13 + 2 35 + 2 57+ 2 2 0192 021=
13、1- 1 3 + 1 3 1 5 + 1 5 1 7+ 1 2 019 1 2 021 =1+ 1 3 - 1 3 +( 1 5 1 5)+( 1 2 019 1 2 019)- 1 2 021 =1- 1 2 021 = 2 020 2 021. 对应练9(2019 安徽合肥蜀山校级三模)观察以下等式 第 1个等式: 1- 1 2 1 6=3, 第 2个等式: 1- 1 3 4 12=2, 第 3个等式: 1- 1 4 9 20 = 5 3, 第 4个等式: 1- 1 5 16 30 = 6 4, 第 5个等式: 1- 1 6 25 42 = 7 5, 按照以上规律,解决下列问题. (1)写出第7个等式:_; (2)写出你猜想的第n个等式(n为正整数),并证明. 解 (1)第 7 个等式为 1- 1 8 49 72 = 9 7. (2)第 n 个等式为 1- 1 +1 2 (+1)(+2) = +2 . 证明:左边= +1 (+1)(+2) 2 = +2 =右边, 等式成立.
