1、全国高中数学教师群全国高中数学教师群 276654217 全高中数学资料群全高中数学资料群 515766109 - 1 - 高中学业水平考试模拟测试卷高中学业水平考试模拟测试卷( (五五) ) (时间：90 分钟 满分 100 分) 一、选择题(共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1集合A1，2，3，B2，4，5，则AB( ) A2 B6 C1，3，4，5，6 D1，2，3，4，5 解析：AB1，2，32，4，51，2，3，4，5，故选 D. 答案：D 2设p：log2x 22，q：x2，则 p是q成立的( ) A必要不充分条件
2、B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：由 log2x 22 得，x24，解得 x2，所以p是q成立的必要不充分条件故选 A. 答案：A 3角的终边经过点P(4，y)，且 sin 3 5，则 tan ( ) A4 3 B.4 3 C3 4 D.3 4 解析：因为角的终边经过点P(4，y)， 且 sin 3 5 y 16y 2，所以y3，则 tan y 4 3 4，故选 C. 答案：C 4某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面 至少有( ) A8 桶 B9 桶 C10 桶 D11 桶 解析：易得第一层有 4 桶，第二层最少有
3、3 桶，第三层最少有 2 桶，所以至少共有 9 桶，故选 B. 答案：B 全国高中数学教师群全国高中数学教师群 276654217 全高中数学资料群全高中数学资料群 515766109 - 2 - 5在等差数列an中，a3a4a5a6a7450，则a2a8等于( ) A45 B75 C180 D360 解析：由a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a55a5450，得到a590，则a2a82a5180. 故选 C. 答案：C 6已知过点A(2，m)和B(m，4)的直线与直线 2xy10 平行，则m的值为( ) A8 B0 C2 D10 解析：因为直线 2xy10 的斜率等于2，且过点A(
4、2，m)和B(m，4)的直线与直线 2xy1 0 平行，所以kAB2，所以4m m22，解得 m8，故选 A. 答案：A 7已知向量a( 3，0)，b(0，1)，c(k， 3)，若(a2b)c，则k( ) A2 B2 C.3 2 D3 2 解析：由a( 3，0)，b(0，1)，得a2b( 3，2)，若(a2b)c，则(a2b)c0，所以 3k2 30，所以k2，故选 B. 答案：B 8设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( ) A若l，则l B若l，则l C若l，则l D若l，则l 解析：由，是两个不同的平面，l是一条直线，知： 在 A 中，若l，则l或l，故 A 错误； 在
5、B 中，若l，则l或l，故 B 错误； 在 C 中，若l，则由线面垂直的判定定理得l，故 C 正确； 在 D 中，若l，则l与相交、平行或l，故 D 错误，故选 C. 答案：C 9在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 sin 2Asin2Bsin2C0，a2c2b2ac 0，c2，则a( ) A. 3 B1 C.1 2 D. 3 2 解析：因为 sin 2Asin2Bsin2C0， 所以a 2b2c20，即 C为直角， 因为a 2c2b2ac0， 所以 cos Ba 2c2b2 2ac 1 2，B 3 ， 全国高中数学教师群全国高中数学教师群 276654217 全高中数学资料
6、群全高中数学资料群 515766109 - 3 - 因此accos 3 1.故选 B. 答案：B 10已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足 2Sn2 n1，则 的值为( ) A4 B2 C2 D4 解析：根据题意，当n1 时，2S12a14，当n2 时，anSnSn12 n1. 因为数列an是等比数列，所以a11，故4 2 1，解得2.故选 C. 答案：C 11若以双曲线x 2 2 y 2 b 21(b0)的左、右焦点和点(1， 2)为顶点的三角形为直角三角形，则b等于 ( ) A.1 2 B1 C. 2 D2 解析：由题意， 双曲线x 2 2 y 2 b 21(b0)的左、 右焦点分别为
7、(c， 0)、(c，0)，因为两焦点和点(1， 2) 为顶点的三角形为直角三角形，所以(1c， 2)(1c， 2)0，所以 1c 220，所以 c 3， 因为a 2，所以b1.故选 B. 答案：B 12已知函数f(x)2sin 2x 6 ，若将它的图象向右平移 6 个单位长度，得到函数g(x)的图象， 则函数g(x)图象的一条对称轴方程为( ) Ax 12 Bx 4 Cx 3 Dx2 3 解析：由题意得g(x)2sin2(x 6 ) 6 2sin 2x 6 ，令 2x 6 k 2 ，kZ，得xk 2 3 ，kZ，当k0 时，得x 3 ，所以函数g(x)图象的一条对称轴方程为x 3 .故选 C.
8、 答案：C 13已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段BC的中点，点M是直线BD1上异于B，D1的点，则平面 DEM可能经过下列点中的( ) AA BC1 CA1 DC 解析：连接A1D，A1E，因为A1D1BE，所以A1，D1，B，E四点共面设A1EBD1M， 全国高中数学教师群全国高中数学教师群 276654217 全高中数学资料群全高中数学资料群 515766109 - 4 - 显然平面DEM与平面A1DE重合，从而平面DEM经过点A1.故答案为 C. 答案：C 14已知x、y满足 xy0， xy40， x4， 则 3xy的最小值为( ) A4 B6 C12 D16 解析：由
9、约束条件 xy0， xy40， x4， 作出可行域如图， 联立 xy40， xy0， 解得A(2，2)，令z3xy，化为y3xz，由图可知，当直线y3xz过点A 时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为 4.故选 A. 答案：A 15若正数x，y满足x4yxy0，则 3 xy的最大值为( ) A.1 3 B.3 8 C.3 7 D1 解析： 由x4yxy0 可得x4yxy， 左右两边同时除以xy得1 y 4 x1， 求 3 xy的最大值， 即求 xy 3 x 3 y 3的最小值， 所以 x 3 y 3 1 x 3 y 3 1 y 4 x x 3y 4y 3x 1 3 4 32 x 3y 4y
10、3x 1 3 4 33， 当且仅当 x 3y 4y 3x时取等号， 所以 3 xy的最大值为 1 3.所以选 A. 答案：A 二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分) 全国高中数学教师群全国高中数学教师群 276654217 全高中数学资料群全高中数学资料群 515766109 - 5 - 16函数f(x) 1xx31 的定义域是_ 解析： 要使函数f(x)有意义， 则 1x0， x30，即 x1， x3，解得3x1， 故函数的定义域为3， 1 答案：3，1 17已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为 1， 3，2，则其外接球的半径为_，表 面积为_ 解析：设长方体的外接球
11、的半径为R，则长方体的体对角线长就等于外接球的直径，即 2R 1 2（ 3）222，解得 R 2，所以外接球的表面积为S4R 28. 答案： 2 8 18在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，1)的圆C和直线xy1 相切，且圆心在直线y 2x上，则圆C的标准方程为_ 解析：因为圆心在y2x上，所以可设圆心坐标为(a，2a)，又因为圆过A(2，1)，且圆C和 直线xy1 相切， 所以 （a2） 2（2a1）2|a2a1| 2 ， 解得a1， 所以圆半径r|121| 2 2，圆心坐标为(1，2)，所以圆方程为(x1) 2(y2)22. 答案：(x1) 2(y2)22 19已知函数f(x)是定义
12、在R 上的奇函数，且当x0 时，f(x) 1 2 |x1| m，若函数f(x)有 5 个零点，则 实数m的取值范围是_ 解析：由题意，函数f(x)是奇函数，f(x)有 5 个零点，其中x0 是 1 个，只需x0 时有 2 个零点即 可，当x0 时，f(x) 1 2 |x1| m，转化为函数ym和f(x) 1 2 |x1| 的图象交点个数即可，画出函数的 图象，如图所示 结合图象可知只需1 2m1， 即1m1 2. 全国高中数学教师群全国高中数学教师群 276654217 全高中数学资料群全高中数学资料群 515766109 - 6 - 答案： 1，1 2 三、解答题(共 2 小题，每小题 12
13、 分，共 24 分解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤) 20在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(2ca)cos Bbcos A0. (1)求角B的大小； (2)已知c2，AC边上的高BD3 21 7 ，求ABC的面积S的值 解：(1)因为(2ca)cos Bbcos A0， 所以由正弦定理得(2sin Csin A)cos Bsin Bcos A0， 所以 2sin Ccos Bsin(AB)0，因为ABC且 sin C0， 所以 2sin Ccos Bsin C0，即 cos B1 2. 因为 B(0，)，所以B 3 . (2)因为S1 2acsinABC 1
14、2BDb， 代入c，BD3 21 7 ，sinABC 3 2 ，得b 7 3 a， 由余弦定理得：b 2a2c22accosABCa242a. 代入b 7 3 a，得a 29a180，解得 a3， b 7，或 a6， b2 7， 又因为ABC是锐角三角形， 所以a 2b0)，其右顶点是A(2，0)，离心率为1 2. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C交于两点M，N(M，N不同于点A)，若AM AN0，求证：直线 l过定点，并求 出定点坐标 (1)解：因为椭圆C的右顶点是A(2，0)，离心率为1 2， 所以a2，c a 1 2，所以 c1，则b 3， 所以椭圆的标准方程为x 2 4
15、y 2 31. (2)证明：当直线MN斜率不存在时，设MN：xm， 全国高中数学教师群全国高中数学教师群 276654217 全高中数学资料群全高中数学资料群 515766109 - 7 - 与椭圆方程x 2 4 y 2 31 联立得：|y| 3 1m 2 4 ，|MN|23 1m 2 4 . 设直线MN与x轴交于点B，则|MB|AB|，即3 1m 2 4 2m， 所以m2 7或 m2(舍)， 所以直线l过定点 2 7，0 . 当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：ykxn(k0)， 与椭圆方程x 2 4 y 2 31 联立，得(4k 23)x28knx4n2120， 所以x1x2 8kn 4k 23，x1x24n 212 4k 23，(8kn) 24(4k23)(4n212)0，kR. 所以y1y2(kx1n)(kx2n)k 2x 1x2kn(x1x2)n 2， 由AM AN0，则(x 12，y1)(x22，y2)0，即x1x22(x1x2)4y1y20， 所以 7n 24k216kn0， 所以n2 7k 或n2k，所以直线MN：yk x2 7 或yk(x2)， 所以直线过定点 2 7，0 或(2，0)(舍去)综上知，直线过定点 2 7，0 .
