1、1 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形，E为PD的中点， 若PAa，PBb， PC c，则BE （ ） A 111 222 abc B 111 222 abc C 131 222 abc D 113 222 abc 【答案】C 【解析】 111111 ()() 222222 BEBPBDPBBABCPBBABC 111311131 ()() 222222222 PBPAPBPCPBPBPAPC abc 2如图，在三棱柱 111 ABCABC中，D是棱AB的中点 （1）证明： 1 BC平面 1 ACD； （2）若 1 AA 平面ABC， 2AB ， 1 4BB ，ACBC，E是棱 1
2、BB中点，当二面角 1 EACD的大小为 4 时，求线段DC的长度 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 17 4 【解析】 （1）证明：连结 1 AC交 1 AC于点F，则F为 1 AC的中点， 作业作业6 6 空间向量与立体几何 连结DF，而D是AB中点，则 1 BCDF， 因为DF 平面 1 ACD， 1 BC 平面 1 ACD，所以 1 BC平面 1 ACD （2）因为 1 AA 平面ABC，所以 1 AACD， 又ACBC，D是棱AB的中点，DCAB，所以DC 面 11 ABB A， 以D为原点，过D作AB的垂线为x轴，DB为y轴，DC为z轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 设D
3、C的长度为t，则(0,0, )Ct，(2,1,0)E， 1(4, 1,0) A，(0,0,0)D， 所以 1 (2, 2,0)EA ， 1 ( 4,1, )ACt ， 1 (4, 1,0)DA ，(0,0, )DCt， 分别设平面 1 EAC与平面 1 DAC的法向量为 111 ( ,)x y zm， 222 (,)xy zn， 由 11 111 220 40 xy xytz ，解得 3 (1,1, ) t m，同理可得(1,4,0)n， 由 2 142 cos, 29 17 2 t m n，解得 3 17 4 t ， 所以线段DC的长度为 3 17 4 一、选择题 1给出下列命题：将空间中所
4、有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一 个圆；若空间向量a，b满足ab，则ab；在正方体 1111 ABCDABC D中，必 有 11 ACAC；若空间向量m，n，p满足 mn， np，则mp；空间中任意 两个单位向量必相等其中假命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 2已知(1,0,0)A，(0, 1,1)B，OA OB 与OB的夹角为120，则的值为（ ） A 6 6 B 6 6 C 6 6 D 6 3设x，yR，向量 ( ,1,1)xa，(1, ,1)yb，(2, 4,2)c，且 ac，bc， 则ab（ ） A2 2 B10 C3 D4 4如图是一平行六面体 1111 A
5、BCDABC D，E为BC延长线上一点， 2BCCE ， 则 1 DE （ ） A 1 ABADAA B 1 1 2 ABADAA C 1 ABADAA D 1 1 3 ABADAA 5 在三棱柱 111 ABCABC中， 侧棱 1 BB 底面ABC，BCCA， 点 1 D， 1 F分别是 11 AB， 11 AC的中点，若 1 BCCACC，则异面直线 1 BD与 1 AF所成角的余弦值为（ ） A 30 10 B 1 2 C 30 15 D 15 10 6 在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中， 点E为 1 BB的中点， 则点 1 C到平面 1 AED的 距离为（ ） A 1
6、 2 B 2 3 C1 D 2 2 7如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 22ABBCAA，90ABC，D是BC 的中点，则求直线 1 AB与平面 1 ADC的距离为（ ） A 4 3 B 2 3 C 1 2 D1 8如图，已知梯形CEPD中，8PD，6CE ，A为线段PD的中点，四边形ABCD为 正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE 平面ABCD，得到如图所示的几何体已 知当点F满足(01)AFAB时，平面DEF 平面PCE，则的值为（ ） A 1 2 B 2 3 C 3 5 D 4 5 二、填空题 9 已知平面的一个法向量( 2, ,1)x u， 平面的一个法向量 (1,
7、 2, )yv， 若， 则x y 10 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点， 若由 1 10 OPOA 3 5 OB， 确定的一点P与A，B，C三点共面，则 11在菱形ABCD中，2AB ，60DAB，将菱形沿对角线AC折成直二面角 DACB ，折起后直线AB与 CD 间的距离为 三、解答题 12 如图， 在四棱锥PABCD中，PC 底面ABCD， 底面ABCD是直角梯形，ABAD， ABCD，222ABADCD，E是PB上的点 （1）求证：平面EAC 平面PBC； （2） 若E是PB的中点， 且二面角PACE的余弦值为 6 3 ， 求直线PA与平面EAC所 成角的正弦值 13
8、如图，在四棱锥PABCD中，已知PB 底面ABCD，ABBC，ADBC， 2ABAD，PDCD，异面直线PA与CD所成角等于60 （1）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值的大小？ （2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角ABED的余弦值为 6 6 ？若存在，指出 点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由 一、选择题 1 【答案】C 【解析】假命题，将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一 个球面，而不是一个圆； 假命题，根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同， 但中向量a和b方向不一定相同； 真命题，根据正方体的性质，在正方体 1111
9、ABCDABC D中，向量AC和 11 AC的方向相 同，模长也相等，应有 11 ACAC； 真命题，向量的相等满足递推规律； 假命题，空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等， 故错 2 【答案】C 【解析】(1, )OAOB ，(0, 1,1)OB ，()2OAOBOB， 2OB ， 2 12OAOB， 2 1()2 cos120 2 21 2 OAOBOB OAOB OB ， 所以 2 61且0，故 6 6 3 【答案】C 【解析】bc，24 1y ，2y ，(1, 2,1)b， ac，21 ( 4)20 x a c，1x ，(1,1,1)a， (2, 1,2)a
10、b， 222 2( 1)23 ab 4 【答案】B 【解析】取BC的中点F，连接 1 AF，则 11 ADFE且 11 ADFE， 四边形 11 AD EF是平行四边形， 11 AFD E且 11 AFDE， 11 AFDE 又 111 1 2 AFA AABBFAAABAD ， 11 1 2 D EABADAA 5 【答案】A 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设2BC ， 则(2,0,0)B， 1(1,1,2) D，(0,2,0)A， 1(0,1,2) F， 1 ( 1,1,2)BD ， 1 (0, 1,2)AF ， 所以 11 11 11 330 cos, 1065 BD AF BD A
11、F BDAF ， 所以异面直线 1 BD与 1 AF所成角的余弦值为 30 10 6 【答案】C 【解析】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 1(0,0,1) A， 1 (1,0,) 2 E，(0,1,0)D， 1 (0,1, 1)AD， 1 1 (1,0,) 2 AE ， 设平面 1 AED的一个法向量为(1, , )y zn，则 0 1 10 2 yz z ， 2 2 y z ， (1,2,2)n， 而 11 (1,1,0)AC ， 11 1 AC d n n ， 点 1 C到平面 1 AED的距离为1 7 【答案】B 【解析】由三角形的中位线可证 1 AB平面 1 ADC，而由
12、 111 ABCABC是直三棱柱，且 90ABC， 故以B为原点，以BC，BA， 1 BB分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)B，(0,2,0)A， 1(2,0,1) C，(1,0,0)D， (1, 2,0)AD ， 1 (2, 2,1)AC ， 设平面 1 ADC的一个法向量为( , , )x y zn， 则有 1 0 0 AD AC n n ， 20 220 xy xyz ，取1y ，得(2,1, 2)n， 又 1 (0,0,1)AA ，直线 1 AB与平面 1 ADC的距离为 12 3 AA d n n 8 【答案】C 【解析】因为四边形ABCD为正方形，且平面PAB
13、E 平面ABCD， 所以建立空间直角坐标系（如图所示） ， 又因为8PD，6CE ， 所以(0,0,4)P，(4,4,0)C，(4,0,2)E，(0,4,0)D，(4,0,0)B， 则(4 ,0,0)F， 设平面DEF的一个法向量为( , , )x y zm，则由 0 0 DE DF m m ，取(1, ,22)m， 设平面PCE的一个法向量为( , , )x y zn，则由 0 0 CE EP n n ，取(1,1,2)n， 由题意知530 m n，解得 3 5 二、填空题 9 【答案】 7 2 【解析】，uv， 21 12 x y ，解得4x， 1 2 y ， 7 2 xy 10 【答案】
14、 3 10 【解析】根据P，A，B，C四点共面的充要条件， 知存在实数x，y，z，使得OPxOAyOBzOC成立， 其中1xyz，于是 13 1 105 ，所以 3 10 11 【答案】 2 21 7 【解析】设ACBDO， 在菱形ABCD中，ACBD，折起后AC，BO， OD 两两垂直， 以O为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系 在原菱形中，2AB ，60DAB， 3OAOC ，1OB OD ， (3,0,0)A ，(0, 1,0)B，( 3,0,0)C，(0,0,1) D ， ( 3, 1,0)AB ，(3,0,1)CD ， 设( , , )x y zn，令 0 0 AB CD n n
15、，则 30 30 xy xz ， 令1x ，则3y ， 3z ， (1, 3, 3)n， 又( 3,0,1)AD ，AB与 CD 间的距离 2 21 7 AD n n 三、解答题 12 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 3 【解析】 （1）PC 平面ABCD，AC 平面ABCD， ACPC，2AB ，1ADCD， 2ACBC ， 222 ACBCAB ，ACBC， 又BCPCC，PC 平面PBC，BC 平面PBC， AC 平面PBC AC 平面EAC，平面EAC 平面PBC （2）以C为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)C，(1,1,0)A，(1, 1,0)B，
16、设(0,0, )(0)Pa a ， 则 11 ( ,) 22 2 a E，(1,1,0)CA，(0,0, )CPa， 11 ( ,) 22 2 a CE ， 取(1, 1,0)m，则 0CPCAmm ，m为平面PAC的一个法向量， 设( , , )x y zn为平面EAC的一个法向量，则 0ACCEnn ， 即 0 0 xy xyaz ，取xa，y a ，2z ， 则( , 2)aan 依题意， 2 6 cos, 3 2 a a m n m n m n ，则2a，于是(2, 2, 2)n 设平面PA与平面EAC所成的角为，则 2 sincos, 3 PA PA PA n n n ， 即直线PA
17、与平面EAC所成角的正弦值为 2 3 13 【答案】 （1） 10 10 ； （2）E为棱PA上靠近点A的三等分点，详见解析 【解析】 （1）由题以B为原点，分别以BA，BC，BP所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， 设BCa，BPb， 则(0,0,0)B，(2,0,0)A，(2,2,0)D，(0,0, )Pb，(0, ,0)Ca， 则(2,2,)PDb，(2,2,0)CDa，(2,0,)PAb， 则由PDCD，可得 0PD CD ，即4 4 204aa 又异面直线PA与CD所成角等于60，则 2 41 cos602 2 4 2 2 b b ， 设平面PAD的一个法向量为 11
18、1 ( ,)x y zn， 1 11 00 0 0 yAD xz PA n n ，取 11 1xz，则(1,0,1)n， 又(0,4, 2)PC ， 直线PC与平面PAD所成角的正弦值为 2110 1022 510 （2）假设存在这样的点E， 设PE PA ，且( , , )E x y z，即( , ,2)(2,0, 2)x y z，(2 ,0,22 )E， 设平面BED的一个法向量为 2222 (,)xy zn， 222 22 2 0(1) 0 BExz xy BD n n ，得 2 (1,1, ) n， 又平面ABE的法向量为 3 (0,1,0)n， 23 23 22 23 166 cos, 66 2(1) nn n n nn ，解得 2 3 或2（不合题 意，舍去） ， 存在这样的E点，E为棱PA上靠近点A的三等分点
