1、第二讲第二讲 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于_零的不等式 ax2bxc0(a0) 或 ax2bxc0) (2)计算相应的_判别式_. (3)当_0_时，求出相应的一元二次方程的根 (4)利用二次函数的图象与 x 轴的_交点_确定一元二次不等式的解集 知识点二 三个二次之间的关系 判别式 b24ac 0 0 0)的图象 一元二次方程 ax2 bxc0(a0)的根 有_两相异_实 根 x1，x2(x10(a0) 的解集 x|_xx2或 xx1_ x|xR 且_xx
2、1_ _R_ ax2 bx c0) 的解集 x|_x1x0(a0)恒成立的充要条件是：a0 且 b24ac0(xR) 2ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是：a0 且 b24ac0(0(1，af(x)ag(x)f(x)g(x)； 若 0aag(x)f(x)1，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0； 若 0alogag(x)0f(x)g(x) 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若关于 x 的二次不等式 ax2bxc0.( ) (2)若关于 x 的二次不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bx
3、c0 的两个根是 x1和 x2.( ) (3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.( ) (4)关于 x 的不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.( ) (5)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式 ax2bxc0 的解集是( B ) A ，1 2 B 0，1 2 C(，0) 1 2， D 1 2， 3(必修 5P80A 组 T4 改编)已知集合 Ax|x2x60，则RA 等于( B ) Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|x3 Dx|x2x|x3 解析 x2x60，(x2)(x3)0， x3 或 x
4、3 或 x0， 令 3x22x20，得 x11 7 3 ，x21 7 3 ， 3x22x20 的解集为 ，1 7 3 1 7 3 ， . 题组三 走向高考 5(2019 天津高考)设 xR，使不等式 3x2x20 成立的 x 的取值范围是_ 1，2 3 _. 解析 3x2x20(x1)(3x2)0， (x1) x2 3 01x2 3， x 的取值范围是 1，2 3 . 考点突破 互动探究 考点一 一元二次不等式的解法多维探究 角度 1 不含参数的不等式 例 1 解下列不等式 (1)2x2x30. 分析 (1)将二次项系数化为正数，变为 2x2x30，求方程 2x2x30 的根，若无 根，则解集
5、为 R，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集 解析 (1)化2x2x30， (x1)(2x3)0，即(x1) x3 2 0， x3 2或 x1， 原不等式的解集为(，1) 3 2， . (2)因为 0 的解集为 R. 名师点拨 解一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 (2)判：计算对应方程的判别式 (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根 (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集 角度 2 含参数的不等式 例 2 解下列关于 x 的不等式： (1)ax2(a1)x10(aR)； (2)x22ax20(
6、aR)； 分析 (1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论 a 与 0 的关系，并注 意根的大小关系，即讨论1 a与 1 的关系，故需分 a0，a0,0a1 五种情况求解； (2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系； 解析 (1)若 a0，原不等式等价于x10，解得 x1. 若 a0，则原不等式等价于 x1 a (x1)0，解得 x1 a或 x1. 若 a0，原不等式等价于 x1 a (x1)0. 当 a1 时，1 a1， x1 a (x1)0 无解； 当 a1 时，1 a1，解 x1 a (x1)0 得1 ax1； 当 0a1 时，1 a1，
7、解 x1 a (x1)0 得 1x1 a. 综上所述：当 a0 时，解集为 x x1 a或x1 ；当 a0 时，解集为x|x1；当 0a 1 时，解集为 x 1x1 a ；当 a1 时，解集为；当 a1 时，解集为 x 1 ax1 . (2)对于方程 x22ax20，因为 4a28，所以当 0，即 2a 2时，x22ax 20 无实根又二次函数 yx22ax2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为； 当 0，即 a 2时，x22ax20 有两个相等的实根， 当 a 2时，原不等式的解集为x|x 2， 当 a 2时，原不等式的解集为x|x 2； 当 0，即 a 2或 a 2时，x22ax20 有
8、两个不相等的实根，分别为 x1a a22，x2a a22，且 x1x2，所以原不等式的解集为x|a a22xa a22 综上，当 a 2或 a 2时，解集为x|a a22xa a22；当 a 2时，解 集为x|x 2；当 a 2时，解集为x|x 2；当 2a 2时，解集为. 名师点拨 含参数的不等式的求解往往需要分类讨论 (1)若二次项系数为常数，若判别式 0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分 点由 x1x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若 0，则结合二次 函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由 0 确定) (2)若二次项系数为参
9、数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、 小于零，以便确定解集形式 (3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零 (4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于 1 分类求解，注意 对数的真数必须为正 变式训练 1 (1)(角度 1)(2021 北京市海淀区期末)不等式 x22x30 的解集为( D ) Ax|x1 Bx|x3 Cx|1x3 Dx|3x1 (2)(角度 2)解不等式 x2(a1)xa0(aR) 解析 (1)由 x22x30 得(x3)(x1)0，解得3x1 时，x2(a1)xa0 的解集为x|1xa， 当 a
10、1 时，x2(a1)xa0 的解集为， 当 a1 时，x2(a1)xa0 的解集为x|ax0 的解集是 x|1 2x 1 3 ，则不等式 x2bxa0 的解集是( B ) Ax|2x3 Bx|x2 或 x3 C x|1 3x0 在区间1,5上有解，则 a 的取值范围是( A ) A 23 5 ， B 23 5 ，1 C(1，) D ，23 5 分析 (1)利用根与系数的关系求解 (2)令 f(x)x2ax2， a280 恒成立， 又两根之积为负值， 所以只要 f(1)0 或 f(1)0，于是得解；思路二：“正难则反”，求 x2ax20 在区间1,5上恒成立的 a 的取 值集合，只需 f(5)0
11、，再求其补集即可；思路三：分离参数 解析 (1)不等式 ax2bx10 的解集是 x|1 2x 1 3 ， ax2bx10 的解是 x11 2和 x2 1 3，且 a0， 方程 f(x)0，有两个不等实根，又两根之积为负， 方程有一正根和一负根 解法一：不等式 x2ax20 在区间1,5上有解，只要 f(1)0 或 f10. 解得 a1 或 23 5 a0 在区间1,5上有解的 a 的取值范围是 23 5 ， . 解法三：x2ax20 在区间1,5上有解a2 xx 在1,5上有解af(x)min(记 f(x) 2 xx， x1,5)，显然 f(x)为减函数，f(x)minf(5)23 5 ，a
12、23 5 . 引申若不等式 x2ax20 在区间1,5上有解，则 a 的取值范围是_(，1)_. 解析 由例 3(2)的解析知，不等式 x2ax20 在区间1,5上有解，a2 xx，x1,5有 解，显然 g(x)2 xx 在1,5上递减，gmax(x)g(1)1，a1. 名师点拨 已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求 出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0， 2) 变式训练 2 (1)关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x115，则 a( A ) A5 2 B7 2 C15
13、4 D15 2 (2)(2021 九江模拟)若关于 x 的不等式 x24x2a0 在区间(1,4)内有解，则实数 a 的取 值范围是( A ) A(，2) B(2，) C(6，) D(，6) 解析 (1)解法一：由题意知 x1，x2是方程 x22ax8a20 的两根，则 x1x22a，x1x2 8a2.又 x2x115， (x2x1)2(x1x2)24x1x24a232a236a2152.a0， a15 6 5 2，故选 A 解法二：由 x22ax8a2(x2a)(x4a)0，不等式的解集为(2a,4a) 又不等式的解集为(x1，x2)，x12a，x24a.x2x14a(2a)6a15，a5
14、2， 故选 A (2)解法一：由函数 f(x)x24x2a 图象的对称轴为 x2.不等式 x24x2a0 在 区间(1,4)内有解f(4)0，即 a0 在区间(1,4)内有解等价于 a(x24x2)max， 令 g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a2.故选 A 考点三 一元二次不等式恒成立问题师生共研 例 4 已知 f(x)mx2mx1. (1)若对于 xR，f(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2)若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求实数 m 的取值范围； (3)若对于|m|1，f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围 分析 (1)二次项系数含有字母 m
15、，应分 m0 和 m0 讨论求解；(2)数形结合，分类讨 论；(3)把二次不等式转化为含 m 的一次不等式，根据一次函数的性质求解 解析 (1)要使 mx2mx10 恒成立， 若 m0，显然10； 若 m0，则 m0， m24m0 4m0. 所以 m 的取值范围为(4,0 (2)要使 f(x)m5 在1,3上恒成立， 只需 mx2mxm0， 所以 m 6 x2x1.令 y 6 x2x1 6 x1 2 23 4 . 因为 t x1 2 23 4在1,3上是增函数， 所以 y 6 x2x1在1,3上是减函数 因此函数的最小值 ymin6 7. 所以 m 的取值范围是 ，6 7 . (3)将不等式
16、f(x)0 整理成关于 m 的不等式为(x2x)m10. 令 g(m)(x2x)m1，m1,1 则 g10， g10 即 x2x10， x2x10， 解得1 5 2 x0( 或 0) 对 于 一 切 x R 恒 成 立 的 条 件 是 a0， b24ac0或0. (2) 一 元 二 次 不 等 式 ax2 bx c0( 或 0) 对 于 一 切 x R 恒 成 立 的 条 件 是 a0， b24ac0或0. 2在给定某区间上恒成立 (1)当 xm，n，f(x)ax2bxc0 恒成立，结合图象，只需 f(x)min0 即可； (2)当 xm，n，f(x)ax2bxc0 恒成立，只需 f(x)ma
17、x0 即可 3解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是 自变量，求谁的范围，谁就是参数 4“不等式 f(x)0 有解(或解集不空)的参数 m 的取值集合”是“f(x)0 的解集为”即“f(x)0 恒成立” 注意：ax2bxc0 恒成立 ab0 c0 或 a0 b24ac0 ； ax2bxc0 恒成立 ab0 c0 或 a0 b24ac0 . 变式训练 3 (1)若不等式(a3)x22(a3)x40 对一切 xR 恒成立， 则实数 a 取值的集合为( D ) A(，3) B(1,3) C1,3 D(1,3 (2)(2021 山西忻州第一中学模拟)已知关于 x 的不
18、等式 x24xm 对任意的 x(0,1恒成 立，则有( A ) Am3 Bm3 C3m0 Dm4 (3)已知对于任意的 a1,1，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值总大于 0，则 x 的取值 范围是( B ) Ax|1x3 Bx|x3 Cx|1x2 Dx|x2 解析 (1)当 a3 时，40 恒成立； 当 a3 时， a3， 4a3216a30， 解得1a3.所以10， g10 x23x20， x25x60 x3，故选 B 名师讲坛 素养提升 一元二次方程根的分布 设一元二次方程 ax2bxc0(a0)，记 f(x)ax2bxc. (1)方程无根 b24ac0，记其根为 x1，x2且 x
19、10 b24ac0， x1x2b a0， x1x2c a0. 或 x10 0， af00， b 2a0； x100 x1x2c a0 或 x10 x2af(0)0； x1x20， x1x2b a0， 或 x1x20， af00， b 2ax1k 0， afk0， b 2ak， x1kx2af(k)0； x1x20， afk0， b 2ak. mx1n0， afn0； x1mx2n afm0； mx1x20， afn0， m b 2a0. x1mnx2 afm0， afn0. mx1nx2p fm fn0， fn fp0. (1)一根在(1,2)内，另一根在(1,0)内应满足 f1f20 f0f
20、10 即 m2m10 2m3m0 ，解得 1 2m0. (2)一根在(1,1)内，另一根不在(1,1)内，应满足 f(1)f(1)0，即(2m1)(2m3)1 2或 m 3 2，又m10，m1， m 范围 ，3 2 1 2，1 (1，) (3)一根小于 1，另一根大于 2，应满足 m1f10 m1f20 即 m12m10 m1m0 解得：0m1. (4)一根大于1，另一根小于1， 应满足(m1)f(1)0，即(m1)(2m3)1 或 m3 2. (5)两根都在(1,3)内，应满足 0 1m1 m10 m1f30 ， 解得：3 2m0 m1f00 ，解得：0m1. (7)两根都小于 1，应满足：
21、 0 m1 m10 ， 解得：m1 或 m1 2. (8)在(1,2)内有解应满足 0 1m1 m10 m1f20 或 f(1)f(2)0 解得1 2m0， 经检验 m1 2及 m0 都不合题意舍去， 1 2m0. 变式训练 4 (1)(2021 山东实验中学诊断)如果方程 x2(m1)xm220 的两个实根一个小于 1，另 一个大于 1，那么实数 m 的取值范围是_(2,1)_. (2)若方程 x2(k2)xk0 的两实根均在区间(1,1)内，则 k 的取值范围为_42 3 k1 2_. 解析 (1)记 f(x)x2(m1)xm22，由题意可知 f(1)m2m20，解得2m1. (2)由题意得， 0， 1k2 2 0， f10. 解得42 3k1 2.
