1、第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示 回归课本 1.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果e ,e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这 1 2 一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 、 ,使 12 a= e + e . 1 12 2 其中,不共线的向量e ,e 叫做表示这一平面内所有向量的一 1 2 组基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分 解. (3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴 y轴方向相同的两个单 位向量e ,e 作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有 1 2 一对实数a 、a
2、 ,使a=a e +a e .把有序数对(a ,a )叫做向 121 12 21 2 量a的坐标,记作a=(a ,a ),其中a 叫a在x轴上的坐标,a 叫a 1 212 在y轴上的坐标. OA 设=a e +a e ,则向量 OA 的坐标(a ,a )就是终点A 1 1 2 2 1 2 的坐标,即若=(a ,a ),则A点坐标为(a ,a ),反 OA1 21 2 之亦成立(O是坐标原点). 2.平面向量的坐标运算 (1)加法 减法 数乘运算 向量 aba+ba-ba 坐标 (x ,y ) (x ,y )(x +x ,y +y )(x -x ,y -y )(x ,y ) 1 12 212 1
3、212 1211 (2)向量坐标的求法 已知A(x ,y ),B(x ,y ),则=(x -x ,y -y ),即一个向量的 AB1 12 22 1 2 1 坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x ,y ),b=(x ,y ),其中b0,则a与b a=b x y- 1 2 1 12 2 x y =0. 2 1 考点陪练 1.下列各组向量中,可以作为基底的是() A.e =(0,0),e =(1,-2) 12 B.e =(-1,2),e =(5,7) 12 C.e =(3,5),e =(6,10) 12 1 3 2 4 D.e =(2,-3),e =
4、, 12 解析:根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才可以作 为平面内的一组基底.A中显然e e ;C中e =2e ,所以 1221 e e ;D中e =4e ,所以e e . 121212 答案:B 2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于() A.(-5,14) C.(7,4) B.(5,14) D.(5,9) 解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14). 答案:A 3.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c=() A.(-15,12) C.-3 B.0 D.-11 解析:a+2b=(1,-2)+
5、2(-3,4)=(-5,6), (a+2b)c=-3. 答案:C 4 .已知向量OA (1,3),OB (2,1),OC (m 1, m 2). 若点A B C能构成三角形,则实数m应满足的条件是( ) 1 A.m 2 B.m 2 C.m 1D.m 2 解析:由题意AC (m,m 1), BC (m 1,m 1),因为A B C 能构成三角形,所以AC BC,即有m m 1 m 1 m 1 , 得到m 1,故选C. 答案:C 5 .已知向量a (1, 3), b 2,0 ,则 a b _ . 解析:(1, 3 ), a b 1 3 2. 答案:2 类型一平面向量基本定理的应用 解题准备:已知e
6、 ,e 是平面的一组基底,如果向量a,e ,e 共面, 1 21 2 那么有且只有一对实数 , ,使a= e + e .反之,如果有 1 21 12 2 且只有一对实数 , ,使a= e + e ,那么a,e ,e 共面.这 1 21 12 21 2 是平面向量基本定理的一个主要考查点,也是高考本部分 知识考查的重点内容. 11 【典例1】如图,在中 OC OA,OD OB, AD与BC 42 交于点M,设OA a,OB b,以 a, b 为基底表示OM. 解设OM ma nb(m,n R), AM OM OA (m 1)a nb, 11 AD OD OA b a a b,因为A M D三点共
7、线, 22 m 1 n ,即m 2n 1. 1 所以 1 2 1 而CM OM OC (m )a nb,CB OB OC 4 1 4 m 11n b a a b,因为C M B三点共线,所以 , 1 441 4 即4m n 1. 1 m m 2n 1 由 4m n 1 1 3 .所 以OM a b. 7 7 7 ,解得 3 7 n 反思感悟(1)本题先利用平面向量基本定理设出未知向量, 然后利用共线向量的条件列出方程组,通过待定系数法从 而确定参数的值. (2)由平面向量基本定理知:平面内的任一向量都可用两个不 共线的向量惟一表示,根据向量的加法和减法法则及几何 性质即可解题. 类型二平面向量
8、的坐标运算 解题准备:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标 来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起 来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量 运算. 【典例2】已知A 2,4 ,B 3,1 ,C 3,4 ,且CM 3CA, CN 2CB,求M N及M N的坐标. 解4 ,B 3,1 ,C 3,4 , CA (1, 8),CB (6, 3). CM 3CA (3, 24),CN 2CB (12, 6). x 3 3, 设M x, y ,则CM (x 3, y 4) (3, 24), y 4 24, x 0, M 0, 20 . y 20. 同理可求N 9,2 ,因
9、此MN (9,18). 所求M 0, 20 , N 9, 2 ,MN (9,18). 反思感悟由A B C三点坐标易求得 C A、 C B坐标,再根据向 量坐标的定义就可以求出M N的坐标. 向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点 终点 相对 位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将 向量坐标看作一“整体”,运用方程的思想求解.向量的坐 标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须灵活应用. 类型三平面向量共线的坐标表示 解题准备:两平面向量共线的充要条件有两种形式:若 a=(x ,y ),b=(x ,y ),则ab的充要条件是x y -x y =0;若 1 12 21 2
10、 2 1 ab(a0),则b=a. 【典例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回 答下列问题: (1)求3a+b-2c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc)(2b-a),求k; (4)若(d-c)(a+b),且|d-c|=1,求d. 分析(1)直接用向量加减法的坐标运算公式. (2)借助于向量相等的条件,建立关于m,n的方程组. (3)利用向量共线的充要条件,建立关于实数k的充要条件. (4)利用(d-c)(a+b)及|d-c|=1建立关于x,y的方程组. 解(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1) =(9,
11、6)+(-1,2)-(8,2) =(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)a=mb+nc, (3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n), 5 m m 4n 3 2m n 2 , 解得 9 . 8 n 9 (3)(a+kc)(2b-a), 又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k= 16 . 13 (4)设d=(x,y), d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4). 又(d-c)(a+b)且|d-c|=1, 4(x 4) 2(y 1) 0 , (x 4)2(y 1) 2 1 55 x 4 y 1
12、x 4 y 1 55 解得或 . 2 5 2 5 55 20 5 5 2 520 5 5 2 5 d ,或d ,. 5555 反思感悟向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引 入向量的坐标表示后,可以使向量的运算完全化为代数运 算.这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起.因此,很 多几何问题,特别是共线 共点等较难问题的证明,通过建立 坐标系,设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决.如:要证 平行,只需相关向量共线,要证垂直,只需相关向量数量积等 于0. 错源一遗漏零向量 【典例1】若a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行,求m的值. 错解因为b=(m,-m)=m(1,-1), 令c=(
13、1,-1),bc, 又ab,所以ac, 即3(-1)-1(2-m)=0,解得m=5. 剖析零向量与任一向量平行,当m=0时,b为零向量,也与a平 行. 正解由ab,得-3m-m(2-m)=0, 即m2-5m=0,解得m=5或m=0, 所以m的值为0或5. 评析零向量与任一向量都是平行(共线)向量,这是在解题中 常常容易被忽视的. 错源二忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例2】已知OA a,OB b,OC c,OD d,OE e,设t R, 如果3a c, 2b d, e t a b ,那么t为何值时, C D E三点在 一条直线上? 剖析本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决, 但在
14、得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时,容易 忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了当a,b 共线时,t可为任意实数这个解. CD正解由题设知, 3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k, 使得 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t- =d-c=2b-3a,=e-c=(t- CE CE k CD, 3+3k)a=(2k-t)b. 若a,b共线,则t可为任意实数; t 33k 0, 6 若a,b不共线,则有解之得 t . 6 5 t 2k 0, ,t .综上,a,b共线时,t可为任意实数;a,b不共线时 5 评析平面向量基本定理 如果e ,e 是一
15、平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的 1 2 任一向量a,有且只有一对实数 ,使a= e + e ,特别地 121 12 2 ,当a=0时, = =0,本题在a,b不共线时,就是根据这个定理 12 得出的方程组.在平面向量的知识体系里,平面向量基本定 理是基石,共线向量定理是重要工具,在复习这部分时要充 分注意这两个定理在解决问题中的作用,在使用平面向量 基本定理时要注意其使用是两个基向量不共线. 技法一基向量法 【典例1】在下图中,对于平行四边形ABCD,点M是AB的中点 1 ,点N在BD上,且.求证:M、N、C三点共线. BN BD 3 解题切入点欲证M、N、C三点共线,只需证向量MN
16、 MC, 也即只需选择一组基底来表示这两个向量,然后证存在实数, 使得MN MC成 立. 证 明令AB e , AD e , 12 11 1 有BD BA AD e e , BN BD e1 e , 122 33 3 1 MB e , BC AD e . 12 2 11 1 1 MC MB BC e e ,MN MB BN e e e 12112 22 3 3 1 1 1 1 e e e e . 2 121 6 3 3 2 1 MN MC.可得M、N、C三点共线. 3 方法与技巧本题的关键是在几何图形中选一对不共线 向量,进一步表示出我们需要的向量MN、 MC,再证明向量 共 线,从而得点共线
17、,这是证明三点共线常用的方法. 本方法常称作基向量法. 技法二方程的思想 【典例2】已知A 1,2 ,B 2,1 ,C 3, 2 ,D 2,3 ,以AB、 AC 为一组基底来表示AD BD CD. 解, 3), AC (2, 4), AD (3, 5), BD (4, 2), CD (5, 1), AD BD CD (12, 8). 由平面向量基本定理,一定存在实数x、y,使得 AD BD CD x AB y AC,即 12, 8 x 1, 3 y 2, 4 . x 2y 12, x 32, 解得 3x 4y 8,y 22. AD BD CD 32AB 22AC. 方法与技巧重视平面向量基本定理的应用,同时体现了方程 的思想,用对应系数相等建立方程组. 技法三函数的思想 【典例3】已知a=(-3,2),b=(2,1),求|a+tb|(tR)的最小值及相 应的t值. 解a tb 3,2 t 2,1 2t 3,t 2 , a tb (2t 3) (t 2) 2 2 5t 8t 13 2 2 4 49 7 5 5 t , 5 5 5 47 5 即当t 时, a tb 有最小值 . 55 方法与技巧实质上是利用配方法求|a+tb|的最小值.
