1、高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 概述： 在近几年的高考试题中， 两点间的距离公式、 中点坐标公式、 直线方程的点斜式、 斜截式、 一般式、 斜率公式及两条直线的位置关系， 圆的方程及直线与圆、 圆与圆的位置 关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透， 综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考 命题的大热门， 应当引起特别注意， 考查的数学思想方法， 主要是数形结合、 分类讨论、 方程的思想和待定系数法等. 知识网络 第四章平面解析几何初步 平 面 解 析 几 何 直角坐标系中的基本公式 两点间距离公式 中点
2、公式 直线 直线的倾斜率与斜率 直线方程 点斜式方程 两点式方程 一般式方程 斜截式方程 截距式方程 两条直线的位置关系 重合与平行 相交垂直 点到直线的距离 圆 圆的方程 直线与圆、 圆与圆的位置关系 圆的标准方程 圆的一般方程 空间直角坐标系空间两点间的距离公式 38 第四章平面解析几何初步 4.1直线与方程 一、 知识图表 直 线 基 本 概 念 直线的倾斜角0180 直线的斜率 k=tan k=y2-y1 x2-x1 （x1x2） 直线l1到l2的角（方向角） 范围 （0，） 当90tan= k2-k1 1+k1k2 相交直线l1与l2的夹角， 范围0， 2 2? ， 当90， 则有t
3、an= k2-k1 1+k1k2 . 名称方程适用范围 点斜式方程y-y0=k（x-x0）不能表示的直线为垂直于x轴的直线. 斜截式方程y=kx+b不能表示的直线为垂直于x轴的直线. 两点式方程 y-y1 y2-y1 = x-x1 x2-x1 不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线. 截距式方程 x a + y b =1 不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过 原点的直线. 一般式方程ax+by+c=0能表示任何一条直线. 两条直线 l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2 l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2=0 平行k1=k2且b1b2 A1B2-A2B1=0，B1
4、C2-B2C10 （或 A1C2-A2C1 0） 重合k1=k2， 且b1=b2A1=A2，B1=B2，C1=C2（0） k1k2A1B2-A2B10 直 线 方 程 的 五 种 形 式 直线的交角 相交 （垂直） k1k2=-1A1A2+B2B1=0 两 条 直 线 的 位 置 关 系 直 线 系 方 程 平行直线系与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C=0 垂直直线系与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C=0 过两直线交点 直线系 过两直线 l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2= = 0 的交点的直线系方程 A1x+B1y+C1+（
5、A2x+B2y+C2）=0（为参数，A2x+B2y+C2=0不包 括在内） x1=x2时， 直线的斜 率 不 存 在 ， 倾 斜 角 为 90. 要点提示: 直线方程是表述直 线上任意一点M的坐标 x与y之 间 的 关 系 式 ， 由斜率公式可导出直线 方程的五种形式.这五 种形式各有特点又相互 联系， 解题时具体选取 哪一种形式， 要根据直 线的特点而定. 要点提示: 处理两直线位置关 系的有关问题时， 要注 意其满足的条件.如两 直线垂直时， 有两直线 斜率都存在和斜率为0 与斜率不存在的两种直 线垂直. 要点提示: 39 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE
6、GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 1.直线的方程和方程的直线 若直线l的方程记为f（x，y）=0， 则需满足两个条件： （1） 直线l上的每一个点， 其坐标都是方程f（x，y）=0的解； （2） 坐标满足方程f（x，y）=0的点都在直线l上. 2.直线的倾斜角：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地， 当直线与x 轴平行或重合时， 我们规定它的倾斜角为0度.因此， 倾斜角的取值范围是00） 其中r为圆的半径，（a，b） 为圆心. 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F0）， 其中圆心为-D 2 ，-E 2 2? ， 半径为1 2
7、 D2+E2-4F姨. 圆 系 方 程 过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+ Dx+Ey+F+（Ax+By+C）=0 过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+D2x+E2y+F2)=0（-1） 该方程不包括圆C2. 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 几何法 圆心到 直线的距 离为d， 圆半径为r 代数法 直线与圆的方程联立方程组 直线与圆相离dr0 直线与圆相切d=r=0 直线与圆相交drr1+r2d=r1+r2r
8、1-r2dr1+r2 内切内含 d=r1-r2d0. 要点提示: 设 两 圆C1：x2+y2+ D1x+E1y+F1=0，C2：x2+ y2+D2x+E2y+F2=0.若两圆 相交， 则两圆的公共弦 所 在 的 直 线 方 程 是 （D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1- F2）=0. 要点提示: 41 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 1.曲线与方程： （1） 在直角坐标系中， 如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为
9、坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程； 这条曲线叫做方程的曲线 （图形）. （2） 曲线和方程的关系， 实质上是曲线上任一点M（x，y）的坐标与方程f（x，y）=0的一种关系， 曲线上任一点 （x，y） 是方程f（x，y）=0的解； 反过来， 满足方程f（x，y）=0的解所对应的点是曲 线上的点. 注： 如果曲线C的方程是f（x，y）=0， 那么点P0（x0，y0）在曲线C上的充要条件是f（x0，y0）=0. 2.圆的标准方程： 以点C（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b）2=r2. 特例： 圆心在坐标原点， 半径为r的圆的方程是：x2+y2=r2.
10、特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程（x-a）2+（yb）2=b2 r=b， 圆心 （a，b） 或 （a，-b）； 与y轴相切的圆方程 （xa）2+（y-b）2=a2r=a， 圆心 （a，b） 或 （-a，b）； 与x 轴、 y轴都相切的圆方程 （xa）2+（ya）2=a2r=a， 圆心 （a，a. 3.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. 当D2+E2-4F0时， 方程表示一个圆， 其中圆心 C - D 2 ，-E 2 2? ， 半径r= D2+E2-4F姨 2 . 当D2+E2-4F=0时， 方程表示一个点-D 2 ，-E 2 2?. 当D2+E2-4F0. 4.圆的切线方程： 圆x
11、2+y2=r2的斜率为k的切线方程是y=kx1+k2r姨， 过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 上一点P（x0，y0） 的切线方程为x0 x+y0y+Dx+x0 2 +E y+y0 2 +F=0. 二、 重要概念剖析 例根据下列条件求圆的方程： （1） 经过坐标原点和点P（1，1）， 并且圆心在直线2x+3y+1=0 上； （2） 已知一圆过P（4，-2）、Q（-1，3）两点， 且在y轴上截得的线段 长为43 姨 ， 求圆的方程. 思路引导：设圆的方程， 求解相应系数. 解： （1） 显然， 所求圆的圆心在OP的垂直平分线上， OP的垂直平分线方程为x2+y2姨=（x-1）2+（y-1）2姨，
12、 即x+y-1=0. 解方程组 x+y-1=0 2x+3y+1= ? 0 得圆心C的坐标为 （4，-3）. 又圆的半径r=|OC|=5， 所求圆的方程为（x-4）2+（y+3）2=25. 三、 学习方法引导 42 第四章平面解析几何初步 （2） 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将P、Q点的坐标分别代入得： 4D-2E+F=-20，D-3E-F=10， 令x=0， 得y2+Ey+F=0， 由已知|y1-y2|=43 姨 ，（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=E2-4F=48， 解得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4， 故所求圆的方程为x2+y2-
13、2x-12=0或x2+y2-10 x-8y+4=0. 四、 高考回眸 1.（2016 全国） 圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0 的距离为1， 则a=（） A. - 4 3 B. - 3 4 C.3姨D. 2 答案：A 2.（2016 北京文） 圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 （） A. 1B. 2C.2姨D. 22姨 答案：C 4.3空间直角坐标系 一、 知识图表 空 间 直 角 坐 标 系 建立坐标系 右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直， 分别指向右手的拇指、 食指、 中指. 坐标确定 过P作三个平面分别与x 轴、 y 轴
14、、 z轴垂直于A、B、C， 点A、B、C在x 轴、 y 轴、 z轴的坐标分别是a、b、c， 则 （a，b，c） 就是点P的坐标. 空间两点的中点 坐标公式 已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2）， 则线段PQ 的中点坐标为 x1+x2 2 ， y1+y2 2 ， z1+z2 2 2? . 空间两点间距离 公式 已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2）， 则两点的距离 为PQ=（x1-x2）2+（y1-y2）2+（z1-z2）2 姨. 球面方程 以C（x0，y0，z0） 为球心，r为半径的球面方程为（x-x0）2+（y- y0）2+（z-z0）2=r2. 名
15、师经验谈：求圆的方 程 时 一 般 用 待 定 系 数 法 ： 若 已 知 条 件 与 圆 心、 半径有关， 可先由 已 知 条 件 求 出 圆 的 半 径， 用标准方程求解； 若条件涉及过几点， 往 往可考虑用一般方程； 若所求的圆过两已知圆 的交点， 则一般用圆系 方程 高考命题趋势：圆锥曲 线部分的内容是高考的 热点， 圆与直线问题多 属 易 题 ， 考 查 基 础 知 识. （1） 在x轴上的点分 别可以表示为 （a，0，0）， （，b，0），（0，0，c）. 在 坐 标 平 面xOy，xOz， yOz内的点分别可以表示 为 （a，b，0）， （a，0， c），（0，b，c）. 要点提
16、示: （2） 特殊地,以原点 为球心, r为半径的球面 方程为x2+y2+z2=r2. 43 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 1.已知点的坐标P（x，z，z）， 作点的方法与步骤： 沿x轴正方向 （x0时） 或负方向 （x0时） 或负方 向 （y0时） 或负方向 （z0时） 移动z个单位， 即可 作出点. 2.已知点的位置求坐标的方法： 过P作三个平面分别与x 轴、 y 轴、 z轴垂直于A、B、C， 点A、B、C在x 轴、 y 轴、 z轴的坐 标分别是a、b、c， 则 （a，b，c） 就是点P的坐标.
17、3.空间中常见对称问题总结： 点P（a，b，c） 关于x轴的对称点的坐标为 （a，-b，-c）； 点P（a，b，c） 关于y轴的对称点的坐标为 （-a，b，-c）； 点P（a，b，c） 关于z轴的对称点的坐标为 （-a，-b，c）； 点P（a，b，c） 关于坐标平面xOy的对称点为 （a，b，-c）； 点P（a，b，c） 关于坐标平面xOz的对称点为 （a，-b，c）； 点P（a，b，c） 关于坐标平面yOz的对称点为 （-a，b，c）； 点P（a，b，c） 关于原点的对称点 （-a，-b，-c）. 二、 重要概念剖析 例已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A（-1，-1，2）， 点B是 平面xOy内的直线x+y=1上的动点，A、B两点的最短距离是 （） A.6姨B. 34姨 2 C. 3D. 17姨 2 思路引导：找准动点坐标， 利用公式计算. 解： d=（-1-x）2+（-1-1+x）2+（2-0）2姨= 2 x- 1 2 2? 2+17 2姨 ， 所以最小 值选B. 三、 学习方法引导 名师经验谈：在空间直 角坐标系中， 要能找准 坐标， 确定好坐标， 这 也是利用空间向量解决 几何问题的基础. 44
