1、 重要不等式：a2b22ab 基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于几何平均数 创设情境 如果a0，b0，用 代替a，b，得到：ab， 2 ab ab 当且仅当ab时取等号 几何平均数 代数平均数 基本不等式基本不等式 证明：要证明 ， 2 ab ab 只需证明 ，2abab 所以原不等式成立 只需证 ，20abab 只要证 2 ()0ab ， 而 显然成立 2 ()0ab 过程：执果索因 分析法 新知探究 基本不等式的几何解释基本不等式的几何解释 AB C D E a bO 如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，点为圆心，点C是是AB 上一点上一点, AC=a, BC=b. 过
2、点过点C作垂直于作垂直于AB的的 弦弦DE,连接连接AD、BD、OD. 如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_ 如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2 ab ab OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD 几何意义：半径不小于半弦长几何意义：半径不小于半弦长 当点C C在什么位置 时OD=CDOD=CD？ 此时a a与b b的关系是？ 适用范围适用范围 文字叙述文字叙述 “=”成立条件成立条件 22 2abab 2 ab ab a=ba=b 两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数 两数的平方和不两数的平方和不 小于它们
3、积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0 例例1 若若 ,求求 的最小值的最小值. 1 0 xyx x min 0, 1 2 1 12 x yx x xxy x 解： 当且仅当，即时， 新知探究 1 0.xyx x 变式：若，求的最值 归纳： 利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足 (1)a(1)a，b b必须是正数. .（一正） (2)(2)在a+ba+b为定值时，便可以知道abab的最大值； 在abab为定值时，便可以知道a+ba+b的最值. . （二定） (3)(3)当且仅当a=ba=b时，等式成立（三相等） 积定问题 例2 已知x ，y都是正数，求证： 如果积xy 等
4、于定值P，那么当x =y时，和 x +y有最小 值 ； P2 证明： xy yx yx 2 , 都是正数，所以因为 ，时，有等于定值当积P yx Pxy 2 Pxy2所以 .2 . Pyxyx yx 有最小值时，和于是，当 时，上式等号成立当且仅当 和定问题 例2 已知x ，y都是正数，求证： 如果和 x +y等于定值S，那么当x =y时，积xy有最大值 . 2 4 1 S ，时，有等于定值当和 2 S xySyx证明： , 4 1 2 Sxy 所以 . 4 1 . 2 Sxyyx yx 有最大值时，积于是，当 时，上式等号成立当且仅当 配凑系数 分析: x+(1- -2x) 不是 常数.2=
5、1为 解: 0 x0. 1 2 y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 1 2 2 2x+(1- -2x) 2 1 2 1 8 = . 当且仅当 时，取“=”号.2x=(1- -2x)， 即 x= 1 4 当 x = 时， 函数 y=x(1- -2x) 的最大值是 . 1 4 1 8 1. 若 0 x0，y0，xy=24，求4x+6y的最小值， 并说明此时x，y的值 3 已知x0，y0，且x+2y=1求 的最小值. yx u 11 当x=6，y=4时，最小值为48 32 2 针对练习 1、（作业B本） 课本 P42 习题2.2第1，2，4，5题 2、金版 P29-P32 P30第5题
6、P31 7,8,9 P32 例题2的3,5 不用做， 其他的都做 作业作业 目标检测 2 () 2 ab ab 只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立 即 ， 22 42ababab 即 ， 22 20abab 即需证 ， 2 ()0ab而 显然成立， 2 ()0ab 已知a，bR，求证 1 证明：要证明 ，只需证明 ， 2 () 2 ab ab 22 2 4 abab ab 目标检测 1 2x x （2）已知0 x1，求x（1x）的最大值及相应的x值 当且仅当 ，即 时，等号成立 1 2x x 2 2 x 所以 的最小值为 ，这时 1 2x x 2 2 2 2 x （1）已知x0，求 的最
7、小值及相应的x值 2 解： （1） x0， ， 11 22 22 2xx xx 目标检测 由 2 11 (1)() 24 xx xx 当且仅当1xx，即 时取等号 1 2 x 1 2x x （2）已知0 x1，求x（1x）的最大值及相应的x值 （1）已知x0，求 的最小值及相应的x值 2 解： （2）0 x1，1x0， 目标检测 （1） ； （2） 2 xy yx 2xy xy xy 又由于xy，所以等号取不到 ，22 xyxy yxyx 2 xy yx 已知x，y都是正数，且xy，求证： 3 证明：（1）x，y都是正数， 目标检测 又由于xy，所以等号取不到 ，22xyxy 20 xyxy 两边同乘 ，得 xy xy 2xy xy xy （1） ； （2） 2 xy yx 2xy xy xy 已知x，y都是正数，且xy，求证： 3 证明：（2）x，y都是正数， 目标检测 当两条直角边的长度各为10 cm时， 两条直角边的和最小，最小值为20 则由已知得 50，即ab100， 2 ab ，当且仅当ab10时取等号220abab 已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时， 两条直角边的和最小？最小值是多少？ 4 解：设直角三角形两边为a，b ， 1
