1、立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 5.2.2 同角三角函数的基本关系 第五章 三角函数 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 复习引入复习引入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 【导入】因为三个三角函数都是由角的终边与单位圆的交点确定的，所以它们之间 必然有内在的关系.如图，设点P 是角的终边与单位圆的交点，过P 作 轴的垂线，交 轴与M，则OMP是直角三角形，且OP=1，由勾股定理有 也就是说，同一个角的正弦余弦的平方和等于1，商等于正切. OM2+MP2=1，即 ，也就是 显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.根据三角 函数的定义，当 时，有： 学习新知学习新知 立德树人
2、和谐发展立德树人 和谐发展 这两个公式称为同角三角函数的基本关系. 基本关系成立的前提是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函数关系，但 并不是不同的角这两个关系一定不成立，sin230+cos2150=1也成立，不过这 种关系不具有一般性. “同角”指的是广义上的，与表达形式无关，30和30是同角，和也是同角 sin2是(sin)2的缩写，读作“sin的平方”，不能写成sin2 等价变形： 知 一 求 二 学习新知学习新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 【例1】已知 ，求 ， 的值. 【解】因为 ，所以是第三或者第四象限角. 由 ，得 ，则 或 若是第三象限角，则 ,所以 若是第四象
3、限角，则 ,所以 典型例题典型例题 立德树人 和谐发展 例例2已知已知 ，求，求sin、tan的值的值. 17 8 cos 分析：分析：cos0是第二或第三象限是第二或第三象限 角因此要对角因此要对所在象限分类讨论所在象限分类讨论. 解：当解：当是第二象限角时，是第二象限角时， 22 815 sin1 cos1 (), 1717 15 sin15 17 tan. 8 cos8 17 典型例题典型例题 立德树人 和谐发展 例例2已知已知 ，求，求sin、tan的值的值. 17 8 cos 分析：分析：cos0是第二或第三象限是第二或第三象限 角因此要对角因此要对所在象限分类讨论所在象限分类讨论.
4、 解：当解：当是第三象限角时，是第三象限角时， 22 815 sin1 cos1 (), 1717 15 sin15 17 tan. 8 cos8 17 典型例题典型例题 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展应用应用: 证明恒等式证明恒等式 cos1 sin 3.: 1 sincos 例 求证 : (1 sin)(1 sin) 证明 法一: 2 1 sin 2 cos coscos 原等式成立 : 证明 法二 左边 cos 1 sin cos (1 sin (1 sin) (1 sin) 2 cos(1 sin) cos 1 sin cos 右边 典型例题典型例题 立德树人 和谐发展立德树人
5、和谐发展 2 4tan=2 3sincos ,(2),(3)2sinsincos 2sin3cos 2 2 例例 已已知知， 求求( (1 1) )c co os s 2 2 解解：1)cos1)cos 2 1 1 tan 1 5 3sincos 2) 2sin3cos 3 sincos coscos 2 sin3 cos coscos 3tan1 2tan3 5 7 2 22 2sinsin c sin ) c os 3 os 原原式式 应用应用:化简求值化简求值 2 2 2tantan tan1 6 5 典型例题典型例题 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展应用应用:化简求值化简求值 例5
6、.已知 求： 1 sincos 2 为第二象限角, (1)sincos , (2)sincos sincos ,sincos知一求二 取平方取平方, 71 , 55 典型例题典型例题 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展应用应用:化简求值化简求值 例6.化简 1 2sin2cos2 22 sin 2cos 22sin2cos2 2 (sin2cos2) sin2cos2 sin20,cos20 sin2cos20 sin2cos2原式 解: 1 2sin44cos 变式变式2: 1 2sincos 变式变式3: 1 2sin2|cos2 变式变式1: 思考：思考： 1 sin1 sin 2ta
7、n, 1 sin1 sin 若求角 的取值范围 典型例题典型例题 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 1.由三角函数定义结合单位圆推导同由三角函数定义结合单位圆推导同 角关系角关系. 2.处理证明恒等式或化简的题目时处理证明恒等式或化简的题目时,常常 运用的技巧运用的技巧: “1”的代换的代换 分子分母同除或同乘分子分母同除或同乘 数形结合数形结合:借助单位圆中的三角函借助单位圆中的三角函 数线判断三角函数值的大小数线判断三角函数值的大小 总结升华总结升华 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 1.1.同角同角三角函数的基本关系三角函数的基本关系: : (1)“同角”的概念与角的表达形式无关
8、. (2) 公式都必须在定义域允许的范围内成立. 2.sincostan ,. 对于同一个角 的、 可以利用基本关系式 知一求二 (1)解题的步骤:先确定角的终边位置,再根据基本关系式 求值.若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系 求值;若已知正切,则可构造方程组求值. (2)在求值时, 要注意这个角的终边所在位置,从而出现一 组或二组或四组(以两组的形式给出)结果. (3)在“知一求二”时,开方运算只需用一次. 课堂小结课堂小结 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 2已知三角函数值求其他三角函数值的方法已知三角函数值求其他三角函数值的方法 （1）若已知）若已知sin m，可以先应用
9、公式，可以先应用公式_，求，求 得得cos 的值，再由公式的值，再由公式_求得求得tan 的值的值 （2）若已知）若已知cos m，可以先应用公式，可以先应用公式_，求得，求得 sin 的值，再由公式的值，再由公式_求得求得tan 的值的值 课堂小结课堂小结 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消 去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的 方法一般有以下三种：方法一般有以下三种： ., ,)1( 简的原则简的原则证明时一般遵循由繁到证明时一般遵循由繁到它等于另一边它等
10、于另一边 证明证明从等式的一边开始从等式的一边开始依据相等关系的传递性依据相等关系的传递性 . ,)2( 于同一个式子于同一个式子 右两边等右两边等证明左证明左等于同量的两个量相等等于同量的两个量相等依据依据、 . ,: . ,: :. .)3( 成立成立知知 可可成立成立因为因为只要证只要证要证要证分析法分析法 成立成立知知 由此可由此可等价等价与与再证再证成立成立先证先证综合法综合法 的方法的方法这种方法对应着两具体这种方法对应着两具体从而推出原式成立从而推出原式成立 式子成立式子成立证明与原式等价的另一证明与原式等价的另一依据价转化思想依据价转化思想 ba dcdcba ba badcdc 课堂小结课堂小结 立德树人 和谐发展 作业布置 作业作业A 1第第185页习题页习题5.2 第第6题题 课后作业课后作业 2金版金版 P121-P122
