1、第一课时:单调性 3.2.1 单调性与最大(小)值 讲课人：邢启强 2 观察下列函数图象,体会它们的上升与下降的特点: 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 3 在上面的六幅函数图象中,有的图象由左至右 是上升的;有的图象是下降的;还有的图象有的部分是下 降的,有的部分是上升的. 函数图象的“上升”“下降” 反映了函数的一个基本性质单调性. 如何描述函数图象的“上升”“下降”呢? 以二次函数f(x)=x2 为例,列出x,y的对应值表: x -4 -3 -2 -1 01234 f(x)=x2 16 9410149 16 对比左图和上表,可以发现什么规律? 图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(,0
2、 上随着x的增大增大,相应的f(x)反而随着减小减小; 图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+) 上随着x的增大增大,相应的f(x)也随着增大增大. 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 4 练习: 利用刚才 的方法描 述一下右 侧四个函 数图象的 “上升” “下降” 的情况. 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 5 对于二次函数f(x)=x2 ,如何描述“在区间(-,0 上随着x的增大,相应的f(x)随着减小.”: 试一试:你能仿照这样的描述你能仿照这样的描述,说明函说明函 数数f(x)=x2在区间在区间(0,+)上是增函数上是增函数 吗？吗？ 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 思考
3、如何用数学语言来准确地表述如何用数学语言来准确地表述 “随着x的 增大, 相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的 增大,相应的f(x)也随着增大.”? 有同学认为可以这样 描述:在区间(0,+)上, x1x2时, 有f(x1)f(x2). 他并且画出了如下示 意图,你认为他的 说法对吗? 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 函数单调性的概念：函数单调性的概念： 一般地，函数一般地，函数f(x)的定义域为的定义域为I： 学习新知学习新知 特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调 递增时，我们就称它是增函数 1. 如果对于属于定义域内如果对于属于定义域内某某个区间个区间D的任意两个的任意两个
4、称函数称函数 f(x)在在区间区间D D上上单调递增单调递增。 1212 ,x xxx自自变变量量的的值值当当时时 都都有有 12 f xf x 讲课人：邢启强 8 函数单调性的概念：函数单调性的概念： 一般地，函数一般地，函数f(x)的定义域为的定义域为I： 2. 如果对于属于定义域内如果对于属于定义域内某某个区间个区间D的任意两个的任意两个 称函数称函数 f(x)在在区间区间D D上上单调递减单调递减。 1212 ,x xxx自自变变量量的的值值当当时时 都都有有 21 xfxf 函数的单调性是函数的函数的单调性是函数的“局部性质局部性质”，它与区间密切，它与区间密切 相关相关 学习新知学
5、习新知 特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调 递减时，我们就称它是减函数 讲课人：邢启强 9 在某区间上，在某区间上， 减函数减函数 图象下降图象下降。 增函数增函数图象上升图象上升 x y o )(xfy mn x y o )(xfy nm 学习新知学习新知 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上单调递增或单调上单调递增或单调 递减递减,那么就说函数那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有 (严格的严格的)单调性单调性,区间区间D叫做函数叫做函数y=f(x)单调单调 区间区间. 讲课人：邢启强 10 x y o1 12 25 53 34 4-1 -1-2-2-5-5
6、-4-4-3-3 例例1:下图是定义在区间下图是定义在区间-5,5上的函上的函 数数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间,以及以及 在每一单调区间上在每一单调区间上,它是单调递增还是它是单调递增还是单调递单调递 减减? 解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-5，-2，(-2,2, (2,3,(3,5.其中在区间其中在区间-5,-2,(2,3上是上是单调递减单调递减, 在区间在区间(-2,2,(3,5上是上是单调递增单调递增, 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 11 例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常 数)告述我们,对于一定量的气体,当其体
7、积V减小时, 压强p将增大.试用函数的单调性证明之. 1 2 3 4 1.设设(自变量自变量); 2.比比(函数值函数值); 3.判判(函数值大小关系函数值大小关系); 4.结结(论论) 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 12 用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设设x1x2, 并是某个区间上任意二值并是某个区间上任意二值; (2). 作差作差 f(x1)f(x2) ; (3). 判断判断 f(x1)f(x2) 的符号的符号: (4). 作作结论结论. 分解因式分解因式, 得出因式得出因式x1x2 . 配成非负实数和配成非负实数和. 方法小结方法小结 讲课人：
8、邢启强 13 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 14 1. 教材教材P79 ： ：第 第3题题. 2. 若函数若函数f (x) 在区间在区间a, b及及(b, c上都单调递上都单调递 减减, 则则f (x)在区间在区间a, c上的单调性为上的单调性为 ( ) A. 单调递减单调递减;B. 单调递增单调递增; C. 一定不单调一定不单调; D. 不确定不确定. D 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 15 3. 函数函数f (x)= 2x+1, (x1) 5 x, (x1) 则则f (x)的递减区间为的递减区间为( ) A. 1, )B. (, 1) C. (0, )D. (, 1 B 巩固练习巩
9、固练习 讲课人：邢启强 16 4. 若函数若函数f (x) 在区间在区间a, b单调连续单调连续 且且 f(a) f(b)0, 则方程则方程f(x)=0在区在区 . 间间a, b上上( ). A.至少有一实根至少有一实根;B.至多有一实根至多有一实根; C.没有一实根没有一实根;D.必有唯一实根必有唯一实根. D 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 17 画出反比例函数画出反比例函数 的图象的图象. (1)这个函数的定义域这个函数的定义域I是什么是什么? (2)它在定义域它在定义域I是的单调性是怎是的单调性是怎 样的样的?证明你的结论证明你的结论. 1 y x 通过观察图象通过观察图象,先对函数
10、先对函数 是否具有某种性质做出是否具有某种性质做出 猜想猜想,然后通过逻辑推理然后通过逻辑推理, 证明这种猜想的正确性证明这种猜想的正确性, 是研究函数性质的一种是研究函数性质的一种 常用方法常用方法. 自主探究自主探究 讲课人：邢启强 18 1、理解概念应抓住关键词，对函数单调性、理解概念应抓住关键词，对函数单调性 概念中应重点理解概念中应重点理解 定义域、区间、任意定义域、区间、任意都有都有 12, xx 12 f xf x 2、增函数、增函数 图象是上升的图象是上升的； 减函数减函数 图象是下降的。图象是下降的。 3、用定义证明函数单调性的步骤是：、用定义证明函数单调性的步骤是： 假设假设,作差变形作差变形(分解因式分解因式,通分通分,配方配方), 定号定号,下结论下结论. 课堂小结课堂小结 讲课人：邢启强 19 P86 : T1,T2,T3 (其中第其中第1题和第题和第 2题不用证明题不用证明). 思考思考:函数函数y=f(x)在区间在区间D上具有单调上具有单调 性性,那么在区间那么在区间D的子区间的子区间(即区间即区间D 的子集的子集)上是否具有相同的单调性上是否具有相同的单调性? 课后作业课后作业
