1、第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 【知识要点】【知识要点】 1.1. 函数的概念函数的概念 设 A，B 是，如果对于集合 A 中的，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作. 注意：注意：判断对应关系是否为函数的 2 个条件 A、B必须是非空数集A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应 2.2.函数的三要素函数的三要素 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：、和。 3.3.区间及写法：区间及写法： 设 a、b 是两个实数，且 ab，则： 满足不等式a xb 的实数 x 的集合叫做闭区
2、间，表示为a,b； 满足不等式a xb 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为（a,b） ； 满足不等式a xbaxb或 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，表示为a,b）或(a,b； 4 4相同函数相同函数 值域是由和决定的，如果两个函数的定义域和相同，我们就称这两个函数是同一函 数两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们相同的函数 5 5. .函数的三种表示方法函数的三种表示方法 表示法定义 解析法用表示两个变量之间的对应关系 图象法用表示两个变量之间的对应关系 列表法列出来表示两个变量之间的对应关系 注意：注意：同一个函数可以用不同的方法表示 5.5.分段函数分段函数 （1）分段函
3、数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的的函数 （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的. 注意：注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数 (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的(3)分段函数的图象要分段来画 6 6. .函数函数的单调性的单调性 1.一般地，设函数的定义域为D，区间ID： 增函数：如果对于I上的任意两个自变量的值 12 xx，当 12 xx时，都有 12 ()()fxfx，那么就称 函数( )f x在区间I上是增函数； 减函数：如果对于I上的任意两个自变量的值 12 xx，当 12
4、 xx时，都有 12 ()()fxfx，那么就称 函数( )f x在区间I上是减函数； 2单调性：如果函数( )yf x在某个区间I上是增函数或减函数，那么就说函数( )yf x在这个区间上 具有单调性，区间I叫做( )yf x的单调区间 3判断函数单调性的基本方法： 定义法：任取 12 xx， 12 xx，判断 12 ()()fxfx的正负； 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数； 复合函数的单调性同增异减 7.7.函数的函数的奇偶性奇偶性 函数图象的对称性轴对称中心对称 函数示意图 奇偶性偶函数奇函数 ( )f x满足的关系式 fxf x fxf x 本质 当取
5、的自变量互为相反数时， 函数值相等 当取的自变量互为相反数时， 函数值也互为相反数 函数奇偶性的操作： 1乘以任何系数k，不改变奇偶性，不管是 kf x还是f kx； 2 f xa，偶函数不变（相当于图象上下平移，不改变偶函数的对称性） ，奇函数不行； 3f xa则往往不再具有奇偶性（除非它本身是有周期性） 4奇函数奇函数奇函数，奇函数奇函数偶函数，偶函数偶函数偶函数； 8.8.幂函数的图象与性质幂函数的图象与性质 (1). 一般地，函数叫做幂函数， 其中x是自变量，是常数. (2).幂函数的图象 yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 图 象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
6、题型题型 1 1 函数概念的判断函数概念的判断 1下列各图中，可表示函数图象的是() ABCD 题型题型 2 2 相同函数的判断相同函数的判断 2下列各组函数中，表示同一个函数的是() A 2 1 1 x y x 与1yxB 2 2yx与2yx C 1 ( ) 3 f xlnx与( )2g xlnxDyx与log(0 x a ya a且1)a 3 给出下列四组函数： yx与 2 yx； 2 yx与 2 ()yx； yx与 2 x y x ； 0 yx与1y ， 表示同一函数的有() A0 组B1 组C2 组D3 组 题型题型 3 3 函数定义域函数定义域 4函数 2 1 ( )4 1 f xx
7、 x 的定义域是() A 2，2B( 2，1)( 1，2) C( 2,2)D 2，1)( 1，2 5函数 2 ( ) x f x x 的定义域为() A2，)B(2,) C 2，0)(0，)D( 2，0)(0，) 题型题型 4 4 函数解析式的求法函数解析式的求法 6已知 2 ( )f xxx，则(1)f x 等于() A 2 1xxB 2 xxC 2 21xxD 2 2xx 7已知函数(2)22 x f xx，则( )(f x ) A 2 24 x x B 2 22 x x C 2 2xx D 2 22 x x 8函数( )f x满足( )2 (1)f xfxx，则函数( )f x等于()
8、A 2 3 x B 2 3 x C1x D1x 9若 sin(0) ( )6 12 (0) x x f x x x ，则 f f（3） 10函数 1 2 210 ( ) 0 x x f x xx ，满足( )1f x 的x的取值范围是 题型题型 5 5 函数的函数的单调性单调性 11.函数 2 ( ) 2 x f x x (xR，且2)x .判断并证明( )f x在区间(0,2)上的单调性； 12.已知 yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且 f(1a)f(2a1)，求 a 的取值范围 题型题型 6 6 函数的函数的奇偶性奇偶性 13.判断下列函数的奇偶性： （1） 4 2 1 ( )3f
9、 xx x ; （2）( )11f xxx ; （3） 2 ( )|1f xxx， 1x ，4； （4）( ) |1|1|f xxx； （5） 22 ( )11f xxx； 14.已知( )()yf x xR是偶函数，当0 x时， 2 ( )2f xxx （1）求( )f x的解析式；（2）若不等式( )f xmx在12x 时都成立，求m的取值范围 15.函数( )yf x是R上的奇函数，且在0，)上是减函数，若( )f mf（1） ，则实数m的取值范围是 A1mB11m C1mD1m或1m 题型题型 7 7 幂幂函数函数 16若幂函数 2 268 44 mm f xmmx 在0,上为减函数,
10、则 m 的值为（） A1 或 3B1C3D2 17.已知幂函数 21 33 m f xmmx 是偶函数，则 m 的值为_. 参考答案参考答案 【知识要点】【知识要点】 1、非空数集任意一元素y= ( )f x ；2、定义域，值域，对应法则； 4、定义域，对应法则，对应法则，不是；5、数学表达式，图像，表格； 6、并集，图像，表格， 1-5 CDADA6 BAA9. 1 2 10.1x 或1x 11.【证明】 ( )f x在区间(0,2)上为减函数.任取 12 02xx， 22 12 12 12 22 xx f xf x xx 22 1221 12 22 22 xxxx xx 22 121212
11、 12 22 x xxxxx xx 12121212 12 22 x xxxxxxx xx 12212 12 22 22 xxxxx xx ， 由于 12 02xx, 1212 20,20,0 xxxx， 122 220 xxx， 所以 1212 0,fxfxfxfx， 所以 fx在(0,2)上递减. 12.【解析】f(1a)f(2a1)等价于 11a1， 12a12a1， 解得 0a2 3，即所求 a 的取值范围是 0a 2 3. 13.（1）( )f x的定义域为 |0 x x ， 44 22 11 ()3()3( ) () fxxxf x xx ， 4 2 1 ( )3f xx x 是偶
12、函数 （2）由函数有意义可得 1 0 10 x x ，解得：1x ( )f x为非奇非偶函数 （3）函数的定义域不关于坐标原点对称，故函数( )f x是非奇非偶函数 （4）函数的定义域为R，关于坐标原点对称，且： () |1|1|(|1|1|)( )fxxxxxf x ，函数( )f x是奇函数 （5）既是奇函数又是偶函数； 14.解： （1）当0 x 时，有0 x ，( )f x为偶函数， 22 ( )()()2()2f xfxxxxx ， 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x xx x （2）由题意得 2 2xx mx在12x 时都成立， 即2xm 在12x 时都成立，即2m x在12x 时都成立 15.解：根据题意，函数( )yf x是R上的奇函数，且在0，)上是减函数， 则函数( )f x在(，0上为减函数， 则( )f x在R上为减函数， 若( )f mf（1） ，必有1m， 即m的取值范围为：1m， 16.函数 2 268 44 mm f xmmx 是幂函数， 则 2 44=1mm ，解得：3m或1m 又函数 fx在区间0,上为减函数， 则 2 680mm，所以3m，故选：C. 17. fx为幂函数 2 331mm ，解得：4m 或1m 当4m 时， 3 fxx为奇函数，不合题意；当1m 时， 2 f xx为偶函数 综上所述：1m 故答案为：1
