1、5.2 三角函数的概念三角函数的概念 知识梳理知识梳理 1、任意角的三角函数 （1）定义：设是一个任意角，R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)， 把点 P 的纵坐标 y 叫做的正弦函数，记作sin，即siny； 把点 P 的横坐标 y 叫做的余弦函数，记作cos，即cosy； 把点 P 的纵坐标与横坐标的比值 x y 叫做的正切，记作tan，即)(tan0 x x y 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记作： 正弦函数：xysin，Rx 余弦函数：xycos，Rx 正切函数：xytan，)(Zkkx 2 （2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都
2、在x轴上，余弦线的起点都是原点，正 切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线 2、常用结论汇总规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦 (2)三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角终边上任意一点且不与原点重合，r|OP|，则 siny r，cos x r，tan y x(x0) 3、终边相同的角的同一三角函数的值相等 公式一： tan)tan( cos)cos( sin)sin( 2 2 2 k k k ，其中Zk 4、同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：1 22 cossin (2)商数关系：
3、cos sin tan 5、同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)cos)(cos(cossin111 22 )sin)(sin(sincos111 22 cossin)cos(sin21 2 (2),(costansinZkk 2 知识典例知识典例 题型一 三角函数的定义 例 1已知角的终边过点8 , 6sin30Pm ，且 4 cos 5 ，则m的值为() A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【答案】B 【详解】 因为角的终边过点( 8,6sin30 ) o Pm，所以 2 649rm ， 84 cos 5 m r ，解得 1 2 m ，故选 B. 巩固练习巩固练习 已知点
4、 55 sin,cos 66 P 落在角的终边上，且 0 2， ，则的值为（） A 2 3 B 5 6 C 5 3 D 11 6 【答案】C 【分析】 先求 P点纵横坐标的值并判断 P 所在象限符号即可. 【详解】 由 55 sin,cos 66 P ，即 13 , 22 P ，tan 3 ， 0 2， 所以 5 3 . 故选: C 题型二符号问题 例 2已知costan0，那么是（） A第一、二象限角B第二、三象限角C第三、四象限角D第一、四象限角 【答案】A 【分析】 化简代数式，costan =sin根据正弦值为正，得出终边所在象限. 【详解】 由costan0可知cos ,tan同号，
5、即costan =sin0， 从而为第一、二象限角，故选 A. 故选：A 巩固练习巩固练习 已知是第二象限角，试判断tan(sin ) tan(cos )的符号 【详解】 （1）是第二象限， 0sin1,1cos0 22 tan(sin )0,tan(cos )0 tan(sin ) tan(cos )0 题型三 三角函数定义 例 3 已知角的终边经过点 P(3a-9，a+2)，且 cos0，sin0，则 a 的取值范围是_. 【答案】20， 角的终边在第二象限或 y 轴非负半轴上， 终边过(3a9，a2)， 390 20 a a ，2a3. 巩固练习巩固练习 已知在第三、第四象限内， 23
6、sin 4 m m 那么m的取值范围是_ 【答案】 3 1, 2 【详解】 角在第三、四象限内，sin10 ，可得 23 10 4 m m ， 当40m时，即4m时，原不等式可化为4230mm ， 解之得 3 1 2 m ；当40m时，即4m时，原不等式可化为4230mm ， 此不等式组的解集为空集，综上可得 3 1 2 m ，可 得m的取值范围是 3 1, 2 ，故答案为 3 1, 2 . 题型四 同角三角函数关系 例 4 （1）已知tan3，计算 4sin2cos 5cos3sin 的值 . （2）已知 3 tan 4 ，求 2 2sincoscos 的值. 【答案】（1） 5 7 ；（2
7、） 22 25 . 【分析】 （1） 把 4sin2cos 5cos3sin 转化成正切则可求.（2） 2 2sincoscos 的分母看成 1，用平方关系代换 1，再转化成正切即可. 【详解】 解：（1）tan3cos0 原式= 1 (4sin2cos) 4tan24 325 cos = 1 53tan53 37 (5cos3sin) cos . （2） 222 2 22 2 sincossincoscos 2sincoscos sincos = 222 222 2sinsincoscos2tantan1 sincos1tan = 2 2 33 93 21 1 2244 84 9 25 3
8、1 1 16 4 . 巩固练习巩固练习 已知 tan 1 tan1 ，求下列各式的值： （1） sin3cos sincos ； （2） 2 sinsincos2 . 【答案】（1） 5 3 ；（2） 13 5 . 【分析】 （1）根据已知条件，求得tan，再分子分母同除以cos，即可代值求得结果； （2）将目标式分母化为 22 sincos ，再分子分母同除以 2 cos，即可代值求得结果. 【详解】 tan 1 tan1 ， 1 tan 2 ， （1）原式 tan35 tan13 ； （2）原式 22 222 sinsincostantan13 22 sincostan15 . 题型五 同
9、角三角函数关系应用 例 5 如果 1 sincos 5 xx，且0 x，那么tan x的值是 () A 4 3 B 4 3 或 3 4 C 3 4 D 4 3 或 3 4 【答案】A 【详解】 将所给等式两边平方，得 12 sincos 25 xx ， 0 x，sin,cos0 xxs， 2 49 (sincos )12sincos 25 xxxx， 9 sincos 5 xx， 434 sin,costan 553 xxx ，. 故选A. 巩固练习巩固练习 已知2 ， 1 sincos 5 ，则tan等于（） A 3 4 B 3 4 或 4 3 C 3 4 或 4 3 D 3 5 【答案】A
10、 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得所给式子的值 【详解】 解：2， 1 sincos 5 ， 平方可得 1 12sin cos 25 ，即 12 sin cos0 25 ， sin0，cos0， 22 sincos1 可得： 2 2 1 coscos1 5 ，解得： 4 cos 5 ，或 3 5 （舍去）， 143 sin 555 ，可得： 3 tan 4 故选 A 巩固提升巩固提升 1、若角的终边过点2cos60 ,2sin45P，则sin（） A 3 2 B 1 2 C 2 2 D 2 2 【答案】C 【分析】 根据题中条件，得到1,1P，再由三
11、角函数的定义，即可得出结果. 【详解】 因为角的终边过点2cos60 ,2sin45P，可得1,1P， 所以 22 12 sin 2 11 . 故选：C. 2、已知角的终边与单位圆交于点 31 , 22 ,则sin的值为（） A 3 2 B 1 2 C 3 2 D 1 2 【答案】B 【分析】 根据三角函数的定义即可求出 【详解】 根据三角函数的定义可知， 1 sin 2 y 故选：B 3、已知角的终边经过点( , 6)P m ，且 4 cos 5 ，则m（） A8B8 C4D4 【答案】B 【分析】 利用三角函数的定义，列出方程 2 4 5 36 m m ，即可求解，得到答案. 【详解】 由
12、题意，可得 222 |( 6)36rOPmm ， 根据三角函数的定义，可得 2 4 cos 5 36 m m 且0m，解得8m . 故选 B. 4、若 sin2cos 5 3sin5cos ，则 tan 的值为（） A2B2 C 23 16 D 23 16 【答案】D 【分析】 由同角三角函数关系 sin tan cos ，有 sin2costan2 3sin5cos3tan5 结合题干条件，列方程求 tan 【详解】 sin2costan2 5 3sin5cos3tan5 tan215tan25 ，解得 23 tan 16 故选：D 5、若角的终边落在第三象限，则 22 cos2sin 1
13、sin1 cos 的值为（） A3B3 C1D1 【答案】B 【分析】 根据三角恒等式以及角的位置确定正、余弦的符号即可得出结果. 【详解】 因为是第三象限角，故sin0，cos0， 所以原式 cos2sin 1 23 cossin ， 故选：B. 6、已知是第二象限角，( ,5)P x 为其终边上一点，且 2 cos 4 x ，则 x 的值为_. 【答案】 3 【分析】 根据余弦函数的定义列出方程，解方程即可. 【详解】 2 2 cos 4 5 xx x r x ，0 x 或 2 2(5)16x ，0 x 或 2 3x ， 是第二象限角，0 x （舍去）或3x （舍去）或 3x . 故答案为
14、： 3 . 7、已知sin，cos是方程 2 20 xxm 的两个根，则m（） A 3 4 B 3 4 C 1 2 D 1 2 【答案】A 【分析】 由已知条件写出根与系数的关系， 1 sincos 2 ，sincos 2 m ，利用和与积的关系化简即可得到答案. 【详解】 sin，cos是方程 2 20 xxm 的两个根， 可得 1 80 1 sincos 2 sincos 2 m m ， 21 sincos12sincos 4 ， 得 3 sincos 82 m ，解得 3 4 m ， 故选：A 8、若 3 sin 5 m m - = + ， 42 cos 5 m m - = + ，, 2
15、 ，则实数m_. 【答案】8 【分析】 由, 2 可得出sin0，cos0，再结合同角三角函数的平方关系可求得实数m的值. 【详解】 , 2 ，则sin0，cos0， 由题意可得 22 3 sin0 5 42 cos0 5 sincos1 m m m m ，即 22 3 sin0 5 42 cos0 5 342 1 55 m m m m mm mm ，解得8m . 故答案为：8. 9、化简 2 1 2sin40 cos40 cos401 sin 50 为_ 【答案】1 【分析】 根据同角三角函数的基本关系式对所求表达式进行化简，由此求得表达式的值. 【详解】 依题意 2 22 cos40sin
16、40 1 2sin40 cos40 cos401 sin 50cos40cos 50 cos40sin40cos40sin40 1 cos40cos50cos40sin40 . 10、在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(3, 1)P ，则 tan_；cossin_. 【答案】 3 3 13 2 【分析】 根据三角函数的定义直接求得sin,cos,tan的值，即可得答案. 【详解】 角终边过点(3, 1)P ，| 2OP ， 3t 1 an 3 ， 1 sin 2 ， 3 cos 2 ， 13 cossin 2 . 故答案为： 3 3 ； 13 2 . 1
17、1、已知点, 2P m ，0m 为角终边上一点，且cos 3 m ，求sin和tan. 【答案】 22 5 sin,tan 35 【分析】 首先根据题意得到 2 4rm ，根据 2 cos 3 4 mm m 得到 5m ，再求sin和tan即可. 【详解】 因为, 2P m ，则 2 4rm ，0m . 所以 2 cos 3 4 mm m ，解得 2 5m ，又因为0m，所以 5m . 所以3r ， 2 sin 3 = -a， 2 5 tan 5 . 12、已知角的终边上有一点的坐标是3 ,4Paa，其中0a ，求sin,cos,tan. 【答案】见解析 【分析】 直接利用三角函数的坐标定义求解. 【详解】 r5|a|. 当 a0 时，r5a， sin ，cos ， tan ； 当 a0 时，r5a， sin ，cos ，tan . 综上可知，sin ，cos ，tan 或 sin ，cos ，tan .
