1、1.1集合的概念与表示 第1课时集合的概念 激趣诱思知识点拨 图书馆对大学生来说是非常重要的场所,它拥有浩如烟海的文献, 蕴藏了各种有价值的知识、信息.图书馆是一所大学的“心脏”,作为 大学生专业教育的“第二课堂”,它是高校课堂教学必不可缺的补充. 如何在几百万的书籍中快速找到自己需要的书呢?其实这些书籍 并不是随意摆放的,而是按照中国图书馆分类法,将所有图书分成 了22个基本大类,每一大类又细分为若干个小类,哪本书属于哪一 类是明确的,按照这一原则,很快就能找到所需要的书了. 激趣诱思知识点拨 一、集合的概念 一般地,我们把指定的某些对象的称为集合.通常用大写 英文字母A,B,C,表示. 集
2、合中的叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母 a,b,c,表示. 名师点析1.集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似,只是 描述性的说明. 2.集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义.一些对象一旦 组成了集合,这个集合就是这些对象的总体. 3.组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等,也可以是人或物 等. 全体 每个对象 激趣诱思知识点拨 微思考 是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义? 提示:可以.比如把初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可 以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合, 袋子或抽屉里的书是集合的元素. 激趣诱思知识点拨 二、元素与
3、集合的关系 名师点析1.aA与aA取决于元素a是否在集合A中,这两种情况中 必有且只有一种成立. 2.符号“”“”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从 属关系.具有方向性. aA aA 激趣诱思知识点拨 微练习 已知集合A中的元素x满足x-1 ,则下列各式正确的是() A.3A,且-3A B.3A,且-3A C.3A,且-3A D.3A,且-3A 答案:D 激趣诱思知识点拨 三、集合中元素的三个特性 确定性 互异性 无序性 激趣诱思知识点拨 名师点析1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合. 2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字 母)时,一定要检验求出的参
4、数是否使集合的元素满足互异性. 3.无序性的作用是方便定义集合相等,当两个集合相等时,其元素一 定相同,但不一定依次对应相等. 激趣诱思知识点拨 微练习1 已知集合S中的三个元素a,b,c分别是ABC的三条边长,则ABC一 定不是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 微练习2 已知aR,a-1和1两个元素组成了一个集合,则a应满足的条件是 . 答案:D 解析:由集合中元素的互异性知,a,b,c两两不相等,故ABC一定不是 等腰三角形. a2 解析:根据集合中元素的互异性可知a-11,即a2. 激趣诱思知识点拨 四、几种常用的数集及其记法 激趣诱思知识点拨 名师点
5、析常用数集之间的关系 实数集R 激趣诱思知识点拨 微练习 用符号“”或“”填空: (1)1N+; (2)-3N; 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 集合的概念 例1给出下列各组对象: 我们班比较高的同学;无限接近于0的数的全体;比较小的正 整数的全体;平面上到点O的距离等于1的点的全体;正三角形 的全体; 的近似值的全体. 其中能够组成集合的有() A.1个 B.2个C.3个 D.4个 分析判断一组对象能否组成集合,就看判断标准是否明确. 答案:B 解析:不能组成集合,因为没有明确的判断标准;可以 组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确 的判断标准. 探究一探究二探
6、究三素养形成当堂检测 反思感悟 一般地,确认一组对象a1,a2,a3,an(a1,a2,an均不相同) 能否构成集合的过程为: 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1(多选题)下列各组对象能组成集合的是() A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 答案:AC D 解析:选项A,C,D中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B 中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集 合. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 元素与集合的关系 例2(1)下列所给关系正确的个数是() R; Q;0Z;|-1|N*. A.1B.2 C.3D.4 (2)我们
7、在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0 的解组成的集合. 0是不是集合A中的元素? 若-5A,求实数a的值. 若1A,求实数a的取值范围. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 分析(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两 者的关系. (2)将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的 元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;-5是集合A中的元 素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;1不是集合A中的元素, 则代入后方程不成立,得到关于a的不等式. (3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A 中的元素,若不满足就
8、不是集合A中的元素. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (1)答案:C 解析:根据各个数集的含义可知,正确,不正确.故选C. (2)解:将x=0代入方程,得02-a0-5=-50,所以0不是集合A中的元 素; 若-5A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4. 若1A,则12-a1-50,解得a-4. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 判断元素与集合的关系的两种方法 (1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集 合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素组成的. (2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是 否满足集合中元素所具有的
9、特征即可.此时应明确已知集合中的元 素具有什么特征. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2(1)下列关系正确的是() (1) 答案D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 集合中元素的特性及其应用 例3已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3A,求a的值. 分析由-3A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性 进行检验. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取 值,再根据集合中元素的互异性进行检验.互异性是元素的三个特 性中最常用的一个,解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问 题时,要具有分类讨论的意识.
10、如本例中得到a=-1或a=- ,需分类 讨论检验是否满足集合中元素的互异性. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究(1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限 制? (2)本例中集合A中能否只有一个元素呢? (2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12. 由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2142+514=46212.所以该集 合中不可能只含有一个元素. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 分类整合思想、函数方程思想由集合相等求参数 典例已知集合A=a,a+b,a+2b,B=a,ac,ac2,若A=B,求c的值. 分析要解决c的求值问题,关键是要
11、有方程的数学思想,此题应根据 相等的各个集合的元素完全相同,及集合中元素的确定性、互异性、 无序性建立关系式. 解:根据题意,分两种情况进行讨论: 当a=0时,集合B中的三个元素均为零,与元素的互异性相矛盾,故 a0. c2-2c+1=0,即c=1,此时B中的三个元素均为a,c1,此时无解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的情况,所 以解题后需要进行检验和修正.有些数学问题需要根据题目的要 求和特点分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情 况分类,然后再逐一研究解决问题的数学方法就是分类讨论的方法. 探究一探究二探究三素养形成当堂检
12、测 1.下列给出的对象,能组成集合的是() A.很大的数 B.无限接近零的数 C.聪明的人 D.方程x2=2的实数根 答案:D 解析:选项A,B,C中给出的对象都是不确定的,所以不能组成集合;选 项D中方程x2=2的实数根为x=- 或x= ,具有确定性,所以能组 成集合. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 A.aA,且bA B.aA,且bA C.aA,且bA D.aA,且bA 答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这 个四边形一定不是() A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 答案:C 解析:因为集合中的元素具有互异性,所以ab,即四边形对角线不相 等,故选C. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 4.用符号“”或“”填空: (1)1A,2A,3A(其中A表示由所有质数组成的集 合); 解析: (1)由2,3为质数,1不是质数,得1A,2A,3A. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.
