1、2020-2021 高一数学下学期期末复习练习（一） 考查知识：苏教版必修第二册 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1将向量2,4AB uuu r 向右平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位，所得向量CD 的坐标为 （） A4,8B4, 8C2,4D0,0 2已知i为虚数单位，且 3 1i zi，则复数z的虚部为（） A 1 2 iB 1 2 C 1 2 D 1 2 i 3某校 100 名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，学生成绩的分组区间是 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100，其中数学成绩不及格（分数低于 60 分）的 学生有
2、（） A5 名B10 名C25 名D20 名 4已知平面，直线 m，n，则下列命题中正确的是（） A若 m，n，则 mn B若，m，n，则 mn C若l，m，m，则 ml D若l，m，ml，则 m 5已知点 36 , 33 P 是角的终边与单位圆的交点，则sin2（） A 1 3 B 1 3 C 2 2 3 D 6 3 6下列说法正确的是（） A投掷一枚硬币 1000 次，一定有 500 次“正面朝上” B若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定 C为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式 D一组数据 1255533 的中位数和众数都是 5 7ABC
3、中，2AB ， 2 6BC ，4AC ，点O为ABC的外心，若 AOmABnAC ，则实数 mn mn 的值为（） A7B 1 5 C 1 5 D 1 7 8 已知正三棱锥DABC中， 底面是边长为1的正三角形ABC， 侧棱长为 2 2 ，M为AC 的中点，E为AB中点，P是DM的动点，Q是平面ECD上的动点，则APPQ的最小 值是（） A 31 4 B 62 4 C 31 4 D 62 4 二、多选题二、多选题 9已知(2)(3)ixiyi（i 为虚数单位） ，设( ,)zxyi a bR，z为 z 的共轭复数， 则（） A| 2 17z B2 8zi C68z z D复数 z 对应的点在
4、第四象限 10近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽 取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾，经分拣以后统计数据如表（单位：t） 根据样 本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（） “厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱 厨余垃圾400100100 可回收垃圾3024030 其他垃圾202060 A厨余垃圾投放正确的概率为 2 3 B居民生活垃圾投放错误的概率为 3 10 C该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可
5、回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为 18000 11下列命题中是真命题的有（） A存在，使tantantan B在ABC中，若sin2sin2AB，则ABC是等腰三角形 C在ABC中，“AB”是“sinsinAB”的充要条件 D在ABC中，若 5 cos 13 A ， 4 sin 5 B 则cosC的值为 33 65 或 63 65 12正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G分别为BC， 1 CC， 1 BB的中点， 则（） A直线 1 BC与直线AF垂直B平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 2 C三棱锥FACE的体积为 2D点 1 A与点 G 到平面AEF
6、的距离相等 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 三、填空题三、填空题 13已知向量, a b 的夹角为120，且1,4ab ，则a b _ 14已知数据 129 ,x xx的标准差为5，则数据 129 31,31,31xxx 的标准差为 _ 15平面直角坐标系xOy中，点4, 3P是终边上的一点，则cos 2 3 _. 四、双空题四、双空题 16母线长为 1 的圆锥，其侧面展开图的圆心角等于 4 3 ，则该圆锥底面周长为_； 高为_ 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17设 A,B,C,D 为平面内的四点,且 A(1,3),B(2,-2),
7、C(4,1). (1)若ABCD ,求 D 点的坐标; (2)设向量,aAB bBC ,若kab 与3ab 平行,求实数 k 的值. 18在复数范围内解下列方程. (1) 2 50 x ;(2) 2 460 xx. 19已知函数 2 ( )2sincos2sin 222 xxx f x (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间,0上的最小值. 20 为了促进学生的全面发展,某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设,通过考核选 拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知某同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否 相互独立.根据报名情况和他本人的才艺能力,两个社团都能进入的概率为
8、1 24 ,至少进入一 个社团的概率为 3 8 ,并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率. (1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率 1 P和进入“心理社”的概率 2 P; (2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入 “电影社” 的同学增加 1 个校本选修课学分, 对进入“心理社”的同学增加 0.5 个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课 学分分数不低于 1 分的概率. 21已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, _,且 3,3sin3sin4sin()aBCBC.现从: 3 A , 3 B , 2 AB 这三个条 件中任选一个,将题目补充
9、完整,并判断这样的ABC 是否存在,若存在,求ABC 的面积 S; 若不存在,请说明理由. 22如图,E,F,G,H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BC,CC1,C1D1,AA1的中点.求证: (1)GE平面 BDD1B1; (2)平面 BDF平面 B1D1H. 2020-2021 高一数学下学期期末复习练习（一） 考查知识：苏教版必修第二册 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1C 【分析】 由向量相等的定义可得正确选项. 【详解】 根据平移变换不改变向量的长度和方向，可知选项 C 正确. 故选 C. 2B 【分析】 先求出 z，
10、直接写出z的虚部. 【详解】 解：由 3 1 i zii ， 得 2 2 11 11 1 1 1 1 22 1 iiii zi iii ， 复数z的为 1 2 . 故选：B. 【点睛】 复数的计算常见题型： (1) 复数的四则运算直接利用四则运算法则； (2) 求共轭复数是实部不变，虚部相反； (3) 复数的模的计算直接根据模的定义即可. 3A 【分析】 由频率和为 1，可求得a的值，再根据频数=样本容量频率/组距，即可得解 【详解】 由频率分布直方图知，0.040.030.02101aa 可得0.005a ，所以不及格人数为：0.005 10 100=5. 故选：A 4C 【分析】 根据线面
11、平行的性质定理进行判断选项 A;根据面面垂直的性质定理可判断选项 B；根据线 面平行的判定定理判断选项 C 即可；根据线面垂直的判定定理判断选项 D; 【详解】 解：平面，直线 m，n， 对于 A，若 m，n，则 m 与 n 平行或异面，故 A 错误； 对于 B，若，m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 B 错误； 对于 C，若l，m，m，则由线面平行的性质得 ml，故 C 正确； 对于 D，若l，m，ml，则 m 与不一定垂直，故 D 错误 故选：C 【点睛】 本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明： （1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称
12、为异 面直线； （2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. 5C 【分析】 依题意可得 6 sin 3 ， 3 cos 3 ，进而由二倍角公式可得sin2. 【详解】 依题意，由任意角三角函数的定义可得 6 sin 3 ， 3 cos 3 ， 所以 632 2 sin22sincos2 333 . 故选：C. 6B 【分析】 根据统计量，对各项分析判断即可得解. 【详解】 对于 A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有 500 次“正面朝上”，故 A 错误； 对于 B，因为方差越小越稳定，故 B 正确； 对于 C，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽
13、样调查的方式，故 C 错误； 对于 D，数据 1255533 按从小到大排列后为 1233555， 则其中位数为 3，故 D 错误， 故选：B. 7A 【分析】 在ABC中，利用余弦定理求出cosBAC，再在AO mABnAC 两边同时乘以向量 AB 和AC ，利用投影的定义计算出AO AB 和 AO AC的值，代入方程中计算，解出m和 n，可得出答案 【详解】 ABC中，2AB ，2 6BC ，4AC ， 则 222 416241 cos 22244 ABACBC BAC AB AC ， AO mABnAC ， 2 2 AO ABmABnAC AB AO ACmAB ACnAC ， 又 1
14、| | cos| 2 2 AO ABABAOOABABAB ，同理可得： 8AO AC ，代入上式， 242 8216 mn mn ，解得： 4 5 3 5 m n ，7 mn mn 故选：A. 8A 【分析】 作出图形，在正三棱锥DABC中，分析得出AB 平面CDE，固定P，找出点P运动时 APPQ取得最小值时的位置，利用解三角形的相关知识即可求得结果. 【详解】 因为P为DM上的动点，Q为平面ECD上的动点，且两者的运动无关，所以采用一定一动 的原则， 先固定P，当Q在动的时候，显然，当PQ 平面ECD时，PQ取最小值， 为了确定垂直状态在哪里，具体给出下图： 作/MF AB分别交CB、C
15、E于点F、O，连接OD， 当点Q在OD上且/PQ MF时，PQ 平面ECD， 以下证明此时PQ 平面ECD， ACBC，E为AB的中点，则CEAB，同理可知，DEAB， DECEE，AB平面ECD， 所以，/PQ MF AB，所以，PQ 平面ECD， 此时，再将平面DOM绕着DM转动，使得D、O、M、A四点共面， 此时，释放点P，当点P在运动过程中，Q、P、A三点共线时， minPQAPP QAPAQ ， 已经找到最小状态，易知 111 244 MOMFAB， 22 1 2 DMDCCM， /MF AB，AB 平面ECD，则MF 平面ECD，则MO 平面ECD， DO 平面ECD，MODO，故
16、 1 sin 2 OM MDO DM ，则 3 cos 2 MDO ， 2 2 CDAD ，1AC ，则 222 ADCDAC ，则ACD为等腰直角三角形， 故45ADM ， 262 sin45sincos 24 MDOMDOMDO ， 因为 26231 sin45 244 AQADMDO . 故选：A. 【点睛】 思路点睛： （1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进 行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与 旋转体的侧面展开图的形状； （2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定
17、理求解. 9AC 【分析】 对(2)(3)ixiyi化简求出 , x y的值，从而可求得复数z，然后逐个分析判断即可 【详解】 解：由(2)(3)ixiyi，得 2 623xiixiyi，即(6)(32 )xx iyi， 所以 6 321 xy x ，解得 2 8 x y ， 所以28zi， 所以 22 28682 17z ，所以 A 正确； 2 8zi ，所以 B 错误； 22 (28 )(28 )2(8 )68z ziii，所以 C 正确； 复数28zi对应的点为(2,8)，在第一象限，所以 D 错误， 故选：AC 10ABC 【分析】 由表依次算出各类垃圾投放正确的概率， 再算出厨余垃圾
18、在各垃圾箱投放量的均值和方差即 可. 【详解】 对于 A：厨余垃圾的投放的正确的概率为 2 3 ，故 A 正确； 对于 B：居民生活垃圾的投放的错误概率 20060403 100010 ，故 B 正确； 对于 C：该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是“可回收垃圾”，故 C 正确； 对于 D：厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数 400 100 100 200 3 x ， 所以 222 2 1 4002001002001002002000018000 3 S ， 故 D 错误 故选：ABC 11AC 【分析】 赋值法可以判断 A 选项； 在ABC中根据正弦值
19、相等， 可得两角相等或者互补可判断 B 选 项；根据正弦定理可判断选项 C；先由 5 cos 13 A ，求得 12 sin 13 A ，再由 4 sin 5 B ，结 合大角对大边求得 3 cos 5 B ，最后根据coscos()CAB 求值即可判断选项 D. 【详解】 对于 A，当0时，正确； 对于 B，由sin2sin2AB可得22AB或22AB，即AB或 2 AB ，所以 ABC是等腰三角形或直角三角形，错误； 对于 C，2 sin2 sinsinsinABabRARBAB(其中R是ABC外接圆 的半径)，正确； 对于 D，因为 5 cos 13 A ，0A，所以 2 2 512 s
20、in1 cos1 1313 AA . 因为sinsinAB，所以由正弦定理得ab，从而AB. 又因为 4 sin 5 B ，所以 2 2 43 cos1 sin1 55 BB ， 从而 33 coscossinsincoscos 65 CABABAB ，错误； 故选：AC. 【点睛】 解决判断三角形的形状问题， 一般将条件化为只含角的三角函数的关系式， 然后利用三角恒 等变换得出内角之间的关系式； 或将条件化为只含有边的关系式， 然后利用常见的化简变形 得出三边的关系另外，在变形过程中要注意 A，B，C 的范围对三角函数值的影响 12BD 【分析】 对四个选项一一验证： 对于 A： 用反证法，
21、 假设直线 1 BC与直线AF垂直， 可以证明AE面 11 BCC B.在正方体中， AB 面 11 BCC B，这“过一点有且只有一条直线与已知平面垂直”相矛盾，即可判断； 对于 B：连结 11 ,AD FD，即可得到面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形 1 AEFD,再求等 腰梯形 1 AEFD的面积； 对于 C：直接计算三棱锥FACE的体积； 对于 D：取 1 BC的中点 H，连结 1 ,AH GH,证明面 1 AGH 面 AEF，即可得到点 1 A与点 G 到 平面AEF的距离相等. 【详解】 如图： 对于 A：因为正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G分别为BC
22、， 1 CC， 1 BB 的中点，所以 11 ,BCEF BBAE. 假设直线 1 BC与直线AF垂直， 又因为EFAFF,所以 1 BC 面AEF,所以 1 ,BCAE 而 1111 ,BBAE BCBBB所以AE面 11 BCC B. 在正方体中，AB 面 11 BCC B,则过 A 点有两条直线 AB、AE 与面 11 BCC B垂直，这“过一 点有且只有一条直线与已知平面垂直”相矛盾，故 A 错误； 对于 B：连结 11 ,AD FD 因为E，F，分别为BC， 1 CC的中点，所以面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形 1 AEFD, 由正方体边长为 2，得： 11 2,2 2,5,EF
23、ADAED F所以等腰梯形 1 AEFD的 高为 ( ) 2 2 23 2 5 22 h 骣 琪 =-= 琪 桫 ,所以等腰梯形 1 AEFD的面积为 1 113 29 22 2 2222 SEFAD h ，故 B 正确； 对于 C：三棱锥FACE的体积： 1111 2 1 1 3323 FACEACE VSCF ,故 C 错误； 对于 D:取 1 BC的中点 H，连结 1 ,AH GH,由已知得：/GHEF,GH 面 AEF,EF 面 AEF,所以/GH面 AEF；同理可证： 1 AH 面 AEF. 因为 1 AHGHH,所以面 1 AGH 面 AEF，所以点 1 A与点 G 到平面AEF的
24、距离相等. 故 D 正确. 故选：BD 【点睛】 （1）多项选择题是 2020 年高考新题型，需要要对选项一一验证 （2）立体几何几何位置关系的证明，用判定定理；计算通常是求角或求距离， （求体积通常 需要先求距离）.如果求体积（或求距离） ，常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补 形法；(4)向量法. 132 【分析】 根据向量的数量积公式，直接求值即可得解. 【详解】 1 1 42 2 a b 故答案为：2. 1415 【分析】 由数据标准差可得方差，根据方差的性质可得新数据的方差，由此得到标准差. 【详解】 数据 129 ,x xx的标准差为5，则其方差为25， 129
25、 31,31,31xxx 的方差为25 9225，则其标准差为 22515 . 故答案为：15. 15 724 3 50 【分析】 先根据三角函数的定义求出cos和sin，利用二倍角公式求出cos2和sin2，再用两 角和的余弦公式即可求解. 【详解】 因为点4, 3P是终边上的一点，由三角函数的定义得： 4 cos 5 ， 3 sin 5 ， 所以 2 7 cos22cos1 25 ， 24 sin22sincos 25 ， 则 1317324724 3 cos 2cos2sin2 32222522550 ， 故答案为： 724 3 50 . 【点睛】 (1) 三角函数值的大小与点 P（x,
26、y）在终边上的位置无关，根据定义就可以求出对应三角函 数值；当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论 (2) 利用三角公式求三角函数值的关键：选择合适的公式；角的范围的判断；必要时 需根据条件进行合理的拆角，如2() ，等 16 4 3 5 3 【分析】 根据圆锥的侧面展开图为扇形以及扇形的弧长公式求解出圆锥底面周长； 利用底面圆的周长 求解出底面圆的半径，结合勾股定理求解出圆锥的高. 【详解】 设圆锥的底面半径为R，底面周长为C，圆锥的高为h， 所以 4 21 3 CR ，所以 2 3 R ， 又因为 22 1Rh ，所以 5 3 h ， 故答案为： 4 3 ； 5
27、3 . 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17设 A,B,C,D 为平面内的四点,且 A(1,3),B(2,-2),C(4,1). (1)若ABCD ,求 D 点的坐标; (2)设向量,aAB bBC ,若kab 与3ab 平行,求实数 k 的值. 【解析】(1)设 D(x,y).因为ABCD ,所以(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1), 化为(1,-5)=(x-4,y-1),所以 41, 15, x y ，解得 5, 4, x y 所以 D(5,-4). (2)因为(2, 2)(1,3)(1, 5),(4,1)(2, 2)(2,3)aABbBC , 所以(1, 5)(2
28、,3)(2, 53),3(1, 5)3(2,3)(7,4)kabkkkab . 因为kab 与3ab 平行, 所以 7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得 1 3 k . 18在复数范围内解下列方程. (1) 2 50 x ;(2) 2 460 xx. 【解析】(1)因为 2 50 x ,所以 2 5x ,又因为 22 ( 5 )(5 )5ii ,所以5xi , 所以方程 2 50 x 的根为5xi . (2)方法一:因为 2 460 xx,所以 2 (2)2x , 因为 22 ( 2 )(2 )2ii ,所以22xi或22xi , 即22xi 或22xi , 所以方程 2 460 xx的根
29、为22xi . 方法二:由 2 460 xx知 2 44 680 , 所以方程 2 460 xx无实数根. 在复数范围内,设方程 2 460 xx的根为 x=a+bi(a,bR且 b0), 则 2 ()4()60abiabi,所以 22 +24460aabibabi, 整理得 22 (46)(24 )0abaabb i, 所以 22 460 240 aba abb ， ， 又因为 b0,所以 22 460 240 aba a ， ， 解得2,2ab . 所以22xi ,即方程 2 460 xx的根为22xi . 【方法技巧】 在复数范围内,实系数一元二次方程 2 0(0)axbxca的求解方法
30、 (1)求根公式法 当0时, 2 4 2 bbac x a .当0 时, 2 4 2 bbac i x a . (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为( ,)xmni m nR,将其代入方程 2 0(0)axbxca,化简后利用复 数相等的定义求解. 19已知函数 2 ( )2sincos2sin 222 xxx f x (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间,0上的最小值. 【解析】(1)因为 222 ( )sin(1 cos )sin() 2242 f xxxx 所以( )f x的最小正周期为2. (2)因为0 x,所以 3 444 x ， 所以当 42 x ，即
31、3 4 x 时,( )f x取得最小值. 所以( )f x在区间,0上的最小值为 32 ()1 42 f . 20 为了促进学生的全面发展,某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设,通过考核选 拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知某同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否 相互独立.根据报名情况和他本人的才艺能力,两个社团都能进入的概率为 1 24 ,至少进入一 个社团的概率为 3 8 ,并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率. (1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率 1 P和进入“心理社”的概率 2 P; (2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入 “电影社” 的同
32、学增加 1 个校本选修课学分, 对进入“心理社”的同学增加 0.5 个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课 学分分数不低于 1 分的概率. 【解析】(1)根据题意得: 12 12 1 , 24 3 1 (1)(1), 8 p p pp 且 12 pp，所以 12 11 , 64 pp. (2)令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为 X, 111111 (1)(1), (1.5) 4684624 P XP X, 所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于 1 分的概率 111 8246 P . 21已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, _,且 3,3
33、sin3sin4sin()aBCBC.现从: 3 A , 3 B , 2 AB 这三个条 件中任选一个,将题目补充完整,并判断这样的ABC 是否存在,若存在,求ABC 的面积 S; 若不存在,请说明理由. 【解析】若选条件.由 3sin B+3sin C=4sin(B+C),得 3b+3c=4a. 又 a=3,所以 b+c=4.因为 3 A ,所以 22 9bcbc, 解得 615 , 3 615 , 3 b c 或 615 , 3 615 , 3 b c 不妨取 615 , 3 615 , 3 b c 易知 bac,且 a+cb, 所以这样的ABC 存在,其面积 11737 3 sin 22
34、3212 SbcA. 若选条件.由 3sin B+3sin C=4sin(B+C),得 3b+3c=4a.又 a=3,所以 b+c=4, 因为 3 B ,所以 22 93bcc. 解得 13, 7 , 5 b c 易知 abc,且 b+ca, 所以这样的ABC 存在,其面积 117321 3 sin3 225220 SacB . 若选条件.由 3sin B+3sin C=4sin(B+C),得 3b+3c=4a,又 a=3, 所以 b+c=4,因为 A+B= 2 ,所以 222 abc,即 22 9bc, 解得 7 , 8 25 , 8 b c 易知 cab,且 a+bc, 所以这样的ABC
35、存在,其面积 11721 sin3 22816 SabcC . 综上所述,选条件时, 7 3 12 S ;选条件时, 21 3 20 S ;选条件时, 21 16 S . 22如图,E,F,G,H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BC,CC1,C1D1,AA1的中点.求证: (1)GE平面 BDD1B1; (2)平面 BDF平面 B1D1H. 【证明】(1)取 B1D1的中点 O,连接 GO,OB, 易证 1111 11 / , 22 OGBC BEBC ,所以 / OGBE ,四边形 BEGO 为平行四边形, 所以 OBGE.因为 OB平面 BDD1B1,GE平面 BDD1B1, 所以 GE平面 BDD1B1. (2)由正方体性质得 B1D1BD, 因为 B1D1平面 BDF,BD平面 BDF,所以 B1D1平面 BDF.连接 HB,D1F, 易证 HBFD1是平行四边形得 HD1BF. 因为 HD1平面 BDF,BF平面 BDF,所以 HD1平面 BDF. 因为 B1D1HD1=D1,所以平面 BDF平面 B1D1H.
