1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 加强练(五)导数及其应用 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1函数 f(x)aln xx 在 x1 处取到极值，则 a 的值为() A1B1 2 C0D.1 2 答案A 解析因为 f(x)aln xx， 所以 f(x)a x1. 又因为 f(x)在 x1 处取到极植， 所以 f(1)a10a1. 经检验符合题意故选 A. 2(2020浙江
2、名校预测二)已知函数 yf(x)的图象如图所示，则其导函数 yf(x) 的图象可能是() 答案B 解析由 yf(x)的图象可知 yf(x)为分段函数，当 x0，)时，曲线上各点 的斜率是一个小于 0 的常数，故此时对应的 f(x)是导函数值小于 0 的常值函数； 当 x(， 0)时， 曲线上各点的斜率大于 0 且斜率越来越大， 故此时对应的 f(x) 是一个函数值大于 0 且单调递增的函数，故选 B. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3 (2020济南
3、模拟)已知函数 yf(x)的部分图象如图， 则 f(x)的解析式可能是() Af(x)xtan x Bf(x)xsin 2x Cf(x)x1 2sin 2x Df(x)x1 2cos x 答案C 解析由函数图象可得 f(x)是定义在 R 上的奇函数，排除 A，D；对于 f(x)x sin 2x，f(x)12cos 2x，因为方程 f(x)0 有无数个解，所以函数 f(x)有无数个 极值点，与图象不符，排除 B；对于 f(x)x1 2sin 2x，f(x)1cos 2x0，则 f(x) 在 R 上是增函数，与图象相符，故选 C. 4已知函数 yf(x)是定义在 R 上的函数，其图象关于坐标原点对
4、称，且当 x (，0)时，不等式 f(x)xf(x)bcBcba CcabDacb 答案C 解析构造函数 g(x)xf(x)，则 g(x)f(x)xf(x)，当 x(，0)时，g(x)0， 所以函数 yg(x)在(，0)上单调递减因为函数 yf(x)的图象关于坐标原点 对称， 所以 yf(x)是奇函数， 由此可知函数 yg(x)是偶函数 根据偶函数的性质， 可知函数 yg(x)在(0，)上单调递增又 ag(20.2)，bg(ln 2)，cg(2) g(2)，由于 ln 220.2ab. 5(2021温州适应性考试)若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex 1 的极值点，则 f(x)的极小值
5、为() A1B2e 3 C5e 3 D1 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案A 解析f(x)x2(a2)xa1ex 1， 则 f(2)42(a2)a1e 30a1， 则 f(x)(x2x1)ex 1，f(x)(x2x2)ex1，又 ex10，恒成立， 令 f(x)0，得 x2 或 x1， 当 x1 时，f(x)0， 当2x1 时，f(x)f(1)f 5 Bf(1)f 3 f 5 Cf 5 f(1)f 3 Df 3 f 5 f(1) 答案A 解析因为
6、f(x)xsin x， 所以 f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)， 所以函数 f(x)是偶函数，所以 f 3 f 3 . 又当 x 0， 2 时，f(x)sin xxcos x0， 所以函数 f(x)在 0， 2 上是增函数， 所以 f 5 f(1)f(1)f 5 . 7(2019天津卷)已知函数 f(x) 2 x，0 x1， 1 x，x1. 若关于 x 的方程 f(x)1 4x 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a(aR)恰有两个互异的实数
7、解，则 a 的取值范围为() A. 5 4， 9 4B. 5 4， 9 4 C. 5 4， 9 4 1D. 5 4， 9 4 1 答案D 解析如图，分别画出两函数 yf(x)和 y1 4xa 的图象 (1)先研究当 0 x1 时， 直线 y1 4xa 与 y2 x的图象只有一个交点的情况 当直线 y1 4xa 过点 B(1，2)时，2 1 4a，解得 a 9 4.所以 0a 9 4. (2)再研究当 x1 时，直线 y1 4xa 与 y 1 x的图象只有一个交点的情况： 相切时，由 y 1 x2 1 4，得 x2，此时切点为 2，1 2 ，则 a1. 相交时，由图象可知直线 y1 4xa 从过
8、点 A 向右上方移动时与 y 1 x的图象 只有一个交点过点 A(1，1)时，11 4a，解得 a 5 4.所以 a 5 4. 结合图象可得，所求实数 a 的取值范围为 5 4， 9 4 1 故选 D. 8(2020浙江名师预测卷二)已知函数 f(x)x2(x1)|xa|，aR，xa，下列 结论中正确的是() A存在实数 a 使得 f(x)0 有唯一解 B存在实数 a 使得 f(x)0 有两个解 C不存在实数 a 使得 f(x)0 无解 D不存在实数 a 使得 f(x)0 恒成立 答案A 解析f(x)x2(x1)|xa| 2x2（1a）xa，xa， （1a）xa，xa， 当1a 4 a， 即
9、a1 3时， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 f(x)在 R 上单调递增，f(x)0 恒成立，排除 C，D；当1a1 3时，f(x)在 (，a)上单调递增，在 a，1a 4上单调递减，在 1a 4 ， 上单调递增，当 且仅当 x1a 4 时，f(x)0；当 a1 时，f(x)在 ，1a 4上单调递减，在 1a 4 ， 上单调递增，当且仅当 x1a 4 时，f(x)0；当 a1 时，f(x) 2x21，x1， 1，x1， f(x)0 有无数个解，综上，故
10、选 A. 9(2020浙江名校联考信息卷八)若函数 f(x)| 2（ln x1） x a|1 恰有两个 零点，则实数 a 的取值范围是() A(，11，3)B(1，3) C(1，1)(1，3)D1，3) 答案A 解析由 f(x)0 得2（ln x1） x a1， 设 g(x)2（ln x1） x ， f(x)恰有两个零点， 即函数 g(x)2（ln x1） x 的图象与直线 ya1 恰有两个交点g(x)2ln x x2 ， 当 x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当 x(1，)时，g(x)1 e时，g(x)0，当 x时，g(x)0，x0 时，g(x)，g(1)2， 所以作出 g(x)
11、的大致图象由图可知，当 a10 或 a12， a10 或 a12， 0a12时满 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 足题意，解得 a1 或 1a0，1x2)的最大值为 3，最小值为5，则 ab _ 答案6 解析令 f(x)4ax38ax4ax(x22)0， 解得 x10(舍去)，x2 2，x3 2(舍去) 又 f(1)a4abb3a，f(2)16a16abb， f( 2)b4a， 所以 b4a5， b3. 所以 a2，b3，ab6. 15(一题多解)在平
12、面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx4 x(x0)上的一个动点， 则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是_； 此时点 P 的坐标为_ 答案4( 2，3 2) 解析法一由题意可设 P x0，x0 4 x0(x00)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则点 P 到直线 xy0 的距离 d| x0 x04 x0| 2 | 2x0 4 x0| 2 22x0 4 x0 2 4， 当 且仅当 2x04 x0，即 x 0 2时取等号， 此时 y0 2 4
13、23 2， 即点 P 的坐标为( 2，3 2) 法二设 P x0，4 x0 x 0 (x00)， 则曲线在点 P 处的切线的斜率为 k14 x20.令 1 4 x20 1，结合 x00 得 x0 2，P( 2，3 2)，曲线 yx4 x(x0)上的点 P 到直线 xy0 的最短距离即为此时点 P 到直线 xy0 的距离，故 dmin| 23 2| 2 4. 16(2020北京东城区期末)已知函数 f(x)axexx22x. (1)当 a1 时，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为_； (2)当 x0 时，若曲线 yf(x)在直线 yx 的上方，则实数 a 的取值范围是 _ 答案(1
14、)yx(2)1，) 解析(1)当 a1 时，f(x)xexx22x，其导数 f(x)ex(x1)2x2，f(0) 1. 又因为 f(0)0， 所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 yx. (2)根据题意，当 x0 时， “曲线 yf(x)在直线 yx 的上方”等价于“axexx22xx 恒成立”， 又由 x0，则 axexx22xxaexx10ax1 ex ， 则原问题等价于 ax1 ex 恒成立； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 设
15、g(x)x1 ex ，则 g(x) x ex， 又由 x0，则 g(x)0，则函数 g(x)在区间(0，)上递减， 又由 g(0) 1 e01，则有 x1 ex 1， 若 ax1 ex 恒成立，必有 a1， 即 a 的取值范围为1，) 17已知函数 F(x)1x x kln x(其中 k0)，F(x)（1x）x（1x）x x2 k x kx1 x2 . 若 k0，在 1 e，e上，恒有k x1 k x2 0 时，ke，x 1 k0， k x1 k x2 0， F(x)在 1 e，e上单调递减，F(x)minF(e)1e e k1 ek1，F(x) maxF 1 e ek1. 综上所述，当 k0
16、 且 k0) (1)若 x0 时，函数 f(x)取得一个极值，求实数 k 的值； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)在(1)的条件下，对任意 nN*，m1，求证 11 m 1 1 m2 1 1 mn1 2 ， 所以 f(x) 2 2x1k， 由 f(0)0，得 k2. 当 k2 时，f(x) 4x 2x1，它在 x0 的两侧是异号的， 所以 k2 成立 (2)证明由(1)进一步可以判断出 f(0)是 f(x)在 1 2，上的极大值，也是最大 值，于
17、是我们可以得到任意 x1 2，ln(12x)2x， 所以任意 x1 2，12xe 2x. 于是 11 m 1 1 m2 1 1 mne 1 m 1 m2 1 mne 1 m 1 mn1 11 m 0) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)求证：f(x)e x 2(x0) (1)解已知函数 f(x)1e x x (x0)， 导函数为 f(x)1xe x x2ex . 令 h(x)exx1，则 h(x)ex1， 当 x0 时，h(x)ex10 时，h(x)ex10， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全
18、QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 h(x)minh(0)0，即 exx1，当且仅当 x0 时，等号成立 由已知 x0，得 exx1， 所以 f(x)1xe x x2ex e x 2(x0)等价于 e xxex 210) 令 g(x)e xxex 21，x0， g(x)e xex 2x 1 2e x 2 e x 2 e x 2 x 21 ， 由(1)易得 e x 2 x 21，所以 g(x)0 时，有 g(x)g(0)0， 即 e xxex 210)，故 f(x)e x 2(x0) 21(本小题满分 15 分)(2020北京丰台区期末)设函数 f(x)asin xxcos
19、x， x 0， 2 (1)当 a1 时，求证：f(x)0； (2)如果 f(x)0 恒成立，求实数 a 的最小值 (1)证明因为 a1，所以 f(x)sin xxcos x，f(x)xsin x， 当 x 0， 2 时， f(x)0 恒成立， 所以 f(x)在区间 0， 2 上单调递增， 所以f(x)f(0) 0. (2)解因为 f(x)asin xxcos x，x 0， 2 ， 所以 f(x)(a1)cos xxsin x. 当 a1 时，由(1)知 f(x)0 对 x 0， 2 恒成立； 当 a1 时，因为 x 0， 2 ，所以 f(x)0. 因此 f(x)在区间 0， 2 上单调递增，
20、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 f(x)f(0)0 对 x 0， 2 恒成立； 当 a1 时，令 g(x)f(x)，则 g(x)(2a)sin xxcos x， 因为 x 0， 2 ，所以 g(x)0 恒成立， 因此 g(x)在区间 0， 2 上单调递增， 且 g(0)a10，g 2 20， 所以存在唯一 x0 0， 2 使得 g(x0)0， 即 f(x0)0. 所以任意 x(0，x0)时，f(x)0，所以 f(x)在(0，x0)上单调递减 所以
21、 f(x)f(0)0，不合题意 综上可知实数 a 的最小值为 1. 22(本小题满分 15 分)(2020诸暨期末)已知函数 f(x)1 xxaln x. (1)若 f(x)在(0，)上为单调函数，求实数 a 的取值范围； (2)若3 2 2 a5 2，记 f(x)的两个极值点为 x 1，x2，记f（x 1）f（x2） x1x2 的最大值与最 小值分别为 M，m，求 Mm 的值 解(1)f(x)的定义域为(0，)， f(x) 1 x21 a x x2ax1 x2 . 因为 f(x)为单调函数，所以 x2ax10 对 x0 恒成立，即 ax1 x对 x(0， )恒成立，x1 x2，所以 a2.即
22、实数 a 的取值范围是(，2 (2)由(1)知 x1，x2是 x2ax10 的两个根， 从而 x1x2a，x1x21，不妨设 x1x2， 则 tx1 x2 a a24 a a24 4 （a a24）2，0t1， 由已知3 2 2 a5 2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以t为关于a的减函数， 所以1 4t 1 2， f（x1）f（x2） x1x2 1 x1x21a ln x1ln x2 x1x2 2(x1x2)ln x1ln x2 x1x2 2t1 t1ln t. 令 h(t)2t1 t1ln t， 则 h(t) t1 t 2ln t （t1）2 . 因为当 a2 时，f(x)1 xx2ln x 在(0，)上为减函数， 所以当 t1 时，f(t)1 t t2ln tf(1)0， 从而 h(t)0，所以 h(t)在(0，1)上为减函数， 所以当3 2 2 a5 2时，Mmh 1 4 h 1 2 ln 2 3 .
