1、第九章第九章 平面解析几何平面解析几何 第五节第五节 椭圆椭圆 考点考点 2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 （2018北京卷（理） ）已知椭圆 M：? ? ? ? ?1（ab0） ，双曲线 N： ? ? ? ?1.若双曲线 N 的两条渐近线 与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双 曲线 N 的离心率为_ 【解析】方法一双曲线 N 的渐近线方程为 y ? ?x，则 ? ?tan 60 ?，双曲线 N 的离心率 e1满足? ?1 ? ? ?4，e12. 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ?得 x 2 ? ?. 如图，设 D 点的横坐标为
2、x， 由正六边形的性质得|ED|2xc，4x2c2. ? ?a 2b2，得 3a46a2b2b40， 3? ? ? ? ? ? 0，解得? ? ?2 ?3. 椭圆 M 的离心率 e2满足? ?1? ?42 ?. e2 ?1. 方法二双曲线 N 的渐近线方程为 y? ?x， 则? ?tan 60 ?. 又 c1 ? ?2m，双曲线 N 的离心率为? ?2. 如图，连接 EC，由题意知，F，C 为椭圆 M 的两焦点，设正六边形的边长为 1，则|FC|2c22，即 c21. 又 E 为椭圆 M 上一点，则|EF|EC|2a，即 1 ?2a， a? ? ? . 椭圆 M 的离心率为? ? ? ? ?
3、?1. 【答案】 ?12 （2018浙江卷）已知点 P（0,1） ，椭圆? ? ?y 2m（m1）上两点 A，B 满足?t ? ?2tt? ?，则当 m_ 时，点 B 横坐标的绝对值最大 【解析】方法一如图，设 A（xA，yA） ，B（xB，yB） ，由于椭圆具有对称性，不妨设点 B 在第一象限，则 xB0，yB0. P（0,1） ，?t ? ?2tt? ?， （xA,1yA）2（xB，yB1） xA2xB， 即 xA2xB 设直线 AB：ykx1（k0） 将 ykx1 代入? ? ?y 2m， 得（14k2）x28kx44m0.（*） xAxBxB ?t ?t?， xB ?t ?t? ? ?
4、 t?t ? ? ? t?t 2， 当且仅当? t4k，即 k ? ?时，xB取到最大值 2， 此时方程（*）化为 x22x22m0， xAxB2?t ?8，即 22m8， 解得 m5. 当点 B 在其他象限时，同理可解 方法二设直线 AB：ykx1（k0） ，A（xA，yA） ，B（xB，yB） 由 P（0,1） ，?t ? ?2tt? ?，得 xA2xB 由 ? ? t? ? ? ? ? ? ?得（14k 2）x28kx44m0， xAxBxB ?t ?t?，xAxB2?t ? ?t?.消去 xB，得 m1 ?t? ?t?. |xB| ? t ?t? ? ? t ? ? t 2， 当且仅当
5、|k|? ?时，|xB|max2，此时 m5. 【答案】5 （2018全国卷（理） ）已知 F1，F2是椭圆 C：? ? ? ? ?1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 ? ? 的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解析】如图，作 PBx 轴于点 B 由题意可设|F1F2|PF2|2，则 c1， 由F1F2P120， 可得|PB| ?，|BF2|1， 故|AB|a11a2， tanPAB tt ?t ? ? ? ? ， 解得 a4， 所以 e? ? ? ?. 故选 D 【答案】D
