1、课时作业课时作业 77参数方程参数方程 1 在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 半圆 C 的极坐标方程为2cos， 0， 2 . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标 解：(1)C 的普通方程为(x1)2y21(0y1) 可得 C 的参数方程为 x1cost， ysint (t 为参数，0t) (2)设 D(1cost，sint)由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心，1 为半径的上半圆 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所
2、以直线 GD 与 l 的斜率相同，tant 3，t 3. 故 D 的直角坐标为 1cos 3，sin 3 ，即 3 2， 3 2 . 2在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x3 2 2 t， y 5 2 2 t (t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中， 圆 C 的极坐标方程为2 5sin. (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(3， 5)，求|PA|PB|. 解：(1)由2 5sin，得22 5sin， x2y22 5y，即 x2(y 5)25.
3、 (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 3 2 2 t 2 2 2 t 25，即 t23 2t40. 由于(3 2)24420，故可设 t1，t2是上述方程的两实根，所以 t1t23 2， t1t24. 又直线 l 过点 P(3， 5)， 故由上式及 t 的几何意义，得|PA|PB|t1|t2|t1t2|3 2. 3在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2cos， y4sin (为参数)，直线 l 的参数方程为 x1tcos， y2tsin (t 为参数) (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求
4、l 的斜率 解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x 2 4 y2 161. 当 cos0 时，l 的直角坐标方程为 ytanx2tan， 当 cos0 时，l 的直角坐标方程为 x1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cossin)t80. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t20. 又由得 t1t242cossin 13cos2 ，故 2cossin0，于是直线 l 的斜率 ktan2. 4(2021石家庄教学质检)已知曲线 C1的极坐标方程为4cos，以极点
5、 O 为直角坐标原点，以极轴为 x 轴的正 半轴建立平面直角坐标系 xOy，将曲线 C1向左平移 2 个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原 来的1 2，纵坐标保持不变，得到曲线 C 2. (1)求曲线 C2的直角坐标方程； (2)已知直线 l 的参数方程为 x22t， y13t (t 为参数)，点 Q 为曲线 C2上的动点，求点 Q 到直线 l 距离的最大值 解：(1)由4cos得24cos， 所以曲线 C1的直角坐标方程为(x2)2y24. 设曲线 C1上任意一点的坐标为(x，y)，变换后对应的点的坐标为(x，y)，则 x1 2x2， yy， 即 x2x2， yy， 代入曲
6、线 C1的直角坐标方程(x2)2y24 中，整理得 x2y 2 4 1，所以曲线 C2的直角坐标方程为 x2y 2 4 1. (2)设 Q(cos1,2sin1)，由直线 l 的参数方程得直线 l 的普通方程为 3x2y80，则 Q 到直线 l 的距离 d |3cos14sin18| 13 |5cos18| 13 (tan4 3)，当 cos( 1)1 时，d 取得最大值，为 13， 所以点 Q 到直线 l 距离的最大值为 13. 5(2021郑州市质量预测)在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos232sin212，
7、直线 l 的参数方程为 x2 2 2 t， y 2 2 t (t 为参数)， 直线 l 与曲线 C 交于 M， N 两点 (1)若点 P 的极坐标为(2，)，求|PM|PN|的值； (2)求曲线 C 的内接矩形周长的最大值 解：(1)由2cos232sin212 得 x23y212， 故曲线 C 的直角坐标方程为 x2 12 y2 4 1， 点 P 的直角坐标为(2,0)， 将直线 l 的参数方程 x2 2 2 t， y 2 2 t 代入曲线 C 的直角坐标方程 x2 12 y2 4 1 中，得 t2 2t40，设点 M， N 对应的参数分别为 t1，t2，则|PM|PN|t1t2|4. (2
8、)由曲线 C 的直角坐标方程为x 2 12 y2 4 1，可设曲线 C 上的动点 A(2 3cos，2sin)，0 2， 则以 A 为顶点的内接矩形的周长为 4(2 3cos2sin)16sin( 3)，0 2. 因此该内接矩形周长的最大值为 16，当且仅当 6时取得最大值 6(2021洛阳市统考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 x12t， y2t (t 是参数)，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为2 4 13sin2. (1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； (2)设曲线 C2经过伸缩变换 x2x， yy 得到曲线
9、 C3，M(x，y)是曲线 C3上任意一点，求点 M 到曲线 C1的距离 的最大值 解：(1)由 x12t， y2t， 消参可得曲线 C1的普通方程为 x2y50，2 4 13sin2， 232sin24， 将 xcos， ysin， x2y22， 代入可得 x24y24. 故曲线 C2的直角坐标方程为x 2 4 y21. (2)曲线 C2：x 2 4 y21，经过伸缩变换 x2x， yy 得到曲线 C3的方程为x 2 16 y21， 曲线 C3的方程为 x2 16y 21. 设 M(4cos，sin)，根据点到直线的距离公式可得 点 M 到曲线 C1的距离 d|4cos2sin5| 1222 |2sin4cos5| 5 |2 5sin5| 5 2 55 5 2 5(其中 tan2)， 点 M 到曲线 C1的距离的最大值为 2 5.
