1、一、不等式基本知识一、不等式基本知识 1、基本性质、基本性质 性质一：性质一：abba（对称性）（对称性） 性质二：性质二：cacbba,（传递性）（传递性） 性质三：性质三：cbcaba 性质四：性质四：bcaccbabcaccba0,;0, 2、运算性质运算性质 dbcadcba ,（加法法则加法法则） ；bdacdcba0, 0（乘法法则乘法法则） nn baNnba , 0（乘方法则乘方法则） ； nn baNnba , 0（开方法则开方法则） 3、常用不等式常用不等式 （1）ab baba 2 22 ) 2 ( 2 （2）|2 22 abba取等号条件取等号条件：一正一正、二定二定、
2、三三 相等相等 （3）2| 1 | x x（4）若）若 ma mb a b mba , 0, 0 （5） n nn xxxnxxxx 21321 (0 i x) 二、不等式的证明方法二、不等式的证明方法 常用的方法有常用的方法有：比较法比较法、分析法分析法、综合法综合法、归纳法归纳法、反证法反证法、类比法类比法、放缩法放缩法、 换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。 1、比较法比较法 例例 1、若、若, 0, 0ba求证：求证：ba b a a b 22 。 证 明 ：证 明 ： ab baba ba ab baba
3、ba ba b a a b 22222 )( )( )( )( 0， ba a b b a 22 。 2、分析法分析法 例例 2 已知已知yxba,都是正实数，且都是正实数，且., 11 yx ba 求证：求证： yb y xa x 。 解：解：yxba,都是正实数，都是正实数，要证要证 yb y xa x ，只要证，只要证)()(xayybx，即，即 证证aybx ，也就是，也就是 ab ay ab bx ，即，即, b y a x 而由而由., 11 yx ba ，知，知 b y a x 成立，原式成立，原式 得证。得证。 3、综合法（先用分析法分析寻找思路，再正面求证）综合法（先用分析法
4、分析寻找思路，再正面求证） 例例 3、设设cba,均为正数均为正数，且且1cba，求证求证：23131313cba。 证 明 ：证 明 ：cba,均 为 正 数 ，均 为 正 数 ，1cba，10 , 10 , 10cba， 2 33 132, 2 33 132, 2 33 132 c c b b a a ，以上三式相加得，以上三式相加得 , 61313132cba23131313cba。 例例 4、设、设 NnNm,且且nm ，求证：，求证： nm nm ) 1 1 () 1 1 ( 证明：证明：1111) 1 1 () 1 1)( 1 1 () 1 1 ( mmmm mn n mnm m
5、)(1) 1 1 ( n n ) 1 1 ( ，1 1 1 m ，上述不等式中不能取等号，上述不等式中不能取等号， nm nm ) 1 1 () 1 1 (成立。成立。 式中乘了式中乘了mn个个 1 构成不等式构成不等式. 4、数学归纳法数学归纳法 例例 5、设、设1x，且，且, Nn求证求证nxx n 1)1 ( 证明证明： （1）当）当1n时，时，xx11)1 (，不等式成立，不等式成立 （2） 假设当假设当, Nkkn时时， 不等式成立不等式成立， 即即kxx k 1)1 (，那么当那么当1 kn时时， 0, 01, 1 2 kxxx，由归纳假设可得由归纳假设可得xkxkxx k ) 1
6、(1)1)(1 ()1 ( 1 xkxxkkx k ) 1(1)1 (,) 1(1 12 ，即即1 kn时时，不等式也成立不等式也成立，综合以综合以 上所述，对于任意上所述，对于任意1x，且，且, Nnnxx n 1)1 (都成立。都成立。 5、反证法反证法 例例 6、已知已知cba,都是小于都是小于 1 的正数的正数，求证求证：accbba)1 ( ,)1 ( ,)1 (中至少有一个中至少有一个 不大于不大于 4 1 。 证明：假设三个式子都大于证明：假设三个式子都大于 4 1 ，cba,都是小于都是小于 1 的正数的正数 2 1 )1 (ba， 2 1 )1 (, 2 1 )1 (accb
7、， 从 而， 从 而 2 3 )1 ()1 ()1 (accbba， 但 是， 但 是 2 3 2 )1 ( 2 )1 ( 2 )1 ( )1 ()1 ()1 ( accbba accbba与 上 式 矛与 上 式 矛 盾，故假设不成立，原命题成立。盾，故假设不成立，原命题成立。 6、类比法类比法 例例 7、已知函数、已知函数)0()( 2 acbxaxxf的图像与的图像与x轴有两个不同的交点，若轴有两个不同的交点，若 0)(cf，且，且cx 0时时0)(xf，当，当0, 1tc时，求证：时，求证：0 12 t c t b t a 。 证明：直接证明很困难，题中说到函数证明：直接证明很困难，题
8、中说到函数)(xf的性质，那么就要构造成类似的性质，那么就要构造成类似)(xf 的形式，即类比函数，要证的形式，即类比函数，要证0 12 t c t b t a ，即证，即证0 12 c t t b t t a， 2 ) 1 ( 2 t t t t 且且0a，) 1 () 1 () 1 ( 12 2 t t fc t t b t t ac t t b t t a，而，而 c t t 1 1 00 12 , 0) 1 ( t c t b t a t t f，命题得证。，命题得证。 7、放缩法放缩法 常用放缩公式：常用放缩公式：1 2 1 1nn n nn； nnnnn 1 1 11 1 11 2
9、 ； )0, 0( mab b a mb ma ；)3(2! 1 nn n ；n个正数个正数 n aaaa 321 ,2n， 有有 n nn aaaanaaaa 321321 ， 当且仅当当且仅当 n aaaa 321 时等号成立时等号成立； |bababa；) 1ln(, 0() 1ln(xxxxx； 二 项 式 定 理 展 开 式二 项 式 定 理 展 开 式 n nnnn n CCCCCba n 3210 )(； )0(31)1 ( 3 xxx 例例 8、已知正项数列、已知正项数列 n a满足满足) 10( 1 aaa，且，且 n n n a a a 1 1 ， （1）求证：）求证： a
10、n a an ) 1(1 （2） n k k k a 1 1 1 证明证明： （1）1 1 2 1 1 11 , 1 11 1 211 1 n aaaaaaa a a nnnnnn n n a an) 1(1 ， an a an ) 1(1 （2） nna a ana a an a an 1 1) 1(1 ， ) 1( 1 32 1 21 1 1 1 nnk a n k k . 1 1 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 nnn 命题得证。命题得证。 8、换元法换元法 常用的换元方法常用的换元方法若若 222 ayx可设可设)2 , 0,sin,cosayax。 若若1 22 22
11、b y a x ，可设，可设)2 , 0,sin,cosbyax。 对于对于 2 1x，可设，可设), 0( ,cosx，或，或) 2 , 2 ( ,sin x。 对于对于 2 1x，可设，可设tanx或或cotx。 对于对于1 2 x，可设，可设secx或或cscx。 若若 222 ayx，可设，可设aryrx|0 ,sin,cos 例例 9、已知、已知4, 22 baRba，求证：，求证： 20|383| 22 baba 。 证明：设证明：设)(sin,cosRrbra，其中，其中20 r，原式可转化为原式可转化为 | )2cos(|5|2sin42cos3|sin3cossin8cos3
12、| 22222 rrr， , 1| )2cos(|0原式原式205 2 r，原不等式成立。原不等式成立。 9、判别式法判别式法 例例 10、求证：、求证： 2 3 1 1 2 1 2 2 x xx 。 证明：设证明：设 1 1 2 x xx y，则，则01)1 ( 2 yxxy，定义域为，定义域为 R （1）1y时，时，0 x是定义域中的一个值，是定义域中的一个值，1y是值域中的一个值。是值域中的一个值。 （2）1y时，由时，由0)1 (41 2 y，得，得) 1( 2 3 2 1 yy。 综上所述综上所述 2 3 1 1 2 1 2 2 x xx 成立。成立。 推论：判别式法证明对形如推论：
13、判别式法证明对形如), 0,( 21 2 2 2 11 2 1 2 Rxaab cxbxa cxbxa a 具有一般性。具有一般性。 10、导数法（单调性）导数法（单调性） 例例 11 、 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列、 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 n a的 前的 前n项 和项 和 n S满 足满 足1 1 S， 且， 且 NnaaS nnn ),2)(1(6, (1)求求 n a的通项公式的通项公式； （2）设数列）设数列 n b满足满足, 1) 12( n b n a并记并记 n T为为 n b的前的前n项项 和，求证：和，求证：)3(log13 2 nn a
14、T， Nn。 解解： （1）2 , 1),1)(1( 6 1 11111 aaaSa，由已知，由已知2, 11 11 aSa，又，又 )2)(1()2)(1( 6 1 1111 nnnnnnn aaaaSSa，得，得 nnnn aaaa 11 , 3（舍（舍 去）去） n a是公差为是公差为 3，首项为，首项为 2 的等差数列，故的等差数列，故 n a通项公式为通项公式为13 nan。 （2）由由, 1) 12( n b n a解得解得 13 3 log) 1 1 (log 22 n n a b n n ， nn bbbbT 321 ) 13 3 8 9 5 6 2 3 (log2 n n ，
15、 23 2 ) 13 3 5 6 2 3 (2log)3(log13 3 2 nn n aT nn ，令令 )(nf 23 2 ) 13 3 5 6 2 3 ( 3 nn n ，则，则 )23)(53( )33( ) 23 33 ( 53 23 )( ) 1( 3 3 nn n n n n n nf nf ， 因因)() 1(, 079)23)(53()33( 23 nfnfnnnn，特别的，特别的 20 27 ) 1 ()( fnf，)3(log13 2 nn aT。 11、构造函数法构造函数法 例例 12、对于函数、对于函数)(xf，若存在，若存在, 0 Rx 使使 00) (xxf成立，
16、则称成立，则称 0 x为为)(xf的不动的不动 点，如果函数点，如果函数)(xf),( 2 Ncb cbx ax 有且仅有两个不动点有且仅有两个不动点 0,2，且，且 2 1 )2(f， （1）试求函数试求函数)(xf的单调区间。的单调区间。 （2）已 知 各 项 不 为 零 的 数 列已 知 各 项 不 为 零 的 数 列 n a满 足满 足1) 1 (4 n n a fS， 求 证 ：， 求 证 ： nn an n a 11 ln 1 1 。 （3）设设 n n n T a b, 1 为数列为数列 n b的前的前n项和，求证：项和，求证： 20072008 2008ln1TT。 解解： （
17、1）令）令0)1 (,)( 2 2 acxxbx cbx ax xf，由已知，由已知 0,2 时方程的两根，时方程的两根， , 0, 0, 01 21 aaxxb, 022, 1 221 bc b c xx10,bcb， 2, 2 5 0, 248, 2 1 2 4 )2( bbb cb f 22 )(, 2 2 x x xfc， ) 1(2 )2( )( x xx xf， 令令0)( x f得得2x或或10 x， 令令0)( x f， 得得0 x或或21 x， 增区间为增区间为), 2( 和和) 1 , 0(，减区间为，减区间为)0 ,(和和)2 , 1 (。 （2） )1 (2 1 ) 1
18、 ( nnn aaa f ，1) 1 (4 n n a fS,2 ,2 2 111 2 nnnnnn aaSaaS 两式做差得两式做差得1 1 nn aa，数列数列 n a是以是以-1 为公差，为公差，-1 为首项的等差数列，为首项的等差数列， nan，要证原式要证原式， 即证即证 nn n n 11 ln 1 1 ， 令令 n x 1 ， 函数函数xxxg) 1ln()(， 0 1 )( x x xg，递减，递减 nn n xxxgxg 1 ) 1 ln(,)1ln(, 0)(, 01ln)( max ， 同理可证同理可证 nn an n ann n11 ln 1 , 1 1 ) 1 ln(
19、 1 。 （3）由由 （2） 得得 nn b n n n n b 1 ln, 1 ln 1 ，12ln 2006 2007 ln 2007 2008 ln1 2008 T 2008ln12008ln，2008ln2ln 2006 2007 ln 2007 2008 ln 2007 T， 20072008 2008ln1TT。 12、数轴穿针法（注意奇次幂穿过，偶此幂不穿过，从最大值且从数轴上方开数轴穿针法（注意奇次幂穿过，偶此幂不穿过，从最大值且从数轴上方开 始穿，每过一个值都要穿过，而且也要相应的变换在数轴的上下方）始穿，每过一个值都要穿过，而且也要相应的变换在数轴的上下方） 例例 13、求
20、解不等式、求解不等式0 )7)(6( )9)(8()4( 2 xx xxx 解解： 原不等式等价于原不等式等价于0)7)(6)(9)(8()4( 2 xxxxx， 根分别为根分别为9 , 8 , 4 , 7, 6 在在 数轴上标出这些值，考虑到数轴上标出这些值，考虑到 4 对应的为偶次幂，所以不穿过。其结果如图对应的为偶次幂，所以不穿过。其结果如图 -7-6489 在数轴上方的为大于在数轴上方的为大于 0 的解，下方的为小于的解，下方的为小于 0 的解，因此不等式的解为的解，因此不等式的解为 , 67|xx或或98 x 三、三、含绝对值不等式的解法含绝对值不等式的解法 一、一、分类讨论法分类讨
21、论法 例例 1、求、求xx2|3| 2 的解集。的解集。 解 ：解 ： 当当03 2 x时 ， 有时 ， 有, 3x或或, 3x此 时 原 式 即 为此 时 原 式 即 为 . 0) 1)(3(32 2 xxxx解得解得3x或或1x，与，与, 3x或或, 3x求交集得求交集得 解解3x或或3x。 当当03 2 x时时，有有33x，原式即为原式即为0)3)(1(32 2 xxxx，解得解得 13x，与，与33x求交集得求交集得13x。 综上综上所述，原不等式解集为所述，原不等式解集为1|xx或或3x。 二、二、两边平方法（承接例两边平方法（承接例 1） 当当0 x时，原不等式可化为时，原不等式可
22、化为09104)3( 24222 xxxx分解因式得分解因式得 0) 1)(1)(3)(3(xxxx， 所以所以3x或或3x或或11x， 故故3x或或10 x。 当当0 x时，原不等式恒成立。时，原不等式恒成立。 综合综合可得解集为可得解集为1|xx或或3x。 三、三、图像法（承接例图像法（承接例 1） 令令,2|,3| 2 2 1 xyxy分别在坐标轴上画出两者的图像，解方程分别在坐标轴上画出两者的图像，解方程xx2|3| 2 可得可得 3, 1 21 xx从图像可得不等式的解为从图像可得不等式的解为1|xx或或3x，y=|3| 2 x 四、四、等价转化法（承接例等价转化法（承接例 1） 原
23、不等式等价于原不等式等价于xx23 2 或或xx23 2 ，3x或或1x或或13x， 不等式解集为不等式解集为1|xx或或3x。 五、运用线性规划求解五、运用线性规划求解 例例 2、),(2)2()( 2 Rbaabxxaxf的定义域为的定义域为R， 则则ba3的取值范围？的取值范围？ 解：由已知解：由已知 2 042 042 0 02 a ab ab a 以以).( ba为横纵坐标轴，画出其可行域，令为横纵坐标轴，画出其可行域，令baz 3，可知直线，可知直线zab 3经过经过 )0 , 2(时有最小值时有最小值6，63ba。 六、运用绝对值的几何意义六、运用绝对值的几何意义 例例 3、对任
24、意实数、对任意实数k，不等式，不等式kxx|2| 1|恒成立，求恒成立，求k的取值范围。的取值范围。 解：解：|2| 1|xx的几何意义是的几何意义是x到到1的距离减去到的距离减去到 2 的距离的距离 由数轴可知，由数轴可知，3|2| 1|xx，3k。x-12x 四、四、 含参一元二次不等式例解含参一元二次不等式例解 含有参数的不等式应用的比较多的是分类讨论思想，含有参数的不等式应用的比较多的是分类讨论思想，其思路是一般先将式子其思路是一般先将式子 因式分解或分解因式或分母有理化，然后再结合参数对称轴、判别式、根的正因式分解或分解因式或分母有理化，然后再结合参数对称轴、判别式、根的正 负进行讨
25、论负进行讨论当无法进行因式分解的时候多涉及对称轴或者利用导数求解，下当无法进行因式分解的时候多涉及对称轴或者利用导数求解，下 面结合例题解析。面结合例题解析。 一二次项不含参数一二次项不含参数 例例 1.解关于 x 的不等式：0) 1( 2 mxmx 解：原不等式可化为0) 1)(xmx，这里有两个根：1 ,m，此时需要讨论两 根的大小，当1m，即1m时，解为1,xmx； 当1m，即1m时，解为mxx , 1； 1m，即1m时，解为1x； 综合知1m时，mxx|或1x；1m时，1|xx；1m时， 1|xx或mx 例例 2.解关于x的不等式：0) 1( 2 axax 解：此时显然无法因式分解，因
26、此通过判别式来解，164) 1( 22 aaaa 当0， 即322a或223a时 ， 不 等 式 有 两 个 根 2 16) 1( 2 1 aaa x， 2 16) 1( 2 2 aaa x，解为 1 xx ，或 2 xx ； 当0，即223223a，此时不等式恒成立； 当0，即223a或223a时，解为12 x，或) 12(x 综上所述，解为322a或223a时 2 16) 1( | 2 aaa xx，或 2 16) 1( 2 aaa x；223223a时|Rxx；223a时， 12|xx；223a时，)12(|xx。 例例 3.解关于x的不等式：)0(01 2 xaxx 解：0 x时，不等
27、式成立，此时Ra； 0 x时，原不等式可化为) 1 ( x xa，, 2 1 x x当1 1 x x时成立， 2 1 x x，2a。 综合得2|aa 二、二次项含参数 例例 4.解关于x的不等式：012 2 xax 解：0a时，解为 2 1 |xx； 0a时 ，a44； 0即1a时 ， 解 为 a a xx 11 |或 11 a a x ；0，即1a时，不等式恒成立；0，即1a时 1|xx； 综上所述0a时， 解为 2 1 |xx；1a时， 解为 a a xx 11 | 或 11 a a x ；1a时1|xx。 例例 5.解关于x的不等式：01) 1( 2 xaax 解：0a时，1x； 0a时
28、，0a时，原不等式可化为0) 1)(1(xax，此时有两根1 , 1 a ； 10 , 1 1 a a 时，解为, 1 | a xx或1x1 1 a 1,a时，解为, 1|xx或 1 a x 1, 1 1 a a 时，解为1|xx 0a时，原不等式可化为0) 1)(1(xax，解为1 1 | x a x； 综上所述：0a时1 1 | x a x；0a时1|xx；10 a时, 1 | a xx或1x； 1a时1|xx；1a时, 1|xx或 1 a x 。 例例 6.解关于x的不等式：012 2 axax 解：解：0a时，不等式恒成立；时，不等式恒成立； 0a时时，aa44 2 ；0，即即1a时时
29、，aax 2 1或或aax 2 1； 0，即，即1a时，时，1x 0，即，即10 a时，不等式恒成立；时，不等式恒成立； 0a时 ， 不 等 式 化 为时 ， 不 等 式 化 为012)( 2 axxa，044 2 aa， 此 时 解 为， 此 时 解 为 aaxaa 22 11； 综上所述综上所述：10 a时时，|Rxx；1a时时，|xaax 2 1或或aax 2 1； 0a，|xaaxaa 22 11。 五、不等式恒成立问题五、不等式恒成立问题 恒成立问题的基本类型： 类 型 1 ： 设)0()( 2 acbxaxxf， (1)Rxxf 在0)(上 恒 成 立 00且a； （2）Rxxf
30、在0)(上恒成立00且a。 类型 2：设)0()( 2 acbxaxxf,（1）当0a时，,0)(xxf在上 恒成立 0)( 2 0 2 0)( 2 f a b a b f a b 或或，,0)(xxf在上恒成 立 0)( 0)( f f （2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立 0)( 0)( f f ,0)(xxf在上恒成立 0)( 2 0 2 0)( 2 f a b a b f a b 或或 类型 3： min )()(xfIxxf恒成立对一切 max )()(xfIxxf恒成立对一切。 类型 4：的图象的上方或的图象在恒成立对一切)()()()(xgxfIxxgxf )()( maxm
31、in xgxf。 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转 化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、利用判别式解一、利用判别式解 例例 1.已知在的取值范围求恒有aaxxRx, 01, 2 。 解：原式等价于22, 04 2 aa。 例例 2.的取值范围求恒有axaxRx, 01, 2 解：原不等式等价于 4 1 , 041, 0aaa。 或 解 ： 时，不等式成立0 x； 2 1 0 x x ax 时，不等式化为， 令 4 1 4 1 )2(, 2 )(, 1 )( 32 ah x x xh x x xh，所以易知其最大值为 。 例例 3.的取值
32、范围求恒有aaxaxRx, 012, 2 解：成立；时，不等式化为, 010a 10, 044, 00 2 aaaaa且时，只需； 综上所述：。的取值范围为) 1 , 0a 二、二、利用分离常数解利用分离常数解 例例 4.已知的取值范围上恒成立，求在aaxax), 0(. 012 2 。 解： xx axxx 2 1 , 0, 0), 0( 2 2 不等式可化为，1) 1(2 22 xxx， 在02), 0( 2 xxx上，), 0( 2 1 2 xx 0a。 三、三、利用变换参数来解利用变换参数来解(该法适用于题中已给出参数的界限该法适用于题中已给出参数的界限) 例例 5.若若) 1(12
33、2 xax对满足等式不等式都成立，求解不, 33a。 解：原不等式可化为012) 1( 2 xxa，将视为参数视为变量，1 2 xa，那么 为变量的直线就可以看做是以axxaafy12) 1()( 2 ， 那 么 只 需 0)3(, 0)3(ff，解得 3 71 3 131 | xx 四、四、利用最值利用最值 此时有两种情况：此时有两种情况：axfaxf)(,)( min 那么；axfaxf)(,)( max 那么。 例例 6.不等式, 0,cos3sinxxxa恒成立，求的取值范围a。 解 ： 原 不 等 式 等 价 于 3 2 , 3 3 , 0), 3 sin(2 xxxa， 1 , 2
34、 3 ) 3 sin( x，2a 例例 7.函数), 1 , 2 )( 2 x x axx xf，若对任意), 1 x，0)(xf恒成立， 求实数a的取值范围。 解：02), 1 , 0 2 2 2 axxx x axx 等价于，)2( 2 xxa， 32), 1 2 xxx当，3a 五、五、数形结合数形结合 例例 8.已知求解不等式。, 021 x x 解 ： 不 等 式 可 化 为 x x21，,2, 1 21 x yxy令则 ， 原 不 等 式 表 示 图像上侧的部分在 21 yy，易求的解为10| xx 以上方法也适用于含参不等式恒成立问题。以上方法也适用于含参不等式恒成立问题。 练习
35、题练习题 1.若实数, x y满足 22 1xyxy，则xy的最大值是_。 2.设函数axxxaxf 22 ln)(，0a， （） 求)(xf的单调区间； （） 求所有实数a， 使 2 )(1exfe对, 1 ex恒成立注：e为自然对数的底数 3.若变量 x，y 满足约束条件 329 69 xy xy ，则2zxy的最小值是_ 4.设函数( ) | 3f xxax，其中0a （I）当 a=1 时，求不等式( )32f xx的解集 （II）若不等式( )0f x 的解集为x|1x ，求 a 的值 5.已知 22 loglog1ab，则39 ab 的最小值为_。 6.函数2sincosyxx的最大
36、值为。 7.不等式 1 1 x 的解为。 8.若不等式axx|2| 1|对任意Rx恒成立，则 a 的取值范围是_。 9.设( )ln . ( )( )( )f xx g xf xfx。 （）求( )g x的单调区间和最小值； （）讨论( )g x 与 1 ( )g x 的大小关系； （） 求a的取值范围， 使得( )( )g ag x 1 a 对任意x0 成立。 10.函数)(xf的定义域为R，2) 1(f，对任意Rx，2)( x f，则42)( xxf的解 集为A （1，1）B （1，+） C （，1）D （，+） 11.已知函数)(xf=|x-2|x-5| （I）证明：3)(xf3； （I
37、I）求不等式)(xfx28x+15 的解集 12.对于xR，不等式1028xx的解集为。 13.设1,m 在约束条件 1 yx ymx xy 下，目标函数5zxy的最大值为 4，则m的值 为 14.设集合,)2( 2 | ),( 222 Ryxmyx m yxA, , 122| ),(RyxmyxmyxB, 若, BA则实数 m 的取值范围是 _ 15.设函数1|42|)(xxf。 （）画出函数y)(xf的图像： （）若不等式axxf)(的解集非空，求a的取值范围 16.设函数 f(x)=x- 1 x ,对任意 x1,），f(mx)+mf(x)0恒成立，则实数 m 的取值范围 是_ 17.已知
38、函数( )2f xxax， （1）当3a 时，求不等式( )3f x 的解集； （2）若( )4f xx的解集包含1,2，求a的取值范围。 18.已知函数 f(x)= x-a. （）若不等式 f(x)3 的解集为15xx ，求实数 a 的值； （）在（）的条件下，若 f(x)+f(x+5)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围。 19.已知cba,均为正数，证明：36) 111 ( 2222 cba cba，并确定cba,为何 值时，等号成立。 20.已知( ) |1|()f xaxaR，不等式( )3f x 的解集为2|x1x 。 （）求 a 的值； （）若|( )2 ( )|
39、2 x f xfk恒成立，求 k 的取值范围。 答案：答案：1. 2 3 3 3.65. 186.57.), 1 ()0 ,(8.3 ,( 10.B12.0 xx13. 314.22 , 2 1 15. （） 1 , 2, 2 16.) 1,( 2,（）解：因为 22 ( )ln.0f xaxxaxx其中, x axax xf )2)( )( ,由于 0a ，所以( )f x的增区间为(0, )a，减区间为( ,)a （）证明：由题意得，(1)11,facac 即,由（）知( )1, f xe在内单调递增， 要使 2 1( )1, ef xexe 对恒成立，只要 222 (1)11, ( )
40、fae f eaeaee 解得.ae 4.（）当1a 时，( )32f xx可化为|1| 2x。由此可得3x 或1x 。 故不等式( )32f xx的解集为 |3x x 或1x 。 () 由( )0f x 得30 xax此 不 等 式 化 为 不 等 式 组 30 xa xax 或 30 xa axx 即 4 xa a x 或 2 xa a a 因为0a ，所以不等式组的解集为 | 2 a x x ，由题设可得 2 a =1，故2a 9.（）由题设知 1 ( )ln , ( )lnf xx g xx x ， 2 1 ( ), x g x x 令( )g x0 得x=1，当 x（0，1）时，(
41、)g x0，故（0，1）是( )g x的单调减区间。 当x（1，+）时，( )g x0，故（1，+）是( )g x的单调递增区间，因此，x=1 是( )g x的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1.g （II） 1 ( )lnxgx x ，设 11 ( )( )( )2lnh xg xgxx xx ，则 2 2 (1) ( ) x h x x ， 当1x 时，(1)0h即 1 ( )( )g xg x ，当(0,1)(1,)x时(1)0 h ，因此，( )h x 在(0,)内 单 调 递 减 ， 当01x时 ，( )(1)0h xh即 1 ( )( ).g xg x 当
42、 x1, ( )(1)0h xh时， 1 ( )( )g xg x 即 （III）由（I）知( )g x的最小值为 1，所以， 1 ( )( )g ag x a ，对任意0 x ，成立 1 ( ) 1,g a a 即ln1,a 从而得0ae。 11.（I） 3,2, ( ) |2|5|27,25, 3,5. x f xxxxx x 当25, 3273.xx 时 所以3( )3.f x （II）由（I）可知， 当 2 2,( )815xf xxx时的解集为空集； 当 2 25,( )815 |535xf xxxxx时的解集为； 当 2 5,( )815 |56xf xxxxx时的解集为. 综上，
43、不等式 2 ( )815 |536.f xxxxx的解集为 17.（ 1 ） 当3a 时 ，( )3323f xxx 2 323 x xx 或 23 323 x xx 或 3 323 x xx 1x或4x （还可以利用其几何意义求） （2）原命题( )4f xx在1,2上恒成立24xaxx在1,2上恒成立 22xax 在1,2上恒成立30a 18.（）, 3)(xf由得3|ax，得33axa又已知不等式 f(x)3 的解集为 15xx ，所以 53 13 a a 解得 a=2。 （） 当 a=2 时， f(x)=x-2.设 g(x)=f(x)+f(x+5).由x-2+x+3(x-2)-(x+3
44、) =5 （当且仅当-3x2 时等号成立）得，g(x)的最小值为 5. 从而，若 f(x)+f(x+5) m 即 g(x) m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(-， 5. 19. 解法一： 3 2 222 )(3,abccbacba式有均为正数，由均值不等因为，当且仅当 cba时 成 立 ， 3 1 )(3 111 abc cba 当 且 仅 当cba时 成 立 ， 3 2 2 )(9) 111 ( abc cba 当且仅当cba时成立， 2222 ) 111 ( cba cba 3 2 3 2 )(9)(3 abcabc36272， 当 且 仅 当 3 2 3 2 9)(3 a
45、bcabc时成立。 解 法 二 ：acacbccbabbacba2,2,2, 222222 均为正数，则有因为， cabcabcba cabcabcba 111111 , 222 222 同理，当且仅当, ba , ab ac 时成立，36 1 3 1 3 1 3) 111 ( 2222 cabcab cabcab cba cba， 当且 仅当 ca ca bc bc ab ab 1 3, 1 3, 1 3时等式成立。 20.解 ： （）不等式( )3f x 的解集为2|x1x ，原不等式等价于 313ax，此时有 31 312 31 312 a a a a 或解得2a。 （）| 12|)(xxf，| 1|2) 2 (2x x f，则 原不等式可化为kxx|1| 2 1 |2， 根据绝对值得几何意义可以解得 2 1 |1| 2 1 |xx，1 2 1 2k。
