1、第第 6 讲讲几何概型几何概型 一、选择题 1.在区间2，3上随机选取一个数 x，即 x1，故所求的概率为() A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 解析在区间2，3上随机选取一个数 x，且 x1，即2x1，故所求的 概率为 P3 5. 答案B 2.如图所示，半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中 随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1 3，则阴影部分的面 积是() A. 3 B.C.2D.3 解析设阴影部分的面积为 S，且圆的面积 S329.由几何概型的概 率，得 S S 1 3，则 S3. 答案D 3.(2015山东卷)在区间0，2上随机地取一个数 x，则事件“
2、1log 1 2 x1 2 1”发生的概率为() A.3 4 B.2 3 C.1 3 D.1 4 解析由1log 1 2 x1 2 1，得1 2x 1 22， 解得 0 x3 2，所以事件“1log 1 2 x1 2 1”发生的 概率为 3 2 2 3 4，故选 A. 答案A 4.(2017东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是() A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，则 P(A) 阴影面积 长方形面积 1 21 2 12 4 . 答案B 5.在
3、棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正 方体 ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 为() A. 12 B.1 12 C. 6 D.1 6 解析设“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A. 则事件 A 发生时，点 P 位于以点 O 为球心，以 1 为半径的半球的外部. V正方体238，V半球4 31 31 2 2 3. P(A) 232 3 23 1 12. 答案B 6.已知ABC 中，ABC60，AB2，BC6，在 BC 上任取一点 D，则使 ABD 为钝角三角形的概率为() A.1 6
4、B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析如图，当 BE1 时，AEB 为直角，则点 D 在线段 BE(不包含 B，E 点)上时，ABD 为钝角三角形；当 BF4 时，BAF 为直角，则点 D 在线段 CF(不包含 C，F 点)上时，ABD 为钝角 三角形.所以ABD 为钝角三角形的概率为12 6 1 2. 答案C 7.设不等式组 0 x2， 0y2 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则 此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是() A. 4 B.2 2 C. 6 D.4 4 解析如图所示， 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区 域 D， 且区域 D 的面积为 4， 而阴影
5、部分表示的是区域 D 内到 原点距离大于 2 的区域，易知该阴影部分的面积为 4，因 此满足条件的概率是4 4 .故选 D. 答案D 8.(2017华师附中联考)在区间0，4上随机取两个实数 x，y，使得 x2y8 的 概率为() A.1 4 B. 3 16 C. 9 16 D.3 4 解析由 x，y0，4知(x，y)构成的区域是边长为 4 的 正方形及其内部，其中满足 x2y8 的区域为如图所示 的阴影部分. 易知 A(4，2)，S正方形16， S阴影（24）4 2 12.故“使得 x2y8”的概率 P S阴影 S正方形 3 4. 答案D 9.已知正三棱锥 SABC 的底面边长为 4，高为
6、3，在正三棱锥内任取一点 P， 使得 VPABC1 2V SABC的概率是() A.7 8 B.3 4 C.1 2 D.1 4 解析当点 P 到底面 ABC 的距离小于3 2时， VPABC1 2V SABC. 由几何概型知，所求概率为 P1 1 2 3 7 8. 答案A 10.设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率为() A.3 4 1 2 B.1 2 1 C.1 2 1 D.1 4 1 2 解析因为复数 z(x1)yi(x，yR)且|z|1，所以|z| （x1）2y21，即(x1)2y21， 即点(x，y)在以(1，0)为圆心、1 为半径的圆及其内部，而 yx 表
7、示直线 yx 左上方的部分(图中阴影弓形)， 所以所求概率为弓形的面积与圆 的面积之比，即 P 1 41 21 211 12 1 4 1 2. 答案D 二、填空题 11.在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为5 6，则 m _. 解析由|x|m，得mxm. 当 m2 时，由题意得2m 6 5 6，解得 m2.5，矛盾，舍去. 当 2m4 时，由题意得m（2） 6 5 6，解得 m3. 答案3 12.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，有一动点 在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥 A A1BD 内的概率为_. 解析因为 VAA1BDVA1ABD1 3AA 1
8、SABD 1 6AA 1S矩形ABCD1 6V 长方体，故所求概率为VAA 1BD V长方体 1 6. 答案 1 6 13.(2016山东卷)在1，1上随机地取一个数 k，则事件“直线 ykx 与圆(x 5)2y29 相交”发生的概率为_. 解析直线 ykx 与圆(x5)2y29 相交的充要条件是圆心(5，0)到直线 y kx 的距离小于 3. 则|5k0| k213，解之得 3 4k 3 4，故所求事件的概率 P 3 4 3 4 1（1） 3 4. 答案 3 4 14.(2017唐山模拟)如图，将半径为 1 的圆分成相等的四段弧， 再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一 点
9、，此点落在星形区域内的概率为_. 解析顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于 ( 2)24 1 41 21 21 2 4， 又因为圆的面积等于12， 因此所 求的概率等于4 4 1. 答案 4 1 15.在区间1，4内取一个数 x，则 2xx21 4的概率是( ) A.1 2 B.1 3 C.2 5 D.3 5 解析由 2xx21 4，得1x2.又1x4. 所求事件的概率 P2（1） 4（1） 3 5. 答案D 16.如图， “天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆， 小圆 的半径为 2 km，大圆的半径为 4 km，卫星 P 在圆环内无规则 地自由运动，运行过程中，则点 P 与点 O
10、 的距离小于 3 km 的 概率为() A. 1 12 B. 5 12 C.1 3 D.1 5 解析根据几何概型公式，小于 3 km 的圆环面积为(3222)5；圆环总 面积为(4222)12，所以点 P 与点 O 的距离小于 3 km 的概率为 P(A) 5 12 5 12. 答案B 17.已知平面区域 D(x，y)|1x1，1y1，在区域 D 内任取一点， 则取到的点位于直线 ykx(kR)下方的概率为() A.1 2 B.1 3 C.2 3 D.3 4 解析由题设知，区域 D 是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直 线 ykx 将其面积平分，如图，故所求概率为1 2. 答案A 1
11、8.(2017长春质检)在区间0，上随机取一个实数 x，使得 sin x 0，1 2 的概 率为() A. 1 B. 2 C.1 3 D.2 3 解析由 0sin x1 2，且 x0， 解之得 x 0， 6 5 6，. 故所求事件的概率 P 5 6 6 0 0 1 3. 答案C 19.(2017成都诊断)如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角 三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为 3，向大 正方形内抛撒一枚幸运小花朵， 则小花朵落在小正方形内的概 率为() A. 1 17 B. 2 17 C. 3 17 D. 4 17 解析大正方形的面积是 34，大正方形的边长是 34，由直角三
12、角形的较 短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是 5 和 3，则小正方形边长 为 2，面积为 4，小花朵落在小正方形内的概率为 P 4 34 2 17. 答案B 20.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心， 在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为() A.2 3 B.1 3 C.8 9 D. 4 解析V圆柱2，V 半球1 2 4 31 32 3， V半球 V圆柱 1 3，故点 P 到 O 的距离大 于 1 的概率为2 3. 答案A 21.(2015湖北卷)在区间0，1上随机取两个数 x，y，记 p1为事件“xy1
13、 2” 的概率，p2为事件“xy1 2”的概率，则( ) A.p1p21 2 B.p21 2p 1 C.1 2p 2p1D.p11 2p 2 解析(x， y)构成的区域是边长为 1 的正方形及其内部， 其中满足 xy1 2的区 域如图 1 中阴影部分所示，所以 p1 1 2 1 2 1 2 11 1 8，满足 xy 1 2的区域如图 2 中 阴影部分所示，所以 p2S1S2 11 1 2S 2 1 1 2， 所以 p11 2p 2，故选 D. 答案D 22.在区间，内随机取出两个数分别记为 a，b，则函数 f(x)x22ax b22有零点的概率为() A.1 8 B.1 4 C.1 2 D.1
14、3 4 解析由函数 f(x)x22axb22有零点，可得(2a2) 4(b22)0，整理得 a2b22，如图所示，(a，b)可看 成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为 (a，b)|a，b，其面积 S(2)242. 事件 A 表示函数 f(x)有零点， 所构成的区域为 M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为 SM4 23，故 P(A)SM S 423 42 1 4 . 答案B 23.(2017安徽江南名校联考)AB 是半径为 1 的圆的直径，M 为直径 AB 上任意 一点，过点 M 作垂直于直径 AB 的弦，则弦长大于 3的概率是_. 解析依题意知， 当相应的弦长大于 3时，
15、 圆心到弦的距离小于12 3 2 2 1 2，因此相应的点 M 应位于线段 AB 上与圆心的距离小于 1 2的地方，所求的概率 等于1 2. 答案 1 2 24.一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行， 若蜜蜂在飞行过程中始终保 持与正方体 6 个表面的距离均大于 1， 称其为“安全飞行”， 则蜜蜂“安全飞 行”的概率为_. 解析由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行，结合几 何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为 P1 3 33 1 27. 答案 1 27 25.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 此点到圆心的距离大于1 2，则周末去
16、看电影；若此点到圆心的距离小于1 4，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周 末不在家看书的概率为_. 解析去看电影的概率 P1 12（1 2） 2 12 3 4， 去打篮球的概率 P2 （1 4） 2 12 1 16， 不在家看书的概率为 P3 4 1 16 13 16. 答案 13 16 26.随机地向半圆 0y 2axx2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域 的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 4 的概 率为_. 解析由 0y 2axx2(a0). 得(xa)2y2a2. 因此半圆域如图所示. 设 A 表示事件“原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 4 ” ，由几何概型的概率 计算公式得 P(A) A 的面积 半圆的面积 1 4a 21 2a 2 1 2a 2 1 2 1 . 答案 1 2 1
