1、第第 3 讲讲三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 一、选择题 1.在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos 2x 6 ，ytan 2x 4 中， 最小正周期为的所有函数为() A.B. C.D. 解析ycos|2x|cos 2x，最小正周期为； 由图象知 y|cos x|的最小正周期为； ycos 2x 6 的最小正周期 T2 2 ； ytan 2x 4 的最小正周期 T 2 ，因此选 A. 答案A 2.(2017石家庄模拟)函数 f(x)tan 2x 3 的单调递增区间是() A. k 2 12， k 2 5 12 (kZ)B. k 2 12， k 2 5 12 (kZ) C
2、. k 12，k 5 12 (kZ)D. k 6 ，k2 3(kZ) 解析由 k 2 2x 3 k 2 (kZ)，解得 k 2 12 xk 2 5 12 (kZ) ， 所 以 函 数 y tan 2x 3的 单 调 递 增 区 间 是 k 2 12， k 2 5 12 (kZ)，故选 B. 答案B 3.(2017成都诊断)函数 ycos2x2sin x 的最大值与最小值分别为() A.3，1B.3，2C.2，1D.2，2 解析ycos2x2sin x1sin2x2sin x sin2x2sin x1， 令 tsin x，则 t1，1，yt22t1(t1)22， 所以 ymax2，ymin2.
3、答案D 4.(2016山东卷)函数 f(x)( 3sin xcos x)( 3cos xsin x)的最小正周期是 () A. 2 B.C.3 2 D.2 解析f(x)4sin x 6 cos x 6 2sin 2x 3 ，f(x)的最小正周期 T. 答案B 5.(2017安徽江南十校联考)已知函数 f(x)sin(x) 0，| 2 的最小正 周期为 4，且xR，有 f(x)f 3 成立，则 f(x)图象的一个对称中心坐标 是() A. 2 3 ，0 B. 3 ，0 C. 2 3 ，0 D. 5 3 ，0 解析由 f(x)sin(x)的最小正周期为 4，得1 2.因为 f(x)f 3 恒成 立
4、，所以 f(x)maxf 3 ，即1 2 3 2 2k(kZ)， 由| 2 ，得 3 ，故 f(x)sin 1 2x 3 . 令 1 2x 3 k(kZ)，得 x2k2 3 (kZ)， 故 f(x)图象的对称中心为 2k2 3 ，0 (kZ)， 当 k0 时，f(x)图象的对称中心为 2 3 ，0 . 答案A 二、填空题 6.(2017昆明调研)若函数 f(x)cos 2x 3 (0)是奇函数，则 _. 解析因为 f(x)为奇函数， 所以 3 2 k，5 6 k，kZ.又因为 00)在 0， 3 上单调递增， 在区间 3 ， 2 上单调递减， 则_. 解析法一由于函数 f(x)sinx(0)的
5、图象经过坐标原点， 由已知并结合 正弦函数的图象可知， 3 为函数 f(x)的1 4周期，故 2 4 3 ，解得3 2. 法二由题意，得 f(x)maxf 3 sin 3 1. 由已知并结合正弦函数图象可知， 3 2 ，解得3 2. 答案 3 2 三、解答题 9.(2015安徽卷)已知函数 f(x)(sin xcos x)2cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 0， 2 上的最大值和最小值. 解(1)因为 f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x 1sin 2xcos 2x 2sin 2x 4 1， 所以函数 f(x)的最小正周期为
6、T2 2 . (2)由(1)的计算结果知，f(x) 2sin 2x 4 1. 当 x 0， 2 时，2x 4 4 ，5 4， 由正弦函数 ysin x 在 4 ，5 4上的图象知， 当 2x 4 2 ，即 x 8 时，f(x)取最大值 21； 当 2x 4 5 4 ，即 x 2 时，f(x)取最小值 0. 综上，f(x)在 0， 2 上的最大值为 21，最小值为 0. 10.(2017武汉调研)已知函数 f(x)a 2cos2x 2sin xb. (1)若 a1，求函数 f(x)的单调增区间； (2)若 x0，时，函数 f(x)的值域是5，8，求 a，b 的值. 解f(x)a(1cos xsi
7、n x)b 2asin x 4 ab. (1)当 a1 时，f(x) 2sin x 4 b1， 由 2k 2 x 4 2k3 2 (kZ)， 得 2k 4 x2k5 4 (kZ)， f(x)的单调增区间为 2k 4 ，2k5 4(kZ). (2)0 x， 4 x 4 5 4 ， 2 2 sin x 4 1，依题意知 a0. ()当 a0 时， 2aab8， b5， a3 23，b5. ()当 a0)在区间 3 ， 4 上的最小值是2，则的最 小值等于() A.2 3 B.3 2 C.2D.3 解析0， 3 x 4 ， 3 x 4 . 由已知条件知 3 2 ，3 2. 答案B 12.(2016浙
8、江卷)设函数 f(x)sin2xbsin xc，则 f(x)的最小正周期() A.与 b 有关，且与 c 有关B.与 b 有关，但与 c 无关 C.与 b 无关，且与 c 无关D.与 b 无关，但与 c 有关 解析f(x)sin2xbsin xc，若 b0，则 f(x)sin2xc1 2(1cos 2x)c， f(x)的最小正周期 T.若 b0，f(x)1 2cos 2xbsin x 1 2c，ycos 2x 的最小正周期为，ybsin x 的最小正周期为 2，则 f(x)的最小正周期 T2 .因此 f(x)的最小正周期与 b 有关，与 c 无关. 答案B 13.若函数 f(x)4sin 5a
9、x4 3cos 5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 3 ，则实数 a 的值为_. 解析因为 f(x)8sin 5ax 3 ， 依题意有， T 2 3 ， 所以 T2 3 .又因为 T2 5|a|， 所以2 5|a| 2 3 ，解得 a3 5. 答案3 5 14.(2016天津卷)已知函数 f(x)4tan xsin 2 x cos x 3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 4 ， 4 上的单调性. 解(1)f(x)的定义域为x|x 2 k，kZ， f(x)4tan xcos xcos x 3 3 4sin x 1 2cos x 3 2 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3cos 2x 2sin 2x 3 . 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)由 2k 2 2x 3 2k 2 ，kZ， 得 k 12xk 5 12 ，kZ. 又 x 4 ， 4 ，取 k0，得 12x 4 ， f(x)在区间 12， 4 上是增函数， 由 2k 2 2x 3 2k3 2，kZ， k5 12 xk11 12，kZ， 又 x 4 ， 4 ，取 k1，得 4 x 12， f(x)在区间 4 ， 12 上是减函数.
