1、课时作业(五十九)定点、定值、探索性问题 1在平面直角坐标系 xOy 中，已知 Q(1,2)，F(1,0)，动点 P 满足|PQ OF |PF |。 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程； (2)过点 F 的直线与 E 交于 A，B 两点，记直线 QA，QB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值。 解(1)设 P(x，y)，则PQ (1x,2y)， PF (1x，y)。OF (1,0)， 由|PQ OF |PF |得 |1x| 1x2y2，化简得 y24x， 即动点 P 的轨迹 E 的方程为 y24x。 (2)证明：设过点 F(1,0)的直线方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x
2、2，y2)。 由 xmy1， y24x 得 y24my40， 所以 y1y24m，y1y24。 因为 k1k2y12 x11 y22 x21， x1my11，x2my21， 所以 k1k2 y12 my12 y22 my22 y 12my22y22my12 my12my22 2my1y222my1y28 m2y1y22my1y24 ， 将 y1y24m，y1y24 代入上式，得 k1k28m 28 4m24 2， 故 k1k2为定值2。 2(2021成都诊断性检测)已知椭圆 C：x 2 2 y21 的右焦点为 F，过点 F 的直线(不与 x 轴重合)与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l：
3、x2 与 x 轴相交于点 H，过点 A 作 ADl，垂足为 D。 (1)求四边形 OAHB(O 为坐标原点)面积的取值范围； (2)证明直线 BD 过定点 E，并求出点 E 的坐标。 解(1)由题意得 F(1,0)，设直线 AB： xmy1(mR)，A(x1，y1)，B(x2，y2)。 由 xmy1， x2 2 y21， 消去 x，得(m22)y22my10， 则4m24(m22)0，y1y2 2m m22， y1y2 1 m22， 所以|y1y2| y1y22 y1y224y1y22 2 m 21 m22 。 所以四边形 OAHB 的面积 S1 2|OH|y 1y2|y1y2|2 2 m 2
4、1 m22 。 令 m21t，则 t1，S2 2t t21 2 2 t1 t 。 因为 t1 t 2(当且仅当 t1，即 m0 时取等号)，所以 0b0)的离心率 e 满足 2e 23 2e20，右顶点为 A，上顶点为 B，点 C(0， 2)，过点 C 作一条与 y 轴不重合的直线 l，直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N，当直线 l 经过点 A 时，l 的斜率为 2。 (1)求椭圆 E 的方程； (2)证明：SBOMSBCN为定值。 解(1)由 2e23 2e20， 解得 e 2 2 或 e 2(舍去)， 所以 a 2c，又 a2b2c2，所以
5、 a 2b。 又 kAC02 a0 2，所以 a 2，所以 b1 ， 所以椭圆 E 的方程为x 2 2 y21。 (2)证明：由题知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx2， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由 ykx2， x2 2 y21， 得(2k21)x28kx60， 由(8k)246(2k21)16k2240， 得 k23 2， 所以 x1x2 8k 2k21，x 1x2 6 2k21， 所以 y1y2k(x1x2)4 4 2k21， y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)442k 2 2k21。 直线 BP 的方程为 yy11 x1 x1
6、， 令 y0，得 x x1 1y1， 则 M x1 1y1，0，同理可得 N x2 1y2，0， 所以 SBOMSBCN3 4| x1 1y1| x2 1y2| 3 4| x1x2 1y11y2| 3 4| x1x2 1y1y2y1y2| 3 4 6 2k21 |1 4 2k21 42k2 2k21| 1 2， 所以 SBOMSBCN为定值1 2。 4(2021长沙市模拟考试)已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右顶点与抛物线 C 2：y22px(p0)的焦点重 合，椭圆 C1的离心率为1 2，过椭圆 C 1的右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线被抛物线截得弦的长度为 4 2。
7、 (1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程。 (2)过点 A(4,0)的直线 l 与椭圆 C1交于 M，N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 E。当直线 l 绕点 A 旋 转时，直线 EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论。 解(1)设椭圆 C1的半焦距为 c。依题意， 可得 ap 2，则 C 2：y24ax， 代入 xc，得 y24ac，即 y2 ac， 所以 4 ac4 2， 则有 ac2， c a 1 2， a2b2c2， 所以 a2，b 3， 所以椭圆 C1的方程为x 2 4 y 2 3 1， 抛物线 C2的方程为 y28x。 (2)依题意，当直线 l 的斜率不为 0 时， 设其
8、方程为 xty4， 由 xty4， 3x24y212， 得(3t24)y224ty360。 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 E(x1，y1)。 由0，得 t2， 且 y1y2 24t 3t24，y 1y2 36 3t24。 根据椭圆的对称性可知，若直线 EN 过定点，此定点必在 x 轴上，设此定点为 Q(m,0)。 因为 kNQkEQ，所以 y2 x2m y1 x1m， (x1m)y2(x2m)y10， 即(ty14m)y2(ty24m)y10， 2ty1y2(m4)(y1y2)0， 即 2t 36 3t24(m4) 24t 3t240， 得(3m4)t(m1)t0， 由 t 是大
9、于 2 或小于2 的任意实数知 m1， 所以直线 EN 过定点 Q(1,0)。 当直线 l 的斜率为 0 时，直线 EN 的方程为 y0， 也经过点 Q(1,0)， 所以当直线 l 绕点 A 旋转时， 直线 EN 恒过一定点 Q(1,0)。 5已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，过点 F 的直线分别交抛物线于 A，B 两点。 (1)若以 AB 为直径的圆的方程为(x2)2(y3)216，求抛物线 C 的标准方程； (2)过点 A，B 分别作抛物线的切线 l1，l2，证明：l1，l2的交点在定直线上。 解(1)设 AB 中点为 M，A 到准线的距离为 d1，B 到准线的距离为 d2，
10、M 到准线的距离为 d， 则 dyMp 2。 由抛物线的定义可知，d1|AF|，d2|BF|， 所以 d1d2|AB|8， 由梯形中位线可得 dd1d2 2 4， 所以 yMp 24。 又 yM3，所以 3p 24，可得 p2， 所以抛物线 C 的标准方程为 x24y。 (2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x22py，得 y x2 2p， 则 yx p，所以直线 l 1的方程为 yy1x1 p (xx1)， 直线 l2的方程为 yy2x2 p (xx2)， 联立得 xx1x2 2 ，yx1x2 2p ， 即直线 l1，l2的交点坐标为 x1x2 2 ，x1x2 2p 。
11、因为 AB 过焦点F 0，p 2 ， 由题可知直线 AB 的斜率存在，故可设直线 AB 的方程为 yp 2kx，代入抛物线 x 22py 中， 得 x22pkxp20， 所以 x1x2p2，l1，l2交点的纵坐标 yx1x2 2p p 2 2p p 2， 所以 l1，l2的交点在定直线 yp 2上。 6(2021江西省红色七校联考)已知椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 e 2 2 ，过椭圆的右焦点 且垂直于长轴的弦的长度为 2。 (1)求椭圆的标准方程。 (2)已知直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，且坐标原点 O 到直线 l 的距离为 6 3 ，问：AOB 的大小是否为 定值？若是
12、，求出该定值；若不是，请说明理由。 解(1)设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)。 因为 e 2 2 ，所以c a 2 2 。 根据题意，点 c， 2 2 在椭圆上，则c 2 a2 1 2 b2 1， 于是1 2 1 2 b2 1，解得 b1。 因为 a 2c，a2c2b21，所以 c1，a 2。 故椭圆的标准方程为x 2 2 y21。 (2)当直线 l 的斜率不存在时，由坐标原点 O 到直线 l 的距离为 6 3 可知 A 6 3 ， 6 3 ，B 6 3 ， 6 3 或 A 6 3 ， 6 3 ， B 6 3 ， 6 3 ， 所以OA OB 0，所以AOB90， 当直线
13、l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为原点 O 到直线 l 的距离为 6 3 ， 所以 |m| 1k2 6 3 ， 整理得 3m22(k21)(*)， 由 x2 2 y21， ykxm， 得(2k21)x24kmx2m220。 (4km)24(2k21)(2m22)8(2k2m21)， 将(*)式代入得32k 28 3 0， x1x2 4km 2k21，x 1x22m 22 2k21 。 y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2km(x1x2)m2 k22m 22 2k21 km4km 2k21m 2 m 22k2 2k21 。 x1x2y1y22m 22 2k21 m 22k2 2k21 3m 22k22 2k21 0， 所以AOB90。 综上，AOB 的大小为定值，且AOB90。
