1、5.7三角函数的应用三角函数的应用 第第 1 课时课时三角函数的应用三角函数的应用(一一) 学习目标1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象.2.通过构建三角函数模型，尝 试解决物理中的简单问题 导语 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交 替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动 的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有 周期性， 那么它可以借助三角函数来描述， 利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题， 今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题 一
2、、简谐运动 问题 1现实生活中存在大量周而复始、循环往复特点的周期运动的变化现象，你能举出哪 些例子？ 提示弹簧振子的运动，钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，日出日落，潮涨 潮落，一天温度的变化，一天人员流动的变化等等很显然，三角函数 yAsin(x)(A0， 0)可以更好的“拟合”这种周期性的变化 问题 2某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中， 时间 t(单位： s)与位移 y(单位： mm)之间的对应数据如下表所示试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析 式 t0.000.050.100.150.200.250.30 y20.017.810.10.110.3
3、17.720.0 t0.350.400.450.500.550.60 y17.710.30.110.117.820.0 提示振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移 y 随时间 t 的变化规律可以用函数 yAsin(t)来刻画 根据已知数据作出散点图，如图所示 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为 20 mm，因此 A20；振子振动的周期 为 T0.6 s，即2 0.6，解得10 3 ；再由初始状态(t0)振子的位移为20，可得 sin 1， 因此 2.所以振子的位移关于时间的函数解析式为 y20sin 10 3 t 2 ， t0， ) 知识梳理 1在物理学中
4、，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称 为“简谐运动”简谐运动可以用函数 yAsin(x)，x0，)表示，其中 A0，0. 2A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是 T2 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式 f1 T 2给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的 次数； x称为相位；x0 时的相位称为初相 注意点：如果 A0 或0)的初相和频率分别为和3 2，则它的运动周期为 _，相位是_ 答案 2 3 3x 解析因为频率 f3 2，所以 T 1 f 2 3，
5、所以2 T 3， 所以相位x3x. 反思感悟若 yAsin(x)是一个简谐运动的解析式，则 A0，0，若 A，不满足条件， 则利用诱导公式变形，使之满足，再根据概念求值 跟踪训练 1弹簧振子的振幅为 2 cm，在 6 s 内振子通过的路程是 32 cm，由此可知该振子振 动的() A频率为 1.5 HzB周期为 1.5 s C周期为 6 sD频率为 6 Hz 答案B 解析振幅为 2 cm，振子在一个周期内通过的路程为 8 cm，易知在 6 s 内振动了 4 个周期， 所以 T1.5 s，频率 f1 T 1 1.5 2 3 Hz. 二、三角函数“拟合”模型的应用 例 2下表所示的是某地 2000
6、2020 年的月平均气温(华氏度) 月份123456 平均气温21.426.036.048.859.168.6 月份789101112 平均气温73.071.964.753.539.827.7 以月份为 x 轴，x月份1，平均气温为 y 轴建立平面直角坐标系 (1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据； (2)这个函数的周期是多少？ (3)估计这个正弦曲线的振幅 A； (4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ y Acos x 6 ；y46 A cos x 6 ；y46 A cos x 6 ；y26 A sin x 6 . 解(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示
7、 (2)1 月份的平均气温最低，为 21.4 华氏度，7 月份的平均气温最高，为 73.0 华氏度，根据散 点图知T 2716，T12. (3)2A最高气温最低气温73.021.451.6， A25.8. (4)x月份1，不妨取 x211，y26.0， 代入，得y A 26.0 25.81cos 6，不适合 代入，得y46 A 26.046 25.8 0，| 2 在一个周期内的图象，根据图中数据求 I Asin(t)的解析式； (2)如果 t 在任意一段 1 150的时间内，电流 IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的 最小正整数值是多少？ 解(1)由题图可知 A300， 设 t1 1
8、 900，t 2 1 180， 则周期 T2(t2t1)2 1 180 1 900 1 75， 2 T 150. 又当 t 1 180时，I0， 即 sin 150 1 1800， 又|0)， 300942，又N*， 故所求最小正整数943. 反思感悟处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性 (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与 对应的三角函数知识结合解题 跟踪训练3已知弹簧上挂着的小球做上下振动时， 小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s) 的变化规律为 s4sin 2t 3 ，
9、t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下 列问题： (1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解列表如下： 2t 3 0 2 3 2 2 t 6 12 3 7 12 5 6 s04040 描点、连线，图象如图所示 (1)将 t0 代入 s4sin 2t 3 ，得 s4sin 32 3，所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和4 cm. (3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s. 1知识清单： (1)简
10、谐运动 (2)函数的“拟合” (3)三角函数在物理中的应用 2方法归纳：数学建模、数形结合 3常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题 1函数 y1 3sin 1 3x 6 的周期、振幅、初相分别是() A3， 1 3， 6 B6， 1 3， 6 C3，3， 6 D6，3， 6 答案B 2在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1和 M2的小球，它们做上下自由振动已知它们在 时间 t(s)时离开平衡位置的位移 s1(cm)和 s2(cm)分别由下列两式确定： s15sin 2t 6 ，s25cos 2t 3 .则在时间 t2 3 时，s1与 s2的大小关系是() As1s2Bs1s2
11、Cs1s2D不能确定 答案C 解析当 t2 3 时，s15sin 22 3 6 5， s25cos 22 3 3 5，s1s2. 3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA 为始边、OB 为终边的角(0，T4 1 800 1 200，即 2 1 200，则400. 3函数 sAsin(t)(A0，0)表示一个振动量，振幅是 2，频率是 3 2，初相是 12，则这 个函数为() As2sin t 3 6 (t0) Bs1 2sin t 3 6 (t0) Cs2sin 3t 12 (t0) Ds1 2 3t 6 (t0) 答案C 4电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I5sin 10
12、0t 3 ，则当 t 1 200 s 时，电流强度 I 为() A5 AB2.5 AC2AD5 A 答案B 解析将 t 1 200代入 I5sin 100t 3 ， 得 I2.5A. 5.如图表示电流强度 I 与时间 t 的关系 IAsin(t)(A0，0)在一个周期内的图象，则该 函数的解析式可以是() AI300sin 50t 3 BI300sin 50t 3 CI300sin 100t 3 DI300sin 100t 3 答案C 解析由图象得 A300，T2 1 150 1 300 1 50， 2 T 100， I300sin(100t) 代入点 1 300，0，得 sin 100 1
13、300 0， 取 3，I300sin 100t 3 . 6(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是() A该质点的运动周期为 0.8 s B该质点的振幅为 5 cm C该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度最大 D该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度为零 答案ABD 解析由题图可知，T 20.70.30.4，所以 T0.8；最小值为5，所以振幅为 5 cm； 在 0.1 s 和 0.5 s 时，质点到达运动的端点，所以速度为 0. 7 一根长 l cm 的线， 一端固定， 另一端悬挂一个小球， 小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm) 与时间 t(s)
14、的函数关系式为 s3cos g l t 3 ，其中 g 是重力加速度，当小球摆动的周期是 1 s 时，线长 l_cm. 答案 g 42 解析由已知得 2 g l 1， 所以 g l2， g l4 2，l g 42. 8函数 ysin 2x 6 cos 2x 3 的振幅是_ 答案2 解析因为 ysin 2x 6 cos 2x 3 3 2 sin 2x1 2cos 2x 1 2cos 2x 3 2 sin 2x 3sin 2xcos 2x 2 3 2 sin 2x1 2cos 2x 2sin 2x 6 ， 所以函数 ysin 2x 6 cos 2x 3 的振幅是 2. 9一根细线的一端固定，另一端
15、悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移 s(单位：cm)与时间 t(单位：s)的函数关系是 s6sin 2t 6 . (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： 小球开始摆动(即 t0)时，离开平衡位置是多少？ 小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ 小球来回摆动一次需要多少时间？ 解(1)周期 T2 21(s) 列表： 2t 6 6 2 3 2 2 2 6 t0 1 6 5 12 2 3 11 12 1 6sin 2t 6 360603 描点、连线，画图如下 (2)小球开始摆动(即 t0)时，离开平衡位置为 3 cm. 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm. 小球来回
16、摆动一次需要 1 s(即周期) 10平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个 观测点观测到该处水深 y(米)是随着一天的时间 t(0t24，单位：小时)呈周期性变化，某天 各时刻 t 的水深数据的近似值如下表： t03691215182124 y1.52.41.50.61.42.41.60.61.5 (1)根据表中近似数据画出散点图(坐标系在答题卷中)观察散点图，从yAsin(t), y Acos(t)b， yAsin tb(A0，0，0)中选择一个合适的函数模型， 并求出该拟合模型的函数解析式； (2)为保证队员安全，规定在一天中 518 时且水深不低于
17、1.05 米的时候进行训练，根据(1) 中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安 全？ 解(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示 依题意，选yAcos(t)b 作为函数模型， A2.40.6 2 9 10，b 2.40.6 2 3 2，T12， 2 T 6， y 9 10cos 6t3 2， 又函数图象过点(3,2.4)，即 2.4 9 10cos 633 2， cos 21，sin 1， 又0，0，h0) 来近似描述，则该港口在 11：00 的水深为_m. 答案4 解析由题意得函数 yAsin th(其中 A0，0，h0)的周期为 T12， hA7
18、， hA3， 解得 A2， h5， 2 12 6，y2sin 6t5， 该港口在 11：00 的水深为 y2sin 11 6 54(m) 15稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地 产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现 每个季度的平均单价 y(每平方米的价格，单位：元)与第 x 季度之间近似满足：y500sin(x )9 500(0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x123 y10 0009 500？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是() A10 000 元B9 500 元 C9 000 元D8 500
19、 元 答案C 解析因为 y500sin(x)9 500(0)， 所以当 x1 时，500sin()9 50010 000； 当 x2 时，500sin(2)9 5009 500， 所以可取3 2 ，可取， 即 y500sin 3 2 x 9 500， 所以当 x3 时，y9 000. 16在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到 10 次测 量结果(时间近似到 0.1 小时)，结果如下表所示： 日期 1 月 1 日 2 月 28 日 3 月 21 日 4 月 27 日 5 月 6 日 6 月 21 日 8 月 13 日 9 月 20 日 10 月 25 日 12
20、月 21 日 日期位置 序号 x 15980117126172225263298355 存活时间 y 小时 5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4 (1)试选用一个形如 yAsin(x)t 的函数来近似描述一年(按 365 天计)中该细菌一天内存 活的时间 y 与日期位置序号 x 之间的函数解析式； (2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于 15.9 小时 解(1)细菌存活时间与日期位置序号 x 之间的函数解析式满足 yAsin(x)t， 由已知表 可知函数的最大值为 19.4，最小值为 5.4，19.45.414，故 A7. 又 19.45.424.8，故 t12.4. 又 T365， 2 365.当 x172 时， 2x 365 2， 323 730 ， y7sin 2 365x 323 730 12.4(1x365，xN) (2)由 y15.9 得 sin 2 365x 323 730 1 2， 6 2 365x 323 730 5 6 ，可得 111.17x232.83. 这种细菌一年中大约有 121 天(或 122 天)的存活时间大于 15.9 小时
