1、课时作业(十四)导数与函数的单调性 基础过关组 一、单项选择题 1函数 f(x)x3 x2ln x 的单调递减区间是( ) A(3,1)B(0,1) C(1,3)D(0,3) 解析解法一：令 f(x)1 3 x2 2 x0，得 0 x0，故排除 A，C 选项；又 f(1)4f(2)7 22ln 2，故排除 D 选项。故选 B。 答案B 2下列函数中，在(0，)上为增函数的是() Af(x)sin 2xBg(x)x3x Ch(x)xexDm(x)xln x 解析显然 f(x)sin 2x 在(0，)上不是增函数，不符合题意。由 g(x)3x210，得 3 3 x0 时，h(x)0，所以 h(x)
2、xex在(0，)上单调递增，符合题意。由 m(x)11 x1， 所以 m(x)xln x 在(1，)上单调递减，不符合题意。 答案C 3函数 f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为() A 0，1 aB 1 a， C ，1 aD(，a) 解析由 f(x)1 xa0，得 0 x0，在(1,0)和(1,3)上 f(x)0 ”是“f(x)在 R 上单调递增”的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析f(x)3 2x 2a，当 a0 时，f(x)0 恒成立，故“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充 分不必要条件。故选 A。 答案A 6已知函数 f(x
3、)x2a x，若函数 f(x)在2，)上单调递增，则实数 a 的取值范围为( ) A(，8) B(，16 C(，8)(8，) D(，1616，) 解析因为 f(x)x2a x在2，)上单调递增，所以 f(x)2x a x2 2x3a x2 0 在2，)上 恒成立，则 a2x3在2，)上恒成立，所以 a16。故选 B。 答案B 二、多项选择题 7(2021八省联考)已知函数 f(x)xln(1x)，则() Af(x)在(0，)单调递增 Bf(x)有两个零点 C曲线 yf(x)在点 1 2，f 1 2 处切线的斜率为1ln 2 Df(x)是偶函数 解析由 f(x)xln(1x)知函数的定义域为(1
4、，)，f(x)ln(1x) x 1x，当 x(0， )时，ln(1x)0， x 1x0，所以 f(x)0，故 f(x)在(0，)单调递增，A 项正确；由 f(0)0，当 1x0 时，ln(1x)0，当 x0 时，ln(1x)0，f(x)0，所以 f(x)只有一个零点， B 项错误；令 x1 2，f 1 2 ln 1 21ln 21，故曲线 yf(x)在点 1 2，f 1 2 处切线的斜率 为1ln 2，C 项正确；由函数的定义域为(1，)，不关于原点对称知，f(x)不是偶函数，D 项 错误。故选 AC。 答案AC 8 (2020山东泰安四模)已知定义在 0， 2 上的函数 f(x)， f(x)
5、是 f(x)的导函数， 且恒有 cos xf(x) sin xf(x) 2f 4B 3f 6 f 3 Cf 6 3f 3D 2f 6 3f 4 解析设 g(x) fx cos x，则 g(x) fxcos xfxsin x cos2x ，因为 x 0， 2 时，cos xf(x)sin xf(x)0，所以 x 0， 2 时，g(x)g 3 ，g 6 g 4 ，即 f 6 3 2 f 3 1 2 ，得 f 6 3f 3 ； f 6 3 2 f 4 2 2 ，得2f 6 3f 4 。故选 CD。 答案CD 三、填空题 9函数 f(x)1 2x 2ln x 的单调递减区间为_。 解析由题意知，函数
6、f(x)的定义域为(0，)，由 f(x)x1 x0，得 0 x1，所以函数 f(x) 的单调递减区间为(0,1)。 答案(0,1) 10已知函数 yf(x)(xR)的图象如图所示，则不等式 xf(x)0 的解集为_。 解析由 f(x)图象特征可得，在 ，1 2 和2，)上 f(x)0，在 1 2，2上 f(x)0)。 又由题意知 f(1)1k e 0，所以 k1。 (2)f(x) 1 xln x1 ex (x0)。 设 h(x)1 xln x1(x0)， 则 h(x) 1 x2 1 x0， 所以 h(x)在(0，)上单调递减。 由 h(1)0 知，当 0 x0，所以 f(x)0； 当 x1 时
7、，h(x)0，所以 f(x)0，aR 是常数。 (1)求函数 g(x)的图象在点 P(1，g(1)处的切线方程； (2)设 F(x)f(x)g(x)，讨论函数 F(x)的单调性。 解(1)因为 g(x)ln x(x0)， 所以 g(1)0，g(x)1 x，g(1)1， 故函数 g(x)的图象在点 P(1，g(1)处的切线方程是 yx1。 (2)因为 F(x)f(x)g(x)ax1 xln x(x0)， 所以 F(x)a 1 x2 1 xa 1 x 1 2 21 4。 当 a1 4时，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递增； 当 a0 时，F(x)1x x2 ，F(x)在(0,1)上单调递增，
8、在(1，)上单调递减； 当 0a0，x21 14a 2a 0， 且 x2x1， 故 F(x)在 0，1 14a 2a， 1 14a 2a ， 上单调递增，在 1 14a 2a ，1 14a 2a上单调 递减； 当 a0，x21 14a 2a 0， F(x)在 0，1 14a 2a上单调递增， 在 1 14a 2a ， 上单调递减。 素养提升组 14若对任意的 x1，x2(m，)，且 x1x2，都有x1ln x2x2ln x1 x2x1 x10， 所以 x2x10， 所以x1ln x2x2ln x1 x2x1 2 等价于 x1ln x2x2ln x12(x2x1)， 即 x1ln x22x1x2
9、ln x12x2，所以 x1(ln x22)x2(ln x12)，所以ln x22 x2 ln x12 x1 ，令 f(x)ln x2 x ， 则 f(x2)x1m，所以 f(x)在(m，)上是减函数，所以 f(x)ln x1 x2 1 e，则 m1 e，即 m 的最小值为 1 e。故选 A。 答案A 15(2021武昌区调研考试)已知函数 f(x)xexln xx2，g(x)e x2 x ln xx(e 是自然对数的 底数)的最小值分别为 a，b，则() AabBabDa，b 的大小关系不确定 解析令 h(x)exx1，则 h(x)ex1，因为 x0 时，0ex0 时，f(x)的递增区间为(0,1)， 递减区间为(1，)； 当 a0)。 所以 g(x)x3 m 2 2 x22x， 所以 g(x)3x2(m4)x2。 因为 g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数， 即 g(x)在区间(t,3)上有变号零点。 由于 g(0)2， 所以 gt0， 当 g(t)0 时， 即 3t2(m4)t20 对任意 t1,2恒成立， 由于 g(0)0，故只要 g(1)0 且 g(2)0， 即 m5 且 m9，即 m0，即 m37 3 。 所以37 3 m9。 即实数 m 的取值范围是 37 3 ，9 。
