1、空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.已知向量 a=4e1- e2,b=e1-e2,则() A.a,b 一定共线 B.a,b 不一定共线 C.只有当 e1,e2不共线时,a,b 才共线 D.只有当 e1,e2为不共线的非零向量时,a,b 才共线 2.O 为空间任意一点,若=+,则 A,B,C,P 四点() A.一定不共面B.一定共面 C.不一定共面D.无法判断 3.(2013 重庆高二检测)在三棱柱 ABC-A1B1C1中,D 是 CC1的中点,F 是 A1B
2、的中点, 且=+,则() A.= ,=-1B.=- ,=1 C.=1,=-D.=-1,= 4.设空间四点 O,A,B,P 满足=m+n,其中 m+n=1,则() A.点 P 一定在直线 AB 上 B.点 P 一定不在直线 AB 上 C.点 P 可能在直线 AB 上,也可能不在直线 AB 上 D.与的方向一定相同 5.若 a,b 是平面内的两个向量,则() A.内任一向量 p=a+b(,R) B.若存在,R 使a+b=0,则=0 C.若 a,b 不共线,则空间任一向量 p=a+b(,R) D.若 a,b 不共线,则内任一向量 p=a+b(,R) 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分
3、分, ,共共 2424 分分) ) 6.非零向量 e1,e2不共线,若向量 ke1+e2与 e1+ke2共线,则 k=. 7.已知 O 是空间任一点,A,B,C,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且 =2x+3y+4z,则 2x+3y+4z=. 8.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则 x=,y=. 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.如图,已知四边形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直,点 M,N 分别在对角 线 BD,AE 上,且 BM= BD,AN= AE,求
4、证:MN平面 CDE. 10.已知A,B,C 三点不共线,对平面ABC 外一点O,当=2-时,点P是否 与 A,B,C 共面? 11.(能力挑战题)如图所示,若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,点 H 为 PC 上的点,且= ,点 G 在 AH 上,且=m,若 G,B,P,D 四点共面,求 m 的值. 答案解析答案解析 1.【解析】选 A.a=4e1- e2,b=e1-e2, a=4(e1- e2)=4b,a,b 一定共线. 2.【解析】选 B. + + =1,根据向量共面定理, A,B,C,P 四点共面. 3.【解析】选 A.=+ =+ =-+(-)+ (-) =(1- )-=-
5、=+, = ,=-1. 4. 【解题指南】 考查点 P 是否在直线 AB 上,只需考查与是否共线.解决本题 的关键是利用条件 m+n=1 把判断三点共线问题转化为判断与是否共线. 【解析】选 A.已知 m+n=1,则 m=1-n. =(1-n)+n=-n+n -=n(-)=n, 因为0, 所以和共线,即点 A,P,B 共线,故选 A. 5.【解析】选 D.当 a 与 b 是共线向量时,A 不正确;当 a 与 b 是相反向量,= 0 时,a+b=0,故 B 不正确;若 a,b 不共线,则平面内的向量都可用 a,b 表 示,对空间向量则不一定适合,故 C 不正确,D 正确,故选 D. 6.【解析】
6、ke1+e2与 e1+ke2共线, 存在实数使得 ke1+e2=(e1+ke2)成立. e1,e2不共线, k=1. 答案:1 【举一反三】若本题条件改为:设 e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=2e1+ ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且 A,B,D 三点共线.所求问题不变,结果如何? 【解析】A,B,D 三点共线, 向量与共线,于是存在实数,使=,即=(-), 2e1+ke2=(2e1-e2)-(e1+3e2)(2-)e1+(k+4)e2=0, e1,e2不共线, 2-=0 且 k+4=0,得 k=-8. 答案:-8 7.【解析】A,B,C,D 共面, =+ =+(-)+(-)
7、 =(1-)+ =(+-1)- =2x+3y+4z, 2x+3y+4z=(+-1)+(-)+(-) =-1. 答案:-1 8.【解析】=+=+ =+ (+)=+ (+),对比系数可得 x=1,y= . 答案:1 9.【证明】=+ =+ = (+)+ (+) =+ =+. 又与不共线,根据共面向量定理,可知,共面.因为 MN 不在平面 CDE 内,所以 MN平面 CDE. 【拓展提升】利用向量法证明线面平行的技巧 (1)用向量法证明直线与平面平行一般有两种方法:一是证明直线的方向向量与 平面内的一个向量平行;二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向 量共面. (2)线面平行的证明方法包含着
8、证明空间线与线,面与面平行的方法. 【变式备选】如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G 分别是 A1D1,D1D,D1C1的 中点.求证:平面 EFG平面 AB1C. 【证明】设=a,=b,=c, 则=+= (a+b), =a+b=2, , =+= b- c= (b-c), =+=b-c=2, . 又EG 与 EF 相交,AC 与 B1C 相交, 平面 EFG平面 AB1C. 10.【解析】若 P 与 A,B,C 共面,则存在惟一的实数对(x,y)使=x+y,于是 对平面 ABC 外一点 O,有-=x(-)+y(-), =(1-x-y)+x+y,比较原式得 此方程组无解,这样的 x,y 不存在, 所以 A,B,C,P 四点不共面. 11.【解析】连接 BD,BG. =-,=, =-,=+, =+-=-+. = ,=, = (-+) =-+. 又=-, =-+, =m, =m=-+, =-+=-+, =(1-)+( -1)+. 又G,B,P,D 四点共面, 1-=0,m= . 即 m 的值是 . 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
